北师大版八年级数学下册常考题专练专题01三角形证明之等腰三角形证明(原卷版+解析)

专题01三角形证明之等腰三角形证明题型一等腰三角形的性质1．如图，在中，,为斜边上的两个点，且，,则的度数为A． B． C． D．2．如图，中，，点在边上，且，则的度数为A． B． C． D．3．已知，是一个等腰三角形的两边长，且满足，则这个等腰三角形的周长为．4．已知两个等腰，有公共顶点，，连接，是的中点，连接、．（1）如图1，当与在同一直线上时，求证：；（2）如图1，若，，求，的长；（3）如图2，当时，求证：．5．如图，已知和都是等腰直角三角形，，，．连接交于，连接交于，与交点为，连接．（1）如图1，求证：；（2）如图1，求证：是的平分线；（3）如图2，当，时，求的长．题型二等腰三角形的判定6．下列说法中错误的是A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．三角形的中线、角平分线、高线都是线段 C．任意三角形的内角和都是 D．三角形按边分可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形7．如图，等腰直角三角形中，，、分别为、边上的点，，交于点，过点作交的延长线于点，交于点．（1）求证：为等腰三角形；（2）判断线段、与的数量关系并证明你的结论．题型三等腰三角形的性质与判定的综合8．如图，已知点为内一点，平分，，．若，，则的长为．9．如图，中，，，，与的平分线交于点，，，则A． B． C． D．10．如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是A．10 B．8 C．6 D．411．如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为．12．如图，在中，、分别是和的平分线，于，交于，于，交于，，，，，结论①；②；③；④．其中不正确的有A．4个 B．3个 C．2个 D．1个13．如图，中，，是角平分线，，，、为垂足，对于结论：①；②；③上任一点到、的距离相等；④上任一点到、的距离相等．其中正确的是A．仅①② B．仅③④ C．仅①②③ D．①②③④14．如图，已知，点、、在射线上，点、、在射线上；△、△、△均为等边三角形．若，则△的边长为A． B． C． D．15．如图，已知等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：①；②是等边三角形；③；④，其中正确的个数是A．1 B．2 C．3 D．416．如图，在中，，是上任意一点，过分别向，引垂线，垂足分别为，，是边上的高．（1），，的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．

题型四等腰三角形的分类讨论17．若的三边分别为，，8，且为等腰三角形，则的周长为．18．在等腰中，，上的中线将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为．19．已知等腰三角形的周长是12，设腰长为，底边长为，那么关于的函数关系式为（写出自变量的取值范围）．20．如图，在中，，，点在线段上运动不与、重合），连接，作，交线段于，在点的运动过程中，的形状也在改变，当是等腰三角形时，的度数是．21．在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角的度数是．题型五等腰三角形存在性问题22．在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴上运动，当以点，、为顶点的三角形为等腰三角形时，点的个数为A．2个 B．3个 C．4个 D．5个23．如图，在中，为钝角，，，点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当是等腰三角形时，运动的时间是A． B． C． D．24．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的一个动点，当是等腰三角形时，点的坐标为．25．在平面直角坐标系中点、分别是轴、轴上的点且点坐标是，．点在线段上，是靠近点的三等分点．点是轴上的点，当是等腰三角形时，点的坐标是．26．如图，正方形边长为2，为上一动点，作于，连接．当是以为腰的等腰三角形时，的长为．

27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点．（1）求一次函数的函数关系式；（2）求的面积；（3）若点在第二象限，是以为直角边的等腰直角三角形，直接写出点的坐标．28．如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点．（1）求点的坐标；（2）如图2，直线交轴负半轴于点，且，为线段上一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，为延长线上一点，且，在线段上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

