江苏省南通市第一2022年中考联考数学试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.实数-1-的倒数是（)

3

5533

A.——B.—C.--D.-

2255

4

2.如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形AOBC的一个顶点O在坐标原点，一边OB在x轴的正半轴上,sinNAOB=-,

48

反比例函数y=一在第一象限内的图象经过点A,与BC交于点F,则AAOF的面积等于（）

X

A.30B.40C.60D.80

1

3.若代数式右有意义，则实数x的取值范围是（）

A.x>0B.x>0D.任意实数

4.下列4个点，不在反比例函数y=-g图象上的是（）

A.(2,一3)B.(—3,2)C.(3,-2)D.(3,2)

5.二次函数y=—f+2x+4的最大值为（）

A.3B.4

C.5D.6

6.下列命题中，错误的是（）

A.三角形的两边之和大于第三边

B.三角形的外角和等于360。

C.等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

D.三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分

7.如图，直线y=.x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O,另两个顶点M、N恰落在

直线y=.x+3上，若N点在第二象限内，贝IJtanNAON的值为（）

D.

8.如果一组数据6、7、X、9、5的平均数是2x,那么这组数据的方差为（）

B.3C.2

9.如图，AB是。。的直径，C,。是。。上位于A3异侧的两点.下列四个角中，一定与NAC。互余的角是（）

B.ZABDC.ZBACD.ABAD

10.老师在微信群发了这样一个图：以线段AB为边作正五边形ABCDE和正三角形ABG,连接AC、DG,交点为F,

下列四位同学的说法不正确的是（）

乙ACXAG

TDG是AB的垂直平分线

甲三角形DCF是等腰三角形

丙AC^DE平行

A.甲B.乙C.丙D.丁

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.已知抛物线丫=2*2+6*+©开口向上且经过点（1,1）,双曲线y=；经过点（a,bc）,给出下列结论：®bc>0；

2x

②b+c>0；③b,c是关于x的一元二次方程x2+(a-l)x+-!-=0的两个实数根；④a-b—c23.其中正确结论

是(填写序号)

x=2mx-^-ny=14

12.已知｛,是二元一次方程组｛.0的解，则m+3n的立方根为

y=[nx-my=13

13.若一个扇形的圆心角为60。，面积为6加，则这个扇形的半径为.

14.如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A(-6,0),C(0,2百).将矩形OABC绕点O顺时针方向旋

转，使点A恰好落在OB上的点Ai处，则点B的对应点Bi的坐标为.

k

16.如图，点A(m,2),B(5,n)在函数y=—(k>0,x>0)的图象上，将该函数图象向上平移2个单位长度得

x

到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A，、B'.图中阴影部分的面积为8,则k的值为.

17.如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A”A2,A、,As,…，A”，分别过这些点做x轴的垂线与反比

例函数y=L的图象相交于点，P1,P2,P3,P4,…Pn,再分别过P2,P3,P4,…Pn作P2B|_LA|P1,P3B2，A2P2,P4B3，A3P3，…，

X

P„Bn-l±An-iP„-i,垂足分别为Bl,B2,B3,B4,Bn-1,连接P1P2,P2P3,P3P4,…,Pn-lPn,得到一组RtAP1B1P2,

RtAP2B2P3,RtAP3B3P4,...JRtAPn-iBn-iPn,则RtAPn-iBn-iPn的面积为.

O

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）小马虎做一道数学题，“已知两个多项式A=口/—4_0B=2X2+3X-4.试求A+23.”其中多项式A

的二次项系数印刷不清楚.小马虎看答案以后知道A+28=x2+2x-8,请你替小马虎求出系数“W”；在（1）的基础

上，小马虎已经将多项式A正确求出，老师又给出了一个多项式C,要求小马虎求出A-C的结果.小马虎在求解时，

误把“A-C”看成“A+C”，结果求出的答案为X2-6X-2.请你替小马虎求出“A-C”的正确答案.

