高一年级数学知识点

高一年级学科特点及学习重点

高中生正处于人生成长的关键期，了解高中生的心理及生理特征，有利于我们引导高中

生健康向上地成长。

高中一年级

生理特点：高中生正处在心理上脱离父母的心理断乳期，随着身体的迅速发育，自我意

识的明显增强，独立思考和处理事物能力的发展，高中生在心理和行为上表现出强烈的自主

性，迫切希望从父母的束缚中解放出来。而他们的感情变得内隐，即内心世界活跃，但情感

的外部表现却并不明显。这些特点常阻碍着父母与子女的相互了解。

学科特点:高中的学习深度和难度较初中上升到新的台阶，跨度很大，特别体现在数学、

英语、和物理学科，很多学生都是上课能听懂，课后作业也认真完成了，结果成绩不理想，

很多学生甚至出现了不及格的情况，这个时候家长和孩子都很困惑，其实症结就在于学生的

知识牵引能力差，综合学习能力急需要提高，咨询师一定要跟家长强调在高中阶段，孩子不

能掉队，有问题不能拖，同时强调高中阶段，家长不能盲目相信孩子自己就可以解决问题，

因为高中的各科学习都是知识的延伸，并且有很强的关联性，一个知识点或是知识模块出现

问题会导致这个科目的学习遇到瓶颈，应该趁月考之后对学生的问题进行整理和有效解决,

在期中考试中能考出好成绩。

高一关键词——"难”