29．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线与轴、轴分别交于，两点，且，点是直线上的一个动点，连接．（1）求点的坐标和的值；（2）求的面积与之间的函数关系式；（3）探索：①当点运动到什么位置时，的面积是？②在①的情形下，轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．30．如图1，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．（1）求一次函数的解析式及点的坐标；（2）在轴上是否存在一点，使是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点作轴于点，点是线段上一点，是轴正半轴上一点，且，连接，求的面积的最大值．31．如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点．（1）求的面积；（2）如图2，直线交轴负半轴于点，，为线段（不含，两点）上一点，过点作轴的平行线交线段于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，为线段延长线上一点，且，在直线上方的直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．32．如图（1），中，，，，的平分线交于，过点作与垂直的直线．动点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，运动时间为秒，同时动点从点出发沿折线以相同的速度运动，当点到达点时、同时停止运动．（1）求、的长；（2）设的面积为，求与的函数关系式；（3）当在上在上运动时，如图（2），设与交于点，当为何值时，为等腰三角形？求出所有满足条件的值．33．如图，正方形的边，在坐标轴上，点的坐标为．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向点运动；点从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，规定点到达点时，点也停止运动．连接，过点作的垂线，与过点平行于轴的直线相交于点．与轴交于点，连接．设点运动的时间为．（1）的度数为，点的坐标为（用表示）；（2）当为何值时，为等腰三角形？（3）探索周长是否随时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．题型六等边三角形的性质与判定34．等边的边长为6，是边上的中线，是上的动点，是边上的动点，则的最小值，若，的最小值为．35．如图，直线交轴于点，交轴于点，点和点关于轴对称，连接，点是外一点，，点是上一点，点是上一点，且，连接，．若，则的值为．36．如图，在中，，，，点是上的动点，连接，以为边作等边，连接，则点在运动过程中，线段长度的最小值是．37．如图，在平面直角坐标系中，已知点，为等边三角形，是轴上一个动点（不与原点重合），以线段为一边在其右侧作等边三角形．（1）求点的坐标；（2）在点的运动过程中，的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．（3）连接，当时，求点的坐标．38．如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，．（1）操作发现如图2，固定，使绕点顺时针旋转．当点恰好落在边上时．①线段与的位置关系是．（不需证明）②设的面积为，的面积为，则与的数量关系是，证明你的结论；（2）猜想论证当绕点旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中，边上的高，请你证明小明的猜想．专题01三角形证明之等腰三角形证明题型一等腰三角形的性质1．如图，在中，，为斜边上的两个点，且，，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：设，，则，．，，，．在中，，，解得，．故选：．2．如图，中，，点在边上，且，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：，，，，，设，则，，可得，解得：，则，故选：．3．已知，是一个等腰三角形的两边长，且满足，则这个等腰三角形的周长为10或11．【解答】解：，，，解得，，，当是腰长时，等腰三角形的周长，当是腰长时，等腰三角形的周长，故答案为：10或11．4．已知两个等腰，有公共顶点，，连接，是的中点，连接、．（1）如图1，当与在同一直线上时，求证：；（2）如图1，若，，求，的长；（3）如图2，当时，求证：．【解答】（1）证明：如图1中，延长交于点．与均为等腰直角三角形，，点为线段的中点，又点为线段的中点，为的中位线，．（2）解：如答图中，延长交于点，则与为等腰直角三角形，，，点为中点，又点为中点，．分别延长与交于点，则与均为等腰直角三角形，，，点为中点，又点为中点，．，，，．