19.（5分）某商场用24000元购入一批空调，然后以每台3000元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完，商场又

以52000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了200元，每台的售价也

上调了200元.商场第一次购入的空调每台进价是多少元？商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调

销售中获得的利润率不低于22%,打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？

20.（8分）如图，AB为。O的直径，C是。O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D,AE±DC,垂足为E,

F是AE与。。的交点，AC平分NBAE.求证：DE是。O的切线；若AE=6,ND=30。，求图中阴影部分的面积.

21.（10分）如图，AABC是等腰三角形，AB=AC,NA=36°.

（1）尺规作图：作的角平分线30,交AC于点。（保留作图痕迹，不写作法）;

（2）判断ABCD是否为等腰三角形，并说明理由.

22.（10分）小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字2、3、4（背面完全相同）,

现将标有数字的一面朝下.小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和

小亮抽得的两个数字之和.请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率.如果和为奇数，则小明胜；若

和为偶数，则小亮胜.你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由.

23.（12分）如图，矩形A3C。为台球桌面，AO=260cm,AB=130cm,球目前在E点位置，AE=60cm.如果小丁

瞄准BC边上的点尸将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到。点位置.求3尸的长.

24.（14分）如图，AABC是。O的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE

为菱形.

（1）求证：AC=CE；

(2)求证：BC2-AC2=AB«AC；

（1）已知。。的半径为1.

A115

①若黑=巳，求BC的长；

AC3

Afl

②当为何值时，AB・AC的值最大？

AC

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】

因为-11=|>

23

所以的倒数是

故选D.

2、B

【解析】

过点A作AM_Lx轴于点M,设OA=a,通过解直角三角形找出点A的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即

可求出a的值，再根据四边形OACB是菱形、片WF在边BC上，即可得出SAAOF=-S菱彩OBCA,结合菱形的面积公式

2

即可得出结论.

【详解】

过匚点A作AMJ_x轴于点M,如图所示.

设OA=a,

4

在R3OAM中，ZAMO=90°,OA=a,sinZAOB=一，

5

4,_________3

AM=OA*sinZAOB=—a,OM=yjoA2-AM2=—a,

5

—34

，点A的坐标为（qa,《a）・

48

•・,点A在反比例函数y二—的图象上，

X

.3412

・・一一a二—a?=48,

5525

解得：a=L或a=・l（舍去）.

；.AM=8,OM=6,OB=OA=1.

,•,四边形OACB是菱形，点F在边BC上,

SAAOF=—S菱形OBCA=-OB*AM=2.

22

故选B.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出SAAOF=LS蜉OBCA.

2

3、C

【解析】

根据分式和二次根式有意义的条件进行解答.

【详解】

解：依题意得：且存1.

解得X#l.

故选C.

【点睛】

考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件.解题时，注意分母不等于零且被开方数是非负数.

4、D

【解析】

分析：根据y=—e得k=xy=-6,所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于-6,就在函数图象上.

7X

解答：解：原式可化为：xy=-6,

A、2x(-3)=-6,符合条件；

B、(-3)x2=-6,符合条件；

C、3x(-2)=-6,符合条件；

D、3x2=6,不符合条件.

故选D.

5、C

【解析】

试题分析：先利用配方法得到y=-(x-1)2+1,然后根据二次函数的最值问题求解.

解：y=-(x-1)2+1,

Va=-1<0,

・••当x=l时，y有最大值，最大值为L

故选C.

考点：二次函数的最值.

6、C

【解析】

根据三角形的性质即可作出判断.

【详解】

解：A、正确，符合三角形三边关系；

B、正确；三角形外角和定理；

C、错误，等边三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形；

D、三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分，正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查了命题真假的判断，属于基础题.根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命

题，不难选出正确项.

7、A

【解析】

过O作OCJ_AB于C,过N作ND±OA于D,设N的坐标是（x,.x+3）,得出DN=.x+3,OD=-x,求出OA=4,OB=3,

由勾股定理求出AB=5,由三角形的面积公式得出AOxOB=ABxOC,代入求出OC,根据01145。=__,求出ON,在

R3NDO中，由勾股定理得出（.x+3）2+（-x）2=（,.了，求出N的坐标，得出ND、OD,代入tanNAON=__求出即

75□□

可.