从初中到高中是个从量变到质变的过程，高中整体呈现知识量增大、理论性增强、系统

性增强、综合性增强、能力要求增加的“5增”趋势，而高一又是数学、物理、化学学科难

点最集中的年级，所以对大多数学生来说，初三到高一不是个“坡儿”，而是个“坎儿”，

必须要“跳”才能完成这个质变的过程。

高一最重要的事情

1.重视高一、成就高考一高一是整个高中阶段的开始，抓住高一，让自己一开始就能

占据领先位置，对学生高中阶段的发展至关重要，多年的高考经验显示：对高一的重视程度

和3年后的高考成绩成正比关系，要想在高考中取得好成绩，一定要从高一抓起！

2.提前动手，从容应对一刚刚经历了中考，很多学生沉浸在紧张后的轻松李，但是学

习确如逆水行舟，不进则退，稍一放松，可能就会给自己的高一学习制造麻烦，抓住高一伊

始，让自己的高中学习一帆风顺！

3.发现漏洞、及时弥补一高中学习比较紧张，发现漏洞千万不要以太忙、太累为由任

其存在和发展，因为知识之间是有内在联系的，漏洞不补，会影响其他知识的学习和综合应

用，并且积累得太多，会觉得无从下手，只好放弃，给高考造成很大的损失！

4.成绩波动、正确看待——高一学习成绩波动是非常正常的事情，一般来说，只要适应

了高中老师的讲课方式、掌握了高中知识的学习方法，成绩都会逐步上升并且趋于稳定的。

因为成绩的暂时下降而失去自信或对某个学科失去兴趣，是得不偿失的

高一数学

集合

集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人，物品，也可以是数学

元素。例如：1、分散的人或事物聚集到一起；使聚集：紧急〜。2、数学名词。一组具有某

种共同性质的数学元素：有理数的〜。3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集

合论:集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。康托（Cantor,G.F.P.,

1845年一1918年，德国数学家先驱，是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透

到现代数学的所有领域。

集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念？基础概念是不能用其他概念加以定

义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义”。集合

集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一

个整体（或称为单体），这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合的元素（或

简称为元）o

元素与集合的关系

元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。

集合与集合之间的关系

某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无

限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做①。空集是任何集合的子集，是任何

非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。『说明一下：如

果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则A称作是B的子集，写作A?Bo若A是B

的子集，且A不等于B,则A称作是B的真子集，一般写作A?Bo中学教材课本里将？符号

下加了一个W符号（如右图），不要混淆，考试时还是要以课本为准。所有男人的集合是所

有人的集合的真子集。』

集合的几种运算法则

并集:以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作AUB（或BUA）,

读作“A并B”（或“B并A”），即AUB={x|xCA,或x《B}交集：以属于A且属于B的元

差集表示

素为元素的集合称为A与B的交（集），记作ACB（或BCA）,读作“A交B”（或“B

交A"）,即ACB={x|xdA,且xdB}例如，全集U={1,2,3,4,5}A={1,3,5}B={1,2,

5}。那么因为A和B中都有1,5,所以ACB={1,5}。再来看看，他们两个中含有1,2,3,

5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说AUB={1,2,3,5}o图中的

阴影部分就是ACB。有趣的是；例如在1到105中不是3,5,7的整倍数的数有多少个。

结果是3,5,7每项减集合

1再相乘。48个。对称差集：设A,B为集合，A与B的对称差集A?B定义为：A?B=

（A-B）U（B-A）例如:A={a,b,c},B={b,d},则A?B={a,c,d}对称差运算的另一种定

义是：A?B=（AUB）-（ACB）无限集：定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集有限

集：令N*是正整数的全体，且N_n={l,2,3,……,n},如果存在一个正整数n,使得集

合A与N_n一一对应，那么A叫做有限集合。差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合

称为A与B的差（集）。记作：A\B={x|xdA,x不属于B}。注：空集包含于任何集合，但

不能说“空集属于任何集合”.补集：是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于集合A

的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA,即CuA={x|xdU,且x不属于A}空集也被

认为是有限集合。例如，全集U={1,2,3,4,5}而人={1,2,5}那么全集有而A中没有的

3,4就是CuA,是A的补集。CuA={3,4}。在信息技术当中，常常把CuA写成~A。

集合元素的性质

1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，

例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否

能形成集合。2.独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然数。3.互异性：

集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1,1,2},等同于{1,2}。互异性使集合中

的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。4.

无序性：{a,b,c）{c,b,a}是同一个集合。5.纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表

示。集合A={x|x<2},集合A中所有的元素都要符合x〈2,这就是集合纯粹性。6.完备性：

仍用上面的例子，所有符合x〈2的数都在集合A中，这就是集合完备性。完备性与纯粹性是

遥相呼应的。

集合有以下性质

若A包含于B,则AClB=A,AUB=B

集合的表示方法

集合常用大写拉丁字母来表示，如：A,B,C…而对于集合中的元素则用小写的拉丁字

母来表示，如：a,b,c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。将拉丁

字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁

字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。

常用的有列举法和描述法。L列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一

列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法。{1,2,3,……}2.描述法：

常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括

号内，这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x为该集合的元素的一般形式，P为这个集

合的元素的共同属性)如：小于口的正实数组成的集合表示为：{x|O〈x〈五}3.图示法(Venn

图)：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线(或者说圆圈)，用它的内部表示一

个集合。集合

4.自然语言常用数集的符号：(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然

数集)，记作N；不包括0的自然数集合，记作N*(2)非负整数集内排除0的集，也称正

整数集，记作Z+；负整数集内也排除0的集，称负整数集，记作Z-(3)全体整数的集合通

常称作整数集，记作Z(4)全体有理数的集合通常简称有理数集,记作Q„Q={p/qIpEZ.qeN,

且P，q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-)(5)全体实数的集合通常简称实数集，记作

R(正实数集合记作R+；负实数记作R-)(6)复数集合计作C集合的运算：集合交换律

AnB=BAAAUB=BUA集合结合律(ACB)CC=An(BHC)(AUB)UC=AU(BUC)集合分配律

An(BUC)=(AnB)U(AAC)AU(BCC)=(AUB)n(AUC)集合德.摩根律集合

Cu(ACB)=CuAUCuBCu(AUB)=CuAnCuB集合“容斥原理”在研究集合时，会遇到有关

集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如A={a,b,c},

则

card(A)=3card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AClB)card(AUBUC)=card(A)+card(B)+car