（3）证明：如图2中，延长交于点，连接，则与均为等腰直角三角形．，，点为中点，又点为中点，．延长与交于点，连接，则与均为等腰直角三角形，，，点为中点，又点为中点，．在与中，，，，．5．如图，已知和都是等腰直角三角形，，，．连接交于，连接交于，与交点为，连接．（1）如图1，求证：；（2）如图1，求证：是的平分线；（3）如图2，当，时，求的长．【解答】（1）证明：如图1．，，．在和中，，，．，．．（2）证明：如图1，作于，于．由（1）知，，，．点在的平分线上．即是的平分线．（3）如图2．，，．，．在中，，，．，．在中，，．．题型二等腰三角形的判定6．下列说法中错误的是A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．三角形的中线、角平分线、高线都是线段 C．任意三角形的内角和都是 D．三角形按边分可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形【解答】解：、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，故说法错误，符合题意；、三角形的中线、角平分线、高线都是线段，说法正确，不合题意，故本选项不合题意；、任意三角形的内角和都是，说法正确，不合题意；、三角形按边分可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，说法正确，不合题意；故选：．7．如图，等腰直角三角形中，，、分别为、边上的点，，交于点，过点作交的延长线于点，交于点．（1）求证：为等腰三角形；（2）判断线段、与的数量关系并证明你的结论．【解答】（1）证明：等腰直角三角形中，，，，又，，，，，，，，，，，，为等腰三角形．（2）答：线段、与的数量关系为．证明：过点作的垂线，交的延长线于点．（见右图），，．，，，，，由（1）可得，，又，，，，又，，，又，．题型三等腰三角形的性质与判定的综合8．如图，已知点为内一点，平分，，．若，，则的长为．【解答】解：如图，延长交于，，，平分，，，，，，，，，，由勾股定理得：．故答案为：．9．如图，中，，，，与的平分线交于点，，，则A． B． C． D．【解答】解：，，，，平分，平分，，，，，，，，故选：．10．如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是A．10 B．8 C．6 D．4【解答】解：延长交于，平分，，，，在和中，，，，，，，故选：．11．如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为10．【解答】解：如图：延长，交点于，平分，，，，在和中，，，，；，，即；，，当时，面积最大，即最大面积．故答案为10．12．如图，在中，、分别是和的平分线，于，交于，于，交于，，，，，结论①；②；③；④．其中不正确的有A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：①平分，，，，，，，①正确；②同理得：，，，②正确；③，由①知：，，中，，，，③正确；④当时，，，，则与不相等，④不正确；所以本题不正确的有④，故选：．13．如图，中，，是角平分线，，，、为垂足，对于结论：①；②；③上任一点到、的距离相等；④上任一点到、的距离相等．其中正确的是A．仅①② B．仅③④ C．仅①②③ D．①②③④【解答】解：是角平分线，，，、为垂足，，且上任一点到、的距离相等；又，根据三线合一的性质，可得垂直平分，上任一点到、的距离相等．故选：．14．如图，已知，点、、在射线上，点、、在射线上；△、△、△均为等边三角形．若，则△的边长为A． B． C． D．【解答】解：△为等边三角形，，，，同理：，，．以此类推可得△的边长为，故选：．15．如图，已知等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：①；②是等边三角形；③；④，其中正确的个数是A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如图1，连接，，，，，，，，，，；故①正确；，，，，，，是等边三角形；故②正确；如图2，在上截取，，是等边三角形，，，，，，，在和中，，，，；故③正确；如图3，过点作于，，，，，，；故④正确．故选：．16．如图，在中，，是上任意一点，过分别向，引垂线，垂足分别为，，是边上的高．（1），，的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．【解答】解：（1）．证明：连接，则，即，，．（2）当点在延长线上时，（1）中的结论不成立，但有．理由：连接，则，即，，即．同理当点在的延长线上时，则有，说明方法同上．题型四等腰三角形的分类讨论17．若的三边分别为，，8，且为等腰三角形，则的周长为29或．【解答】解：当时，解得，则，，构不成三角形，时，不成立；当时，解得，，则，此时的周长为：，当时，解得，，则，此时的周长为：，所以，的周长为29或，故答案为29或．18．在等腰中，，上的中线将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为16或8．