【详解】

过O作OC_LAB于C,过N作ND_LOA于D,

工设N的坐标是(x,x+3),

£

贝！］DN='x+3,OD=-x,

y=.x+3,

当x=0时，y=3,

当y=0时,x=-4,

AA(-4,0),B(0,3),

即OA=4,OB=3,

在AAOB中，由勾股定理得：AB=5,

•在AAOB中，由三角形的面积公式得：AOxOB=ABxOC,

.\3x4=5OC,

OC=„,

7

•・•在R3NOM中，OM=ON,ZMON=90°,

:.ZMNO=45°,

:.sin45°=l三,

三=三

AON=

12y：

在RtANDO中，由勾股定理得：ND2+DO2=ON2,

即(x+3)2+(-x)2=(,期，

解得：Xl=-_,X2=,

竺_

方25

TN在第二象限，

.♦.X只能是一，

2

25

X+3=

I三9

7

即ND=，OD=,

12处

2525

tanNAON=.

□z_i

故选A.

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点的运用，主要考查学生

运用这些性质进行计算的能力，题目比较典型，综合性比较强.

8、A

【解析】

分析：先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案.

详解：根据题意，得：6+7+；+9+5=2X

解得：x=3,

则这组数据为6、7、3、9、5,其平均数是6,

所以这组数据的方差为[[(6-6)2+(7-6)2+(3-6)2+(9-6)2+(5-6)2]=4,

故选A.

点睛：此题考查了平均数和方差的定义.平均数是所有数据的和除以数据的个数.方差是一组数据中各数据与它们的

平均数的差的平方的平均数.

9,D

【解析】

••,NACD对的弧是AO，AO对的另一个圆周角是NABD,

AZABD=ZACD(同圆中，同弧所对的圆周角相等)，

又：AB为直径，

.".ZADB=90°,

:.NABD+NBAD=90。，

BPZACD+ZBAD=90°,

.,.与NACD互余的角是NBA。.

故选D.

10、B

【解析】

利用对称性可知直线DG是正五边形ABCDE和正三角形ABG的对称轴，再利用正五边形、等边三角形的性质一一

判断即可；

【详解】

V五边形ABCDE是正五边形，△ABG是等边三角形，

，直线DG是正五边形A3C0E和正三角形ABG的对称轴，

'.DG垂直平分线段AB,

■:ZBCD=ZBAE=ZEDC=10S°,:.ZBCA=ZBAC=36°,

：.ZDCA=72°,...NC0E+NOC4=18O。，：.DE//AC,

：.ZCDF=ZEDF=ZCFD=12°,

:ACDF是等腰三角形.

故丁、甲、丙正确.

故选B.

【点睛】

本题考查正多边形的性质、等边三角形的性质、轴对称图形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，

属于中考常考题型.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11,0)(3)

【解析】

a>0

试题解析：•.•抛物线卜=0%2+)X+，,开口向上且经过点(1,1),双曲线y=」-经过点(a,be'),：.<a+b+c-l,

2x

be--

.2a

.'.bc>0,故①正确；

时，则6、c均小于0,此时分+cV0,当a=l时，b+c=d,则与题意矛盾，当0<aVl时，则6、c均大于0,此

时5+c>0,故②错误；

x2+(a-l)x+-^-=O可以转化为：x2+(b+c)x+bc=O,得或x=c,故③正确；

2a

,:b,c是关于x的一元二次方程V+(a-l)x+-!-=O的两个实数根，.,.a-h-c=a-Cb+c')=a+(a-1)=2a-1,当

2a

a>l时，2a-l>3,当OVaVl时，-lV2a-lV3,故④错误；

故答案为①③.

12、3

【解析】

把X与y的值代入方程组求出m与n的值，即可确定出所求.