d(C)-card(AClB)-card(BAC)-card(CClA)+card(AABAC)1885年德国数学家，集合论创始

人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律

AU(AAB)=AAn(AUB)=A集合求补律AUCuA=UAACuA=①设A为集合，把A的全部子集构

成的集合叫做A的塞集德摩根律A-(BUC)=(A-B)A(A-C)A-(BnC)=(A-B)U(A-C)〜

(BUC)=~BC~C~(BCC)=~BU~C~<P=E~E=①特殊集合的表示复数集C实数集R正实数集R+

负实数集R-整数集Z正整数集Z+负整数集Z-有理数集Q正有理数集Q+负有理数集Q-不含0

的有理数集Q*

高一数学知识点：一次函数

一、定义与定义式：

自变量X和因变量y有如下关系：

y二kx+b

则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx（k为常数,k#0）

二、一次函数的性质：

Ly的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b（k为任意不为零的实数b取任何实数）

2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：

1.作法与图形：通过如下3个步骤

（1）列表；

（2）描点;

（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知

道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

2.性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x,y）,都满足等式：y=kx+b。（2）一

次函数与y轴交点的坐标总是（0,b）,与x轴总是交于（-b/k,0）正比例函数的图像总是

过原点。

3.k,b与函数图像所在象限:

当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;

当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b>0时，直线必通过一、二象限；

当b=0时，直线通过原点

当b<0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点0(0,0)表示的是正比例函数的图像。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限；当k<0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：

已知点A(xl,yl)；B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。

(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为丫=1«+13。

(2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2

个方程：yl=kxl+b...①和y2=kx2+b....②

(3)解这个二元一次方程，得到k,b的值。

(4)最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：

1.当时间t一定，距离S是速度V的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量

Sog=S-fto

六、常用公式：(不全，希望有人补充)

1.求函数图像的k值：(yl-y2)/(xl-x2)

2.求与x轴平行线段的中点：|x「x21/2

3.求与y轴平行线段的中点：|y『y2|/2

4.求任意线段的长：V(xl-x2)'2+(yl-y2)"2(注:根号下(xl-x2)与(yl-y2)的平方

和)

高一数学知识点：二次函数

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax2+bx+c

(a,b,c为常数，aWO,且a决定函数的开口方向，a〉0时，开口方向向上，a〈0时，

开口方向向下，lai还可以决定开口大小，lai越大开口就越小，lai越小开口就越大.)

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax"2+bx+c(a,b,c为常数，aWO)

顶点式：y=a(x-h)"2+k［抛物线的顶点P(h,k)］

交点式：y=a(x-x?)(x-x?)［仅限于与x轴有交点A(x?,0)和B(x?,0)的抛物

线］

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

h=-b/2ak=(4ac-b_2)/4ax?,x?=(-b+Vb'2-4ac)/2a

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x-2的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P,坐标为

P（-b/2a,（4ac-b"2）/4a）

当-b/2a=0时，P在y轴上；当△=b-2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数

△=b-2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

A=b'2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

A=b'2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±Vb'2-4ac的值

的相反数，乘上虚数i,整个式子除以2a）

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax/2+bx+c,

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

即ax-2+bx+c=0

此时，函数图像与X轴有无交点即方程有无实数根。

函数与X轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y二ax^2,y=a(x-h)"2,y二a(x-h)-2+k,y=ax^2+bx+c(各式中，aWO)的图

象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式

顶点坐标

对称轴

y=axz'2

(0,0)

x=0

y=a(x-h)-2

(h,0)

x=h

y=a(x-h)^2+k

(h,k)

x=h

y=ax^2+bx+c

(-b/2a,[4ac-b2]/4a)

x=-b/2a

当h>0时，尸a(x-h厂2的图象可由抛物线产ax「2向右平行移动h个单位得到，

当h〈0时，则向左平行移动|h|个单位得到.

当h>0,k>0时，将抛物线产ax「2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可

以得到尸a(x-h/2+k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线尸ax「2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得

到y=a(x-h厂2+k的图象；

当h<0,k〉0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到

y=a(x-h厂2+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到

y=a(x-h)^2+k的图象；

因此，研究抛物线尸ax「2+bx+c(aN0)的图象，通过配方，将一般式化为尸a(x-h厂2+k

的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方

便.

2.抛物线y=ax^Z+bx+cSWO)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对

称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).

