《数学》复习人教A（新高考）-第2节　两直线的位置关系

第八章

第2节两直线的位置关系知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实夯实基础回扣知识1知识梳理///////1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行(2)两条直线垂直当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线

．k1＝k2

平行

k1·k2＝－1

垂直2．两直线相交唯一解

无解

无数个解

3．距离公式4．对称问题(2a－x0，2b－y0)

1．两直线平行的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．2．两直线垂直的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.3．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件

(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．

(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2. (

) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1. (

) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交． (

) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(

)

解析

(1)两直线l1，l2有可能重合．

(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0， 则l2的斜率不存在．×

×

√

√

D

3．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．－9

4．(2021·武汉联考)若直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝ (

) A．－2B．－4C．－6D．－8B

5．(2020·淮南二模)设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的 (

) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0，3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行；若两条直线平行， 则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)， 所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要条件， 故选A.A

4

考点分层突破题型剖析考点聚焦2【例1】已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1)试判断l1与l2是否平行； 解

法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2； 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；考点一两直线的平行与垂直///////师生共研【例1】已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (2)当l1⊥l2时，求a的值． 解

法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，

l1与l2不垂直， 故a＝1不成立； 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2， 故a＝0不成立； 当a≠1且a≠0时，1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．感悟升华【训练1】(1)经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是 (

) A．6x－4y－3＝0 B．3x－2y－3＝0 C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0A

BD

考点二两直线的交点与距离问题///////师生共研D

【例2】(2)(2021·广州模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是______________．[0，10]

1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．2．利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为对应相等．感悟升华【训练2】(1)(多选题)(2020·济宁调研)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为(

) A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0 C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0BD

【训练2】(2)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为________________．5x＋3y－1＝0

【例3】过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________________． 解析设l1与l的交点为A(a，8－2a)， 则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上， 所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.考点三对称问题///////多维探究角度1点关于点对称x＋4y－4＝0

感悟升华【例4】一束光线经过点P(2，3)射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后经过点Q(1，1)，则入射光线所在直线的方程为__________________．角度2点关于线对称5x－4y＋2＝0

感悟升华【例5】(1)(2021·成都诊断)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程是(

) A．3x－4y＋5＝0 B．3x－4y－5＝0 C．3x＋4y－5＝0 D．3x＋4y＋5＝0

解析设所求直线上点的坐标(x，y)， 则关于x轴的对称点(x，－y)在已知的直线3x－4y＋5＝0上， 所以所求对称直线方程为3x＋4y＋5＝0， 故选D.角度3线关于线对称D

【例5】(2)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是________________________

解析设所求直线上任意一点P(x，y)， 则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，x－2y＋3＝0

由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上， ∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.求直线l1关于直线l对称的直线l2有两种处理方法：(1)在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用点关于直线的对称的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l2的方程．(2)设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为P1(x1，y1)(P1在直线l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x1，y1，再代入直线l1的方程，即得直线l2的方程．感悟升华【训练3】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：

(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；【训练3】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：

(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程； 解在直线m上取一点，如M(2，0)， 则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上．设对称点为M′(a，b)，【训练3】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：

(3)直线l关于点A对称的直线l′的方程． 解法一在l：2x－3y＋1＝0上任取两点， 如P(1，1)，N(4，3)， 则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上． 易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.

法二设Q(x，y)为l′上任意一点， 则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y)， ∵Q′在直线l上， ∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即2x－3y－9＝0.具有某些共同特点的所有直线的全体称为直线系，直线系方程问题是高中数学中的一类重要问题，在解题中有着重要的应用．在直线方程求解中，可以由特定条件设出直线系方程，再结合题目中其他条件求出具体直线，这个解题思路在解决许多问题时，往往能起到化繁为简，化难为易的作用．活用直线系方程一、相交直线系方程【例1】已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程． 解法一解l1与l2组成的方程组得到交点P(0，2)，法三设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.二、平行直线系方程【例2】已知直线l1与直线l2：x－3y＋6＝0平行，l1与x轴、y轴围成面积为8的三角形，请求出直线l1的方程．【例3】已知直线方程3x－4y＋7＝0，求与之平行且在x轴、y轴上的截距和是1的直线l的方程．三、垂直直线系方程【例4】求经过A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程． 解因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直， 所以设直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2，1)， 所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0， 即所求直线方程为x－2y＝0.思维升华课后巩固作业提升能力分层训练3C

2．已知直线l过点(0，7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为(

) A．y＝－4x－7 B．y＝4x－7 C．y＝4x＋7 D．y＝－4x＋7

解析过点(0，7)且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x， 即直线l的方程为y＝－4x＋7， 故选D.D

B

A

5．(2020·豫西五校联考)过点P(1，2)作直线l，若点A(2，3)，B(4，－5)到它的距离相等，则直线l的方程为 (

) A．4x＋y－6＝0或x＝1 B．3x＋2y－7＝0 C．4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0 D．3x＋2y－7＝0或x＝1C

6．(多选题)(2021·泰安调研)已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，则下列说法正确的是 (

) A．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直

B．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0 C．直线l过定点(0，1) D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等 解析

对于A项，当a＝－1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，显然与x＋y＝0垂直， 所以正确；AC

对于B项，若直线l与直线x－y＝0平行，可知(a2＋a＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a＝0或a＝－1，所以不正确；对于C项，当x＝0时，有y＝1，所以直线过定点(0，1)，所以正确；对于D项，当a＝0时，直线l的方程为x－y＋1＝0，在两轴上的截距分别是－1，1，所以不正确．D

解析由题意，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，所以直线y＝ax＋2上的点(0，2)关于直线y＝－x的对称点(－2，0)在直线y＝－3x＋b上，所以(－3)×(－2)＋b＝0，所以b＝－6，所以直线y＝－3x－6上的点(0，－6)关于直线y＝－x的对称点(6，0)在直线y＝ax＋2上，所以6a＋2＝0，CD

二、填空题9．(2020·南昌重点中学联考)已知直线l1：y＝2x，则过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心且与直线l1垂直的直线l2的方程为________________．x＋2y－3＝0

10．直线x－2y－3＝0关于定点M(－2，1)对称的直线方程是_______________． 解析设所求直线上任一点(x，y)， 则关于M(－2，1)的对称点(－4－x，2－y)在已知直线上， ∴所求直线方程为(－4－x)－2(2－y)－3＝0，即x－2y＋11＝0.x－2y＋11＝0

11．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则PQ的最小值为________．12．以点A(4，1)，B(1，5)，C(－3，2)，D(0，－2)为顶点的四边形ABCD的面积为________．25

C

解析

A关于直线x＝0的对称点是A′(－3，－1)，关于直线y＝x的对称点是A″(－1，3)，由角平分线的性质可知，点A′，A″均在直线BC上，所以直线BC的方程为y＝2x＋5.故选C.ABD

解析

对于A，a×1＋(－1)×a＝0恒成立，l1与l2都互相垂直恒成立，故A正确；对于B，直线l1：ax－y＋1＝0，当a变化时，x＝0，y＝1恒成立，所以l1恒过定点A(0，1)；l2：x＋ay＋1＝0，当a变化时，x＝－1，y＝0恒成立，所以l2恒过定点B(－1，0)，故B正确；