高中数学人教A版2019必修 第二册-学案3：高中数学人教A版2019必修 第二册 数系的扩充和复数的概念 公开课教学设计课件资料

7.1.1数系的扩充和复数的概念

【学习目标】

素养目标学科素养

1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程；

］数学运算•

2.理解在数系的扩充中的实数集扩展到复数集出现的一些基本概念；…

2.数学抽象

3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.

:自主学习】

复数的有关概念

1.复数的定义

形如a+6i(a,bdR)的数叫做复数，其中i叫做,满足i?=.

2.复数集

全体复数所构成的集合C=｛a+M|a,6GR｝叫做复数集.

3.复数的表示方法

复数通常用字母z表示，即,其中a叫做复数z的实部，6叫做复数z的虚部.

二.复数相等的充要条件

在复数集，=仿+历M，6GR｝中任取两个数a+瓦,c+di(a,b,c,d£R),我们规定:

a+bi与c+di相等当且仅当且.

三.复数的分类

［实数(力=0),

1.复数z=a+历(a,(■纯虚数a=0,

虚数(AWO)/外由物

I〔非纯虚数aWOW.

【小试牛刀】

1.思维辨析(对的打“V”，错的打“义”)

(1)若a,8为实数，则2=@+历为虚数.()

(2)复数4=3i,Zz=2i,则Zi>Z2.()

⑶若，为实数，则z=8i.必为纯虚数.()

1

（4）实数集与复数集的交集是实数集.（）

2.若复数（a+l）+（，-l）i（aWR）是实数，则a=（）

A.-1B.1C.±1D.不存在

【经典例题】

题型一复数的概念

点拨：（1）复数的代数形式：若2=。+历，只有当a,6GR时，a才是z的实数，6才是z的虚

部，且注意虚部不是bi,而是6.

（2）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分.

（3）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可.

例1写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数：

4,2—3i,-1+：i,5+巾i,6i.

乙o

【跟踪训练】1若a£R,i为虚数单位，则“a=l”是“复数（a一1）（升2）+（4+3）1为纯虚

数”的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分又不必要条件

题型二复数的分类

点拨：解决复数分类问题的方法与步骤

（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a+Ai（a,6WR）的形式，以确定实部和虚部.

⑵定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数

化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可.

（3）下结论：设所给复数为z=a+bi（a,8ER）,

①z为实数=8=0；

②z为虚数

③z为纯虚数Qa=0且8W0.

例2实数m取什么值时，复数z=/»+l+（加T）z.是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。

【跟踪训练】2当实数勿为何值时,复数户中+物一24i：

⑴为实数？（2）为虚数？（3）为纯虚数?

2

题型三复数相等

点拨：复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数.解决复数相等问题

的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程

（组）求解.

注意：在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a,b,c,deR,即当a,b,c,

时，且+历=。+力=0=。且6=tZ若忽略前提条件，则结论不能成立.

例3（1）若（x+y）+yi=（x+1）i,求实数x,y的值；

（2）已知a~+（加+2i）a+2+/〃i=0（加£R）成立，求实数a的值。

【跟踪训练】3若关于x的方程3*2—楙*—1=（10—x—2/）i有实根，求实数a的值.

【当堂达标】

1.下列命题：

①若z=a+8i,则仅当a=0且8W0时，z为纯虚数；

②若z：+4=0,则Zi=Z2=0；

③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立---对应关系.

其中正确命题的个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

2.若复数2=（3不一历（a,6GR）是纯虚数，则一定有（）

A.b=0B.a=0且

C.a=0或6=0D.a8W0

3.若复数z=（勿+1）+（/—9）iV0,则实数m的值等于一

3

x—Y—6

4.已知F^=(*—2x—3)i(xGR),则、=

5.已知4={1,2,才一3a—1+(才一5a—6)i},6={—1,3},406={3},求实数a的值.

6.已知复数z=(/+5叶6)+(/—2zz?-15)i(z»WR).

(1)若复数z是实数，求实数加的值;

⑵若复数z是虚数，求实数/的取值范围;

(3)若复数z是纯虚数，求实数力的值;

⑷若复数z是0,求实数加的值.

4

【参考答案】

【自主学习】

虚数单位一1z=a+6i(a,beR)a—cb=d

【小试牛刀】

1.⑴X(2)X(3)X(4)V

2.C解析：(a+l)+(，-l)i(aWR)为实数的充要条件是，-1=0,所以a=±l.

【经典例题】

141

例

解析423562

-2-3一,-2-

14

虚数

--5•是

金，木,6.其中4是实数；2—3i,2+-3+-161其中6i是纯虚数.

【跟踪训练】1C当a=l时，复数(。-1)仁+2)+也+3)1=41为纯虚数，当复数(a—1)(。

+2)+(a+3)i为纯虚数时，a=l或a=-2.

例2

解：(1)当所一1=0,即祈=1时，复数Z是实数。

(2)当也一1/0,即时，复数z是虚数。

⑶当，Hd=O,即加=-1时，复数z是纯虚数。

m—1^0

W—2/77=0,

【跟踪训练】2解(1)当八即勿=2时，复数z是实数.

“W0,

⑵当病一2加H0且肾0,即勿W0且加W2时，复数z是虚数.

4W0,

(3)当｛/"+：二6=o,即〃=—3时，复数z是纯虚数.

-2加#0,

5

1

-

A——2

x+y=0,

例3解⑴由复数相等的充要条件，得尸也解得1

-2-

(2)因为a,/z?GR,所以由a2+azzz+2+(2a+zz?)i=0,

a+a"+2=0,a=-yf2,

可得，解得或'所以a=±y[2.

2a+m=0,W=-2/jn=2y[2,

【跟踪训练】3解设方程的实根为x=0,则原方程可变为3®—1/»—1=(10—//?—2z»)i,

,a

3加一那一1=0,

所以解得片11或一子

{1。一勿一2/=0,

【当堂达标】

LA解析：选A.在①中未对z=a+8i中a,8的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的

平方与实数的平方等同，如若©=1,z2=i,则J+W=l—1=0,但Z|Wz2#0,故②错误;

在③中忽视0•i=0,故③也是错误的.

2.B解析：z=ai2—bi=—a—bi,由纯虚数的定义可得a=0且bWO.

"一9=0,

3.一3解析：因为zVO,所以一八解得力=一3.

rx—x—6

V_6x+]一°'

4.3解析：因为xGR,所以.叶1WR,由复数相等的条件得J『_2丫一3=0,解得刀=3・