高中数学（人教版必修2）练习及答案 第二章

第二章点、直线、平面之间的位置关系

§2.2直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1直线与平面平行的判定

一、基础过关

1.直线平面a,直线贝！］()

A.n//aB.〃与a相交

C.〃UaD.〃〃a或"Ua

2.棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是()

A.平行B.相交

C.平行或相交D.不相交

3.已知a,〃是两条相交直线，a//a,则人与a的位置关系是()

A.b//aB.6与a相交

C.bUaD.6〃a或人与a相交

4.一条直线/上有相异三个点A、B、C到平面a的距离相等，那么直线/与平面a的位置

关系是()

A.l//aB./.La

C./与a相交但不垂直D./〃a或/Ua

5.如图，在长方体ABS-AiBiGA的面中:

(1)与直线AB平行的平面是；

(2)与直线A4平行的平面是；

(3)与直线AD平行的平面是.

6.已知不重合的直线a,b和平面a.

①若n〃a,%Ua,则a〃8；②若a〃a,b//a,则a〃6；③若a〃h,hCa,则a〃a；

④若a〃b,a//a,则。〃a或bUa,其中正确命题的个数是.

7.在正方体A8C£)—AIBCIOI中，E为。。i的中点，求证：8。〃平面AEC.

8.如图，四棱锥A—OBCE中，。为底面正方形。8CE对角线的交点，尸为4E的中点.求

证：AB〃平面QCF.

二、能力提升

9.在空间四边形ABC。中，E、尸分别是48和8C上的点，若AE：EB=EF：FB=1：3,

则对角线AC和平面DEF的位置关系是)

A.平行B.相交

C.在内D.不能确定

10.过直线/外两点，作与/平行的平面，则这样的平面（）

A.不存在B.只能作出一个

C.能作出无数个D.以上都有可能

11.过平行六面体ABCO-ABiGA任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的

直线共有条.

12.如图，在平行四边形4BCD中,E为线段AB的中点，将△A3E沿直线£>E翻折成DE,

下为线段A'C的中点.求证：8F〃平面A'DE.

A，

三、探究与拓展

13.正方形ABC。与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE,8。上各有一点P,Q,且AP

=。。.求证：P。〃平面8CE.（用两种方法证明）

答案

I.D2.B3.D4.D

5.(1)平面AiG和平面0G⑵平面BCi和平面。G(3)平面与C和平面ACi

6.1

7.证明如图，连接8。交AC于F,连接EF.

因为F为正方形ABC。对角线的交点，所以F为AC、BO的中点.

在三角形。。山中，E、尸分别为。。卜OB的中点，所以EF〃DiB.

又EFU平面AEC,8。应平面AEC,所以BA〃平面AEC.

8.证明连接OF,

为正方形。BCE对角线的交点，...BO=OE,

又AF=FE,

J.AB//OF,

ABC平面。CF]/

0FU平面。CF,今4B〃平面DCF.

AB//OF.

9.A10.D11.12

12.证明取A'。的中点G,连接GF,GE,

Gi

D1

由条件易知FG〃C£>,FG=gcD,BE//CD,BE=^CD,

所以FG〃BE,FG=BE,故四边形BEGF为平行四边形,

所以8F〃EG.因为EGU平面A'DE,

BFQ平面A'DE,

所以8尸〃平面A'DE.

13.证明如图所示，连接4。并延长交8c于K,连接EK.

"：AP=DQ,AE=BD,

：.BQ=PE.

又尸夕平面BCE,EKU平面BCE,

...PQ〃平面BCE.

2.2.2平面与平面平行的判定

一、基础过关

1.直线/〃平面a,直线机〃平面a,直线/与相相交于点P,且/与根确定的平面为夕,

则a与£的位置关系是（）

A.相交B.平行C.异面D.不确定

2.平面a与平面£平行的条件可以是（）

A.a内的一条直线与夕平行

B.a内的两条直线与“平行

C.a内的无数条直线与夕平行

D.a内的两条相交直线分别与£平行

3.给出下列结论，正确的有（）

①平行于同一条直线的两个平面平行；

②平行于同一平面的两个平面平行；

③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；

④若a,人为异面直线，则过a与8平行的平面只有一个.