3.抛物线y=ax^2+bx+c(aWO)，若a>0,当x^-b/2a时,y随x的增大而减小；当x^-b/2a

时，y随x的增大而增大.若a〈0,当xW-b/2a时，y随x的增大而增大；当x2-b/2a时，

y随x的增大而减小.

4.抛物线y=ax「2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0,c)；

(2)当△=K2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x?,0)和B(x?,0),其中的xl,x2是

一元二次方程ax-2+bx+c=0

(aNO)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|

当△二().图象与x轴只有一个交点；

当△<().图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都

有y>0；当晨0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.

5.抛物线y=ax-2+bx+c的最值：如果a>O(a〈O),则当x=-b/2a时，y最小(大)值

=(4ac-b^2)/4a.

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.

6.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知X、y的三对对应值时，可设解析式为

一般形式：

y=ax"2+bx+c(aWO).

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：

y=a(x-h)~2+k(aW0).

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：

y=a(x-x?)(x-x?)(aWO).

7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以

二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.

高一数学知识点：反比例函数

反比例函数

形如y=k/x(k为常数且kWO)的函数，叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数图像性质：

反比例函数的图像为双曲线。

由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。

另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标

轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为Ik|。

如图，上面给出了k分别为正和负(2和-2)时的函数图像。

当K>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数

当K<0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数

反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。

知识点:

1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩

形的面积为|k|。

2.对于双曲线y=k/x,若在分母上加减任意一个实数(即y=k/(x±m)m为常数)，

就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移，减一个数时向右平

移)

高一数学知识点：对数函数

对数函数

对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规

定，同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它

们互为反函数。

(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。

(2)对数函数的值域为全部实数集合。

(3)函数总是通过(1,0)这点。

(4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函

数，并且下凹。

(5)显然对数函数无界。

高一数学知识点：指数函数、函数奇偶性

指数函数的一般形式为，从上面我们对于募函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取

整个实数集合为定义域，则只有使得

如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

可以看到：

(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0,对于a不大于0

的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。

(3)函数图形都是下凹的。

(4)2大于1,则指数函数单调递增；a小于1大于0,则为单调递减的。

(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从。趋向于无穷大的过程中(当然不能等于

0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近

于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=l是从递减到递增

的一个过渡位置。

(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。

(7)函数总是通过(0,1)这点。

(8)显然指数函数无界。

奇偶性

注图：(1)为奇函数(2)为偶函数

1.定义

一般地，对于函数f(x)

(1)如果对于函数定义域内的任意一个X,都有f(-x)=—f(X),那么函数f(x)就叫做

奇函数。

(2)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶

函数。

(3)如果对于函数定义域内的任意一个x,£(七)=」&)与£(-分=£&)同时成立，那么

函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

(4)如果对于函数定义域内的任意一个x,^^)=-£«)与£(七)=£&)都不能成立，那

么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则

这个函数一定不是奇(或偶)函数。

(分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照

奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

2.奇偶函数图像的特征：

定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。

f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称

点(x,y)f(-x,-y)

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

3.奇偶函数运算

(1).两个偶函数相加所得的和为偶函数.

(2).两个奇函数相加所得的和为奇函数.

(3).一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

(4).两个偶函数相乘所得的积为偶函数.

(5).两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

(6).一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

高一数学知识点：函数的定义域

定义域

(高中函数定义)设A,B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于

集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A—B

为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取

值范围A叫作函数的定义域；

值域

名称定义

函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域

中应变量所有值的集合

常用的求值域的方法

（1）化归法；（2）图象法（数形结合），

（3）函数单调性法，

（4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合

函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式法等

关于函数值域误区

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域

优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱

或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时

坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于

互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无

限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须

联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，

从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法

的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。

“范围”与“值域”相同吗？

“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念,许多同学常常将它们混为一

谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合（即集合中每一个元素都是

这个函数的取值），而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素

不一定都满足这个条件）。也就是说：“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值

域”。

高一数学知识点：塞函数

掌握募函数的内部规律及本质是学好幕函数的关键所在，下面是精品学习网高中频道为

大家整理的塞函数公式大全，希望对广大朋友有所帮助。

定义：

形如y=x'a(a为常数)的函数，即以底数为自变量塞为因变量，指数为常量的函数称为

幕函数。

定义域和值域：

当a为不同的数值时，幕函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的

定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还

必须根［据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0,这时函数的定义域

为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x

为不同的数值时，募函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0

的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，

0才进入函数的值域

性质：

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数，则x"(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q