【解答】解：是等腰的中线，设，则，又知将三角形周长分为15和21两部分，可知分为两种情况，①，即，解得，此时；②，即，解得；此时等腰的三边分别为14，14，8．经验证，这两种情况都是成立的．这个三角形的底边长为8或16．故答案为：16或8．19．已知等腰三角形的周长是12，设腰长为，底边长为，那么关于的函数关系式为（写出自变量的取值范围）．【解答】解：由题意得：，，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：，，，故答案为．20．如图，在中，，，点在线段上运动不与、重合），连接，作，交线段于，在点的运动过程中，的形状也在改变，当是等腰三角形时，的度数是或．【解答】解：，，①当时，，，此时不符合；②当时，即，，；；③当时，，，；当是等腰三角形时，的度数是或，故答案为：或．21．在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角的度数是或．【解答】解：当为锐角三角形时，如图1，设的垂直平分线交线段于点，交于点，，，，，；当为钝角三角形时，如图2，设的垂直平分线交于点，交于点，，，，，，，；综上可知的度数为或，故答案为：或．题型五等腰三角形存在性问题22．在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴上运动，当以点，、为顶点的三角形为等腰三角形时，点的个数为A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：如图，当时，可得、满足条件；当时，可得满足条件；当时，可得满足条件，故选：．23．如图，在中，为钝角，，，点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当是等腰三角形时，运动的时间是A． B． C． D．【解答】解：设运动的时间为，在中，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，当是等腰三角形时，，，即，解得．故选：．24．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的一个动点，当是等腰三角形时，点的坐标为，，，，．【解答】解：时，；时，，，，．，设点坐标为，即，解得，，，故答案为：，，，，，，．25．在平面直角坐标系中点、分别是轴、轴上的点且点坐标是，．点在线段上，是靠近点的三等分点．点是轴上的点，当是等腰三角形时，点的坐标是或或或．．【解答】解：点坐标是，，，，点在线段上，是靠近点的三等分点，，过点作，，，为等腰三角形，当时，点的坐标为或；当时，点在的垂直平分线上，，，，，，，，当时，，，当为等腰三角形时，点的坐标为或或或，故答案为：或或或．26．如图，正方形边长为2，为上一动点，作于，连接．当是以为腰的等腰三角形时，的长为或2．【解答】解：过作于，四边形是正方形，，，，，，，当是以为腰的等腰三角形时，此时只能，，，，，，，，设，则，在中，由勾股定理得：，，，解得：，，，，当与重合，则与重合，是以为腰的等腰三角形，此时，故答案为：或2．27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点．（1）求一次函数的函数关系式；（2）求的面积；（3）若点在第二象限，是以为直角边的等腰直角三角形，直接写出点的坐标．【解答】解：（1）点在正比例函数的图象上，，得，点的坐标为点，在一次函数的图象上，，解得，故一次函数的解析式为：；（2）在一次函数中，令，则，解得，点的坐标为即，点的坐标为；（3）过点作轴于点，过点作轴于点，如图，点在第二象限，是以为直角边的等腰直角三角形，，，，，在和中，，，，，即可得出点的坐标为；同理可得出：，，，点的坐标为．综上可知点的坐标为或．28．如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点．（1）求点的坐标；（2）如图2，直线交轴负半轴于点，且，为线段上一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，为延长线上一点，且，在线段上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）交轴于点，，，直线解析式为，令，，．（2），，，，，，，点，设直线解析式为，，，直线解析式为，在直线上，可设点，轴，且点在上，，（3）过点作于，，轴，，，，，，，过点作于，过点作于点，，四边形是矩形，，可设，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，，，，即，在直线上，，，，，，．29．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线与轴、轴分别交于，两点，且，点是直线上的一个动点，连接．（1）求点的坐标和的值；（2）求的面积与之间的函数关系式；（3）探索：①当点运动到什么位置时，的面积是？