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.若正〃边形的两条对角线分别与面a平行，则这个正〃边形所在的平面一定平行于平面

a,那么〃的取值可能是)

A.12B.8C.6D.5

5.已知平面a、p和直线a、b、c,且a//b//c,b、cU°,则a与£的关系是.

6.有下列几个命题：

①平面a内有无数个点到平面少的距离相等，则a〃八

②aC0=b,且a〃伙a,0,y分别表示平面，a,人表示直线），则y〃夕；

③平面a内一个三角形三边分别平行于平面夕内的一个三角形的三条边，则a〃夕；

④平面a内的一个平行四边形的两边与平面夕内的一个平行四边形的两边对应平行，则

a//p.

其中正确的有-（填序号）

7.如图所示，矩形ABC。和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF,求证：AE〃平面。CK

8.在长方体A8CD—A山QQi中，E、F、Ei、Q分别是A8、CD、

AMGDi的中点.

求证：平面平面BCFiEi.

二、能力提升

9.a、夕是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定a〃夕的是

()

A.a,夕都平行于直线a、b

B.a内有三个不共线的点到”的距离相等

C.a,。是a内两条直线，且a〃夕，b/邛

D.a、b是两条异面直线，且a〃a,b//a,a//P，b//

10.正方体EFG//—EIFIGIHI中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()

A.平面EIFGI与平面EGHi

B.平面/77G1与平面尸i"iG

C.平面RHiH与平面FHEi

D.平面EHGi与平面EaiG

11.如图所示，在正方体ABCD—A\B\C\D\中，E、F、G、H分别是棱CG、C,D|.D\D.

CO的中点，N是BC的中点，点何在四边形EFGH及其内部运动，则M满足

时，有MV〃平面囱2。。|.

12.已知在正方体A8CD-AiBiCQi中，M、E、尸、N分别是48、BG、C,DKCIAI的

中点.

求证：(1)E、F、D、B四点共面;

(2)平面AMN〃平面EFDB.

三、探究与拓展

13.如图所示，8为448所在平面外一点，加、代、6分别为44品1、八48。、

/XBCD的重心.

(1)求证：平面MNG〃平面ACO；

(2)求S^MNG:SAADC.

答案

1.B2.D3.B4.D

5.相交或平行

6.③

7.证明由于AB〃CO,BE//CF,故平面ABE〃平面OCK

而直线AE在平面ABE内，根据线面平行的定义，知AE〃平面DCF.

8.证明VE.后分别是A8、A向的中点，，AiEi〃BE且AiA=BE.

四边形为平行四边形.

...AiE〃8Ei.；4£a平面BCFE,

8E1U平面BCF\E\.

...AiE〃平面BCF\E\.

同理4。〃平面BCREi,

AiEQA\Di=A],

...平面AiEFZJ”平面BCFiEi.

9.D10.A1I.MC线段尸”

12.证明⑴：E、1分别是BiCi、G5的中点，1图由必,

,：DD\触HB\,

四边形DiBiBD是平行四边形，

：.D\B\//BD.

：.EF//BD,

即EEB。确定一个平面，故E、F、。、8四点共面.

⑵；M、N分别是〃8|、4D1的中点,

：.MN//D\B\//EF.

又MNQ平面EFDB,

EfU平面EFDB.

；.MN〃平面EFDB.

连接NE,则NE统A序触AB.

；.四边形NEBA是平行四边形.

；.AN〃8E.又AM：平面EFDB,BEU平面EFDB.；.AN〃平面EFDB.

,:AN、MN都在平面AMN内，且ANCMV=N,

平面AMN//平面EFDB.

13.(1)证明连接BM、BN、BG并延长交AC、AD,CO分别于P、F、H.

B

分别为、。、的重心，则有诉赤不

N、G△ABC△A3△BCDMr=INr=L，t7i7=2.

连接PF、FH、PH,有MN//PF.

又尸产U平面AC。，MNQ平面ACQ,

〃平面ACD.