【详解】

x=22m+n=14

解：把彳,代入方程组得：〈

y=i2n—m=13'

相力口得：m+3n=27,

则27的立方根为3,

故答案为3

【点睛】

此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程左右两边相等的未知数的值.

13、6

【解析】

设这个扇形的半径为乙根据题意可得:

如二=6万，解得：r=6.

360

故答案为6.

14、(-273»6)

【解析】

分析：连接OBi,作BiHLOA于H,证明△AOB^^HBiO,得到BiH=OA=6,OH=AB=2^/3,得到答案.

详解：连接OB”作BiH_LOA于H,

由题意得，OA=6,AB=OC-2百,

贝！ItanNBOA=^=迫

OA3

:.ZBOA=30°,

.,.ZOBA=60°,

由旋转的性质可知，ZBiOB=ZBOA=30°,

.,.ZBiOH=60°,

在4AOB和AHBiO,

ZB]HO=ZBAO

<NBQH=NABO,

OB=OB

.,.BiH=OA=6,OH=AB=26，

...点Bi的坐标为(-2百，6),

故答案为(-2百，6).

点睛：本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质定理是解题的关键.

15、-1

【解析】

根据“两数相乘，异号得负，并把绝对值相乘”即可求出结论.

【详解】

1x(-2)=-L

故答案为—1.

【点睛】

本题考查了有理数的乘法，牢记“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘''是解题的关键.

16、2.

【解析】

试题分析：•••将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A，、B',图中阴影部

分的面积为8,：.5-m=4,...m=2,AA(2,2),Ak=2x2=2.故答案为2.

考点：2.反比例函数系数k的几何意义；2.平移的性质；3.综合题.

]

【解析】

解：设0Al=AlA2=A2A3=...=An-2An-l=An-lAn=a,

•.•当x=a时，y=L,...Pi的坐标为(a,-),

aa

当x=2a时，y=—9；・P2的坐标为(2a,—),

2a2a

RtAP1B1P2的面积为一•〃•(------),

2a2a

RtAP2B2P3的面积为一啥*(-------)>

22a3a

RtAP3B3P4的面积为一哈«-------),

23a4a

ARtAPn-lBn-lPn的面积为!◎~~—1

=-xlx(

2(n-l)ana2n-1n2〃(〃一1)

]

故答案为:

2〃(〃一1)

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)-3；(2)“A-C”的正确答案为-7X2-2X+2.

【解析】

(1)根据整式加减法则可求出二次项系数；

(2)表示出多项式A,然后根据A+C的结果求出多项式C,计算A-C即可求出答案.

【详解】

(1)由题意得：J5=2X2+3X-4,AA+2B=(4+W)x2+2%-8,vA+2B=x2+2x-S,■-4+W=L

W=-3,即系数为-3.

22

⑵•••A+C=x2—6x-2,且A=-3X2-"/.C=4x-2x-2,A-C=-7%-2x+2

【点睛】

本题主要考查了多项式加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键.

19、(1)2400元;(2)8台.

【解析】

试题分析：(1)设商场第一次购入的空调每台进价是x元，根据题目条件“商场又以52000元的价格再次购入该种型号

的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了200元，每台的售价也上调了200元”列出分式方程解答即可;

(2)设最多将台空调打折出售，根据题目条件“在这两次空调销售中获得的利润率不低于22%,打算将第二次购入

的部分空调按每台九五折出售”列出不等式并解答即可.

试题解析：(1)设第一次购入的空调每台进价是x元，依题意，得

^291=2x迹

解得尤=2400.

x+200x

经检验，x=2400是原方程的解.

答：第一次购入的空调每台进价是2400元.

（2）由（1）知第一次购入空调的台数为24000+2400=10（台），第二次购入空调的台数为10x2=20（台）.

设第二次将y台空调打折出售，由题意，得

3000X10+(3000+200)x0.95-y(3000+200)-(20-y)>(1+22%)x(24000+52000)，解得yW8.

答：最多可将8台空调打折出售.