②在①的情形下，轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1），，，解得，，，点，；把点代入得，，解得：，（2）直线解析式为，当点在轴上方时，即：，，的面积，当点在轴下方时，即：，，的面积，（3）当点在轴上方时，即：时，①面积，当时，，解得：，此时，则点的坐标为；②存在这样的点．理由如下：由②知，的坐标是，则．如图，当是的顶角顶点时，的坐标是或，当是的顶角顶点时，与过的与轴垂直的直线对称，则的坐标是；当是的顶角顶点时，设，则，解得，，则．综上所述，符合条件的点的坐标是：或或或当点在轴下方时，即：，①面积，当时，，解得：，此时，则点的坐标为；②不存在这样的点．理由如下：由②知，的坐标是，点在轴上，而点，也在轴上，不能构成三角形；综上所述，符合条件的点的坐标是：或或或30．如图1，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．（1）求一次函数的解析式及点的坐标；（2）在轴上是否存在一点，使是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点作轴于点，点是线段上一点，是轴正半轴上一点，且，连接，求的面积的最大值．【解答】解：（1）将点、的坐标代入一次函数表达式得，解得，故一次函数表达式为：，则，解得，故点；（2）设点，而点、的坐标分别为、，则，同理，，当时，则，解得：或3（舍去；当时，同理可得：；当时，同理可得：；故点的坐标为或或或；（3）过点作轴于点，设：，，点，故，将围绕点旋转得到，则，，而，，的面积的面积，当的面积最小时，的面积最大，，最小时，的面积最小，当时，的值最小（备注），，解得，故的面积的最大值为．备注：设两直角边分别为，，斜边为，，，当且仅当时取到最小值，最小值，即等腰直角的时候的斜边才是最小的．31．如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点．（1）求的面积；（2）如图2，直线交轴负半轴于点，，为线段（不含，两点）上一点，过点作轴的平行线交线段于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，为线段延长线上一点，且，在直线上方的直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）交轴于点，，解得，直线解析式为，令，，；，，，，，；（2），，，，点，设直线解析式为，，，直线解析式为，在直线上，可设点，轴，且点在上，，；（3）过点作于，，轴，，，，在与中，，，，，过点作于，过点作于点，，四边形是矩形，，可设，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，，，即，在直线上，，，，．32．如图（1），中，，，，的平分线交于，过点作与垂直的直线．动点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，运动时间为秒，同时动点从点出发沿折线以相同的速度运动，当点到达点时、同时停止运动．（1）求、的长；（2）设的面积为，求与的函数关系式；（3）当在上在上运动时，如图（2），设与交于点，当为何值时，为等腰三角形？求出所有满足条件的值．【解答】（1）解：，，，，，由勾股定理得：，平分，，，在中，，，，答：，．（2）解：①当在上，在上时，，则，，过作于，，，，，，即；②当在上，在上时，过作于，过作于，，，，，，，，，，，即．④当时，在点，在上，如图（3）过作于，于，，由（1）知，，有勾股定理得：，，，；综合上述：与的函数关系式是：；．（3）解：如图（2），，，，，，平分，，，①时，，，，，解得：，②时，此时，，，此时不存在；③时，过作于，，，，，，，，，，，，，解得：综合上述：当为或时，是等腰三角形．33．如图，正方形的边，在坐标轴上，点的坐标为．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向点运动；点从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，规定点到达点时，点也停止运动．连接，过点作的垂线，与过点平行于轴的直线相交于点．与轴交于点，连接．设点运动的时间为．（1）的度数为，点的坐标为（用表示）；（2）当为何值时，为等腰三角形？（3）探索周长是否随时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．【解答】解：（1）如图1，由题可得：（秒．四边形是正方形，，．，．．，，．在和中，．，．，，．，．点坐标为．故答案为：，．（2）①若，则，②若，则．．．在和中，．．点与点重合．点与点重合．点，．此时．③若，在和中，．．，．．，．延长到点，使得，连接，如图2所示．在和中，．，．，，．．．在和中，．．．．．解得：综上所述，当为0秒或4秒或秒时，为等腰三角形．（3），．周长是定值，该定值为8．题型六等边三角形的性质与判定34．等边的边长为6，是边上的中线，是上的动点，是边上的动点，则的最小值，若，的最小值为．【解答】解：如图1，是