同理MG〃平面AC。，MGCMN=M,

平面MNG〃平面ACD.

(2)解由(1)可知需=筹=*

；.MGmPH.

又产4=%。，：.MG=^AD.

同理NG=|AC,MN=gcD.

:.△MNGSXDCA、其相似比为1：3,

SAMNG:SAADC=1:9.

2.2.3直线与平面平行的性质

一、基础过关

1.a,6是两条异面直线，P是空间一点，过户作平面与a,6都平行，这样的平面（）

A.只有一个B.至多有两个

C.不一定有D.有无数个

2.如图，在四面体A8C。中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（）

A

"QC

A.AC.LBDB.AC〃截面PQMN

C.AC=BDD.异面直线PM与BO所成的角为45。

3.如图所示，长方体ABCO-AIBIGQI中，E、F分别是棱和的中点，过EF的平面

E尸GH分别交BC和AO于G、H,则HG与AB的位置关系是)

A.平行B.相交D.平行和异面

4.直线a〃平面a,a内有"条直线交于一点，则这〃条直线中与直线〃平行的直线（）

A.至少有一条B.至多有一条

C.有且只有一条D.没有

5.设相、〃是平面a外的两条直线，给出三个论断：

①小〃小②力〃a；③〃〃a.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，

写出你认为正确的一个命题：.（用序号表示）

6.如图所示，A8CQ—A/CiOi是棱长为"的正方体，M、N分别是下底面的

棱48、SG的中点，P是上底面的棱A。上的一点，AP=早过P，M,

N的平面交上底面于PQ,。在CD上，则PQ=.

7.A8CD是平行四边形，点尸是平面A8CO外一点，〃是PC的中点，在。M上取一点G,

过G和AP作平面交平面8。例于G”,求证：AP//GH.

8.如图所示，三棱锥A—SCO被一平面所截，截面为平行四边形EFGH

求证：CD〃平面EFG”.

二、能力提升

9.如图所示，平面aC夕=/|,aCly=/2，0Cy=b，/i〃，2，下列说法正确的是()

4/'、、?

A./|平行于况且/2平行于/3

B./i平行于h,且办不平行于6

C.不平行于国且，2不平行于/3

D./|不平行于儿但，2平行于/3

10.如图所示，已知A、B、C、。四点不共面，且AB〃平面a,CD//a,ACHa=E,ADC\a

=F,BDDa=H,BCCa=G,则四边形EFHG的形状是.

11.如图所示，在空间四边形ABCO中，E、F、G、”分别是四边上的点，它们共面，并且

AC〃平面EFGH,〃平面EFGH,AC=m,BD=〃,当四边形EFGH是菱形时，AE:EB

12.如图所示，P为平行四边形A8CO所在平面外一点，M、N分别为A3、

PC的中点，平面FOC平面尸8C=/.

(1)求证：BC//1-,

(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.

三、探究与拓展

13.如图所示，三棱柱ABC—AiBiG,。是BC上一点，且AB〃平面ACQ,5是81G的

中点，求证：平面48。〃平面4Go.

B

答案

1.C2.C3.A4.B

5.①②=>③(或①③=>②)6.4

7.证明如图所示，连接AC交8。于0,连接M0,

ABC。是平行四边形，

4BC。是平行四边形，点P是平面A8C。外一点，〃是PC的中点，在OM上取一点G,

过G和AP作平面交平面于GH,求证：AP//GH.

；.0是AC中点，又M是PC的中点，

J.AP//OM.

根据直线和平面平行的判定定理，

则有以〃平面BMD.

,：平面PAHGC1平面BMD=GH,

根据直线和平面平行的性质定理，

则有AP〃G”.

8.证明：四边形EFGH为平行四边形，

J.EF//GH.

又GHU平面BCD,EBI平面BCD.

〃平面BCD.

而平面AC£>ri平面8C£>=C，EFU平面AC。，/〃CD

而EFU平面EFGH,C£)Q平面EFGH,

，C£>〃平面EFGH.

