《数学》复习人教A（新高考）-第3节　全称量词与存在量词

第一章

第3节全称量词与存在量词知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实夯实基础回扣知识1知识梳理///////1.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“

”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“

”表示.∀∃2.全称命题和特称命题名称全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)1.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.2.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.3.命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假.1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)至少有一个三角形的内角和为π是全称命题. (

) (2)“全等三角形的面积相等”是特称命题. (

) (3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词. (

) (4)“长方形的对角线相等”是特称命题. (

)×××√2.命题：“∃x0∈R，x－ax0＋1<0”的否定为

.

解析

当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数.∀x∈R，x2－ax＋1≥0

真AC解析

由条件可知：原命题应为特称命题且为假命题，所以排除BD；所以AC均为特称命题且为假命题，故选AC.∴x的取值为负数即可，例如x＝－1.－1(任意负数)∴Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1.∴实数a的取值范围是(－∞，－1].(－∞，－1]考点分层突破题型剖析考点聚焦21.已知命题p：“∃x0∈R，ex0－x0－1≤0”，则綈p为 (

) A.∃x0∈R，ex0－x0－1≥0 B.∃x0∈R，ex0－x0－1＞0 C.∀x∈R，ex－x－1＞0 D.∀x∈R，ex－x－1≥0

解析

根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1＞0”，故选C.考点一含有一个量词的命题的否定///////自主演练C2.(2021·青岛模拟)设命题p：所有正方形都是平行四边形，则綈p为 (

) A.所有正方形都不是平行四边形

B.有的平行四边形不是正方形

C.有的正方形不是平行四边形

D.不是正方形的四边形不是平行四边形 解析

“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即綈p为有的正方形不是平行四边形.C3.(2021·山东重点高中联考)已知集合A是奇函数集，B是偶函数集.若命题p：∀f(x)∈A，|f(x)|∈B，则綈p为 (

) A.∀f(x)∈A，|f(x)|∉B

B.∀f(x)∉A，|f(x)|∉B C.∃f(x)∈A，|f(x)|∉B

D.∃f(x)∉A，|f(x)|∉B

解析

全称命题的否定为特称命题：改写量词，否定结论. ∴綈p：∃f(x)∈A，|f(x)|∉B.C否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.感悟升华考点二全称命题、特称命题的真假判断///////师生共研B.∃x0∈(0，1)，log

x0＞log

x0BD故B是真命题；故C是假命题；故D是真命题.【例1】(2)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是 (

) A.锐角三角形有一个内角是钝角

B.至少有一个实数x，使x2≤0 C.两个无理数的和必是无理数

D.存在一个负数x，使＞2

解析A中锐角三角形的内角都是锐角， 所以A是假命题；

B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0， 所以B既是特称命题又是真命题；B所以D是假命题.所以C是假命题；判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可.感悟升华【训练1】(1)(多选题)下列命题中是真命题的有 (

) A.∀x∈R，2x－1＞0 B.∀x∈N*，(x－1)2＞0 C.∃x0∈R，lgx0＜1 D.∃x0∈R，tanx0＝2

解析

当x＝1时，(x－1)2＝0，故B为假命题，其余都是真命题，故选ACD.ACD【训练1】(2)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是(

) A.∀x∈R，f(－x)≠f(x) B.∀x∈R，f(－x)≠－f(x) C.∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0) D.∃x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)

解析

∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数，

∴∀x∈R，f(－x)＝f(x)为假命题，

∴∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)为真命题.C【例2】(1)已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为

.

解析

由命题p为真，得a≤0， 由命题q为真， 得Δ＝4a2－4(2－a)≥0， 即a≤－2或a≥1， 所以a≤－2.考点三由命题的真假求参数的取值范围///////师生共研(－∞，－2]解析

当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，由f(x)min≥g(x)min，(1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围.(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决.感悟升华1∴实数m的最大值为1.【训练2】(2)(2020·潍坊调研)若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，∀x1∈[－1，2]，∃x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________.

解析

由于函数g(x)在定义域[－1，2]内是任意取值的， 且必存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f(x0)， 因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集.

函数f(x)的值域是[－1，3]， 因为a＞0， 所以函数g(x)的值域是[2－a，2＋2a]， 则有2－a≥－1且2＋2a≤3，课后巩固作业提升能力分层训练3一、选择题C2.(多选题)(2020·重庆质检)下列命题中是真命题的有 (

) A.∃x0∈R，log2x0＝0 B.∃x0∈R，cosx0＝1 C.∀x∈R，x2＞0 D.∀x∈R，2x＞0

解析因为log21＝0，cos0＝1， 所以选项A，B均为真命题；

02＝0，选项C为假命题；

2x＞0，选项D为真命题.ABD3.下列命题是真命题的为 (

) A.所有的素数都是奇数

B.∀x∈R，x2＋1≥0 C.对于每一个无理数x，x2是有理数

D.∀x∈Z，∉ZB4.已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是 (

) A.∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0 B.∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0 C.∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0 D.∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0

解析

已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0， 则綈p：∃x1，

x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0， 故选C.

C5.(多选题)(2021·烟台调研)下列四个命题中是真命题的有 (

) A.任意x∈R，3x>0 B.存在x∈R，x2＋x＋1≤0 C.任意x∈R，sinx<2x D.存在x∈R，cosx>x2＋x＋1

解析

∀x∈R，3x>0恒成立，A是真命题. ∴B是假命题.ADD7.已知函数f(x)＝x，则 (

) A.∃x0∈R，f(x0)＜0 B.∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥0 D.∀x1∈[0，＋∞)，∃x2∈[0，＋∞)，f(x1)＞f(x2)

解析

幂函数f(x)＝x

的值域为[0，＋∞)， 且在定义域上单调递增， 故A错误，B正确，C错误；D选项中当x1＝0，结论不成立.BC此时sinx－tanx<0，故命题p为真命题.由于命题p为特称命题，所以命题p的否定为全称命题，二、填空题9.命题“∀x∈R，x2＋x＋1＞0”的否定是

.10.下列命题中的假命题是________(填序号). ①∃x0∈R，lgx0＝1；②∃x0∈R，sinx0＝0；③∀x∈R，x3＞0； ④∀x1＞x2，2x1＞2x2.

解析

当x＝10时，lg10＝1，则①为真命题； 当x＝0时，sin0＝0，则②为真命题； 当x＜0时，x3＜0，则③为假命题； 由指数函数的性质知，∀x1＞x2，2x1＞2x2，则④为真命题.③1∴m的最小值为1.12.能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是

.

解析根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义