20、（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积为86

【解析】

（1）连接OC,先证明NOAC=NOCA,进而得到OC〃AE,于是得到OCJ_CD,进而证明DE是。O的切线；（2）

分别求出^OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=SACOD-S扇形OBC即可得到答案.

【详解】

解：（D连接OC,VOA=OC,AZOAC=ZOCA,

VAC平分NBAE,.\ZOAC=ZCAE,

.•.ZOCA=ZCAE,AOCZ^AE,AZOCD=ZE,

VAE±DE,,ZE=90°,AZOCD=90°,AOC±CD,

•.•点C在圆O上，OC为圆O的半径，.♦.©口是圆O的切线;

(2)在RtAAED中，VZD=30°,AE=6,AD=2AE=12,

在RtAOCD中，VZD=30°,DO=2OC=DB+OB=DB+OC,

/.DB=OB=OC=—AD=4,DO=8,

3

二CD=^DO2-OC2=Vs2-42=473

..CDOC473x4

••OCD=------------------=-----------------=8百，VZD=30°,ZOCD=90°,

22

1,8

.•.ZDOC=60°,扇形OBC二—XjtXOC-—,

63

・・・厂8乃

・S阴影=SACOD-S扇形OBC••S阴影=8、/3——

Qyy-

阴影部分的面积为8K-y

21、(1)作图见解析(2)ABCQ为等腰三角形

【解析】

(1)作角平分线，以B点为圆心，任意长为半径，画圆弧；交直线AB于1点，直线BC于2点，再以2点为圆心，

任意长为半径，画圆弧，再以1点为圆心，任意长为半径，画圆弧，相交于3点，连接3点和O点，直线30即是已

知角AOB的对称中心线.

(2)分别求出的三个角，看是否有两个角相等，进而判断是否为等腰三角形.

【详解】

(1)具体如下：

(2)在等腰"BC中，NA=36。，BD为NABC的平分线，故NABC=NC=72°,NDBC=36。,那么在△O8C

中，/BDC=TT

VZBDC=ZC=72°

二△BCD是否为等腰三角形.

【点睛】

本题考查角平分线的作法，以及判定等腰三角形的方法.熟悉了解角平分线的定义以及等腰三角形的判定方法是解题的

关键所在.

22、(1)列表见解析；(2)这个游戏规则对双方不公平.

【解析】

(1)首先根据题意列表，然后根据表求得所有等可能的结果与两数和为6的情况，再利用概率公式求解即可；

(2)分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性.

【详解】

(1)列表如下：

234

22+242+3=52+4-6

33+2=53+3=63+4=7

44+2=64+3=7444=8

由表可知，总共有9种结果，其中和为6的有3种，则这两数和为6的概率？3=上1；

93

(2)这个游戏规则对双方不公平.理由如下：

4545

因为尸(和为奇数)=-,尸(和为偶数)=-,而§声§，所以这个游戏规则对双方是不公平的.

【点睛】

本题考查了列表法求概率.注意树状图与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况.用到的知识点为：概率=

所求情况数与总情况数之比.

23、3F的长度是1c,".

【解析】

利用“两角法”证得△BEFs^CDF,利用相似三角形的对应边成比例来求线段CF的长度.

【详解】

解：如图，在矩形43co中：NDFC=NEFB,ZEBF=ZFCD=^°,

:ABEFSACDF；

.BEBF

又,：AD=BC=260cm,AB=CD=130cin,AE=60cm

BE—70cm,CD—130cm,BC=260cm,CF==(260—BF)cm

70BF

**130-260-BF'

解得：BF=1.

即：3F的长度是km.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定和性质，关键要掌握：有两角对应相等的两三角形相似；两三角形相似，对应边的比

相等.

3

24、(1)证明见解析；(2)证明见解析；(1)①BC=4及；②5

【解析】

分析：(1)由菱形知ND=NBEC,由NA+ND=NBEC+NAEC=180。可得NA=NAEC,据此得证；

(2)以点C为圆心，CE长为半径作。C