9.A10.平行四边形

11.mn

12.(1)证明因为BC〃A。，AOU平面

8al平面布O,所以8C〃平面布D

又平面附。。平面PBC=l,BCU平面PBC,所以BC//1.

⑵解MV〃平面PAD.

证明如下：

如图所示，取P。中点E.

连接硒、AE.

MB

又,：N为PC中点、，：.EN*AB

：.EN触AM,：.四边形ENMA为平行四边形，J.AE//MN.

又,.•AEU平面处。，MNQ平面FA。,

；.MN〃平面PAD.

13.证明连接AC交AG于点E,

;四边形4ACG是平行四边形,

是4C的中点，连接ED,

平面AG。，

平面AiBCC平面AGD=EZ),

：.AsB//ED,

；E是AC的中点,工。是8c的中点.又是EG的中点，：.BDt//CiD,

又,；CiOU平面AGO,80足平面AG。，

平面AGO,

又AIBCB£>I=8,

二平面4801〃平面ACQ.

2.2.4平面与平面平行的性质

一、基础过关

1.已知平面a〃平面.，过平面a内的一条直线a的平面与平面尸相交，交线为直线儿

则a、b的位置关系是（）

A.平行B.相交C.异面D.不确定

2.已知“、〃表示直线，a、£表示平面，下列推理正确的是（）

A.aC\p=a,h^a=>a//h

B.aC£=ci,a//b^b//a5,b///3

C.h//p,aUa,h^a=>a//[i

D.B，aC\y=afpr\y=b^a//b

3.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面a〃平面4BC,a分别交

线段PA.PB、PC于A'、B'、C',若以'：A4'=2：3,则

S^A,BC:SAA8C等于（）

A.2：25B.4：25

C.2：5D.4：5

4.a,P，y为三个不重合的平面，a,b,c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是（）

a//cally

>z^a//b;②=^a//h；

b//cb//y\

a//ca//y

③0a〃川;、今a"%、

p//c.④p//y\

a//c

⑤,今alla;>^>a//a.

a//c®7

A.④⑥B.②③⑥C.②③⑤⑥D.②③

5.分别在两个平行平面的两个三角形.（填“相似”“全等”）

（1）若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有关系;

（2）若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有关系.

6.已知平面a〃4〃y,两条直线/、m分别与平面a、夕、y相交于点A、B、C与。、E、F.

DE2

已知AB=6,77^=三，则AC=______.

UrJ

Im

7.如图，在三棱柱ABC—48iG中，M是4G的中点，平面A81M〃平面BGN,ACC平面

BGN=N.

求证：N为AC的中点.

8.如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥尸一ABC。中，点E在PZ）上，且PE：E£>=2：1,

在棱PC上是否存在一点F,使8F〃平面AEC?并证明你的结论.

二、能力提升

9.设a〃夕，AGa,B0,C是AB的中点，当A、B分别在平面a、夕内运动时，得到无数

个的中点C,那么所有的动点C（）

A.不共面

B.当且仅当A、8分别在两条直线上移动时才共面

C.当且仅当A、8分别在两条给定的异面直线上移动时才共面

D.不论A、8如何移动，都共面

10.已知平面a〃平面夕，P是a,△外一点，过点尸的直线，"与a,尸分别交于点A,C,过

点P的直线〃与a,夕分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=S,则BD的长为（）

A.16B.24或gC.14D.20

11.对于不重合的两个平面a与夕，给定下列条件：①存在平面/使得a、夕都垂直于”

②存在平面了,使a、p都平行于外③a内有不共线的三点到p的距离相等；④存在异

面直线/,,〃，使得/〃a,/〃少，，〃〃a,〃及其中可以判断两个平面a与£平行的条件

有个.

12.如图所示，平面a〃平面£,AABC、Z\A'B'C分别在a、4内，线段44'、BB'、

CC'共点于O,。在a、夕之间，若AB=2,AC=\,ZBAC=90°,OA：OA'=3：2.

求B'C的面积.

三、探究与拓展

13.如图所示，在棱长为2的正方体A8C£>—AI2IGOI中，45的中点是尸，过点Ai作与截

面尸8G平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积.

答案

1.A2.D