是奇数，函数的定义域是R,如果q是偶数，函数的定义域是［0,+8)。当指数n是负整数

时，设@=-匕则x=l/(x,k),显然xWO,函数的定义域是(-8,0)U(0,+8).因此可以看

到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根

号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

排除了为0与负数两种可能，即对于x〉0,则a可以是任意实数；

排除了为0这种可能，即对于x〈0和x〉0的所有实数，q不能是偶数；

排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，事函数的定义域的不同情况如下：

如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；

如果a为负数，则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确

定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果

同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

在x大于0时，函数的值域总是大于。的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出塞函数在第一象限的各自情

况.

可以看到：

(1)所有的图形都通过(1,1)这点。

(2)当a大于。时，塞函数为单调递增的，而a小于0时，嘉函数为单调递减函数。

(3)当a大于1时，基函数图形下凹；当a小于1大于。时，幕函数图形上凸。

(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

⑸a大于0,函数过(0,0)；a小于0,函数不过(0,0)点。

(6)显然幕函数无界。

高一数学必修二知识点：两个平面的位置关系

两个平面的位置关系：

(1)两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点

(2)两个平面的位置关系：

两个平面平行——没有公共点；两个平面相交——有一条公共直线。

a、平行

两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么

这两个平面平行。

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

b、相交

二面角

(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平

面。

(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值

范围为[0°,180°]

(3)二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

(4)二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱

的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

esp.两平面垂直

两平面垂直的定义:两平面相交,如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

记为，

两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互

相垂直

两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直

线垂直于另一个平面。

Attention：

二面角求法：直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量

之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)

多面体

棱柱

棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都

互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。

棱柱的性质

(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形

(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形

(3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形

棱锥

棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成

的几何体叫做棱锥

棱锥的性质：

(1)侧棱交于一点。侧面都是三角形

(2)平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远

棱锥高的比的平方

正棱锥

正棱锥的定义:如果一个棱锥底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面的中心,

这样的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：

(1)各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的

高相等，它叫做正棱锥的斜高。

(3)多个特殊的直角三角形

esp：

a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角

形的垂心。

b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。且顶点

在底面的射影为底面三角形的垂心。

高一数学必修二知识点：直线和平面的位置关系

直线和平面的位置关系：

直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行

①直线在平面内——有无数个公共点

②直线和平面相交一有且只有一个公共点

直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法（找平面的法向量）

规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成

的角为0°角

由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°,90°]

最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角

三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那

么它也与这条斜线垂直

esp.直线和平面垂直

直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就

说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么

这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

③直线和平面平行一没有公共点

直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线

和这个平面平行。

直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么

这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这

个平面相交，那么这条直线和交线平行。

高一数学必修二知识点：空间两直线的位置关系

空间两直线的位置关系：

空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面

1、按是否共面可分为两类：

(1)共面：平行、相交

(2)异面：

异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是

异面直线。

两异面直线所成的角：范围为(0°,90°)esp.空间向量法

两异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法

2、若从有无公共点的角度看可分为两类：

(1)有且仅有一个公共点一相交直线；(2)没有公共点——平行或异面

高一数学必修二知识点：立体几何

立体几何初步

1、柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱：

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相

平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平

行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的

几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶

点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台：

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

(4)圆柱：

定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展

开图是一个矩形。

(5)圆锥：

定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台：

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个

弓形。

（7）球体：

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯

视图（从上向下）

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

高一数学必修二知识点：圆的方程

圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为

圆的半径。

2、圆的方程

（1）标准方程，

圆心，半径为r；

（2）一般方程

当时，方程表示圆，此时圆心为,半径为

当时，表示一个点；当时，方程不表示任何

图形。

(3)求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，

若利用圆