高中数学《正态分布》考点讲解与训练

《7.5正态分布》考点讲解

【思维导图】

随机变量的取值往往充满某个区间甚至整个实

连续型随机变量

\轴，但取一点的概率为0

对于任意的xiR,f(x)>0,它的图像在x轴的上方，且

正态密

x轴和曲线之间的区域面积为1则f(x)为正态密度函

度函数

数，称它的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交

’②曲线是单峰的，它关于直线万=〃对称

正

态③曲线在x=”处达到峰值一餐=

分

布特点广④曲线与工轴之间的面积为1

I⑤当。一定时，曲线的位置由U确定，曲线随着U的变化而沿X轴平

\移

⑥当

〃一定时，曲线的形状由。确定，。越小，曲线越“瘦高”，

示

表

总体的分布越集中；。越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分

越

布

分

①尸3-。＜均＜+。户0.6826

常用数据②取一2o＜X3*+2o户0.9544

③叫，一3。＜*$«+30户0.9974

【常见考点】

考点一正态分布的特征

【例1】(1)若随机变量X~N(3,4),且尸(XN5)=0.2,则P0WXW5)等于

()

A.0.6B.().5C.0.4D.0.3

(2)设随机变量J服从正态分布N(4,3),若5)=P(J>a+l),则实数。等

于()

A.7B.6C.5D.4

【一隅三反】

1.某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩4占近似服从正态分布N(95,(J2),

且P(91<J«95)=0.25.若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不

低于99分的人数为()

A.100B.125C.150I).175

2.某种芯片的良品率X服从正态分布N(0.95,0.0F),公司对科技改造团队的奖励方案

如下：若芯片的良品率不超过95%,不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过

96%,每张芯片奖励100元；若芯片的良品率超过96%,每张芯片奖励200元.则每张芯

片获得奖励的数学期望为()元附：随机变量4服从正态分布N(〃,cr2),则

-cr<J<〃+cr)=0.6826,尸(〃-2cr<J<〃+2cr)=0.9544,

尸(〃一3cr<J<〃+3b)=0.9974.

A.52.28B.65.87C.50.13D.131.74

3.某市为弘扬我国优秀的传统文化，组织全市10万中小学生参加网络古诗词知识答题比

赛，总分100分，经过分析比赛成绩，发现成绩X服从正态分布N(82,16),请估计比赛

成绩不小于90分的学生人数约为()

K参考数据1：<X<//+cr)=0.683,P(//-2cr<X<//+2cr)=0.954,

尸("-3cr<XW4+3cr)=0.997

A.2300B.3170C.3415D.460

考点二正态分布的实际应用

【例2】根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径

小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验

员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认

为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率Z服从正态分布.假设生产状

态正常，生产出的每个口罩彼此独立.记X表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于

〃-3o■的数量.

(1)求P(XNl)的概率；

(2)求X的数学期望E(X)；

(3)一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率Z小于3b的口罩，就认为这条生产线

在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问

这种监控生产过程的方法合理吗？

附：若随机变量Z〜,则尸(〃-b<Z<M+cr)=0.6826,

P(/z-2cr<Z<//+2cr)-0.9544,P(jj-3(y<Z<ju+3a)-0.9974,

O.998710»0.9871.

【一隅三反】

1.为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度(单位：cm),其频率分布

直方图如图所示.

(1)求该植物样本高度的平均数亍和样本方差/(同一组中的数据用该组区间的中点值作

代表)；

(2)假设该植物的高度Z服从正态分布,其中〃近似为样本平均数月厘近似

为样本方差d，利用该正态分布求口64.5效上96).

附：＞/]73210.5.若2~"（〃,（72）,则

尸（〃一成必〃+b）丈68.3%,P（〃-2或必〃+2b）«95.4%.

2.某工厂生产某种零件，检验员每天从该零件的生产线上随机抽取16个零件，并测量其

尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件服从

正态分布N(u,o2).

(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(口一3。，u+3

。)之外的零件数，求P(X21)及X的数学期望；

(2)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

10.129.9710.019.9510.029.989.2110.03

10.049.999.989.9710.019.9710.0310.11

]16n_ior;to

经计算得亍=77乏>产9.96,S=君2=①才一房/卜。？。，其中

10

<=1丫16,=1

X：为抽取的第i个零件的尺寸，i=1,2,…，16.用样本平均数I作为口的估计值用样

本标准差s作为。的估计值利用估计值判断是否对当天的生产过程进行检查？剔除

(口一3。，U+3。)之外的数据，用剩下的数据估计口和。(精确到0.01).

参考数据：若随机变量X服从正态分布N(u,。之)，则P(u—3o<xVu+3o)=0.997

4,0.997416^0.9592,70.0027®0.05.

3.现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪.根据猪的体重，将其分为三

个成长阶段，如下表：

阶段幼年期成长期成年期

体重(kg)[2,18）[18,82）[82,98]

根据以往经验，两个养猪场内猪的体重X均近似服从正态分布N(50,162).由于我国有

关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪的监控力度，高度重视其质量保证，

为了养出健康的成年期的猪，甲、乙两个养猪场引入两种不同的防控及养殖模式.已知

43

甲，乙两个养猪场内一头成年期的猪能通过质检合格的概率分别为一,一.

54

（1）试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；

（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利400元，若为不合

格的猪，则亏损200元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利

500元，若为不合格的猪，则亏损100元记丫为甲，乙养猪场各出售一头成年期的猪所得

的总利润，求随机变量丫的分布列，假设两个养猪场均能把成年期的猪售完，求两个养猪

场的总利润的期望值.

（参考数据：若Z~N（〃,b2）,则

「（〃一超七"+b）aO.683,P（〃一2成必〃+2b）a0.954,P（4—3超/月+3b）20.997

）

考点三正态分布与其他知识的综合运用

【例3】某校组织了健康防护的知识测试（百分制）活动，活动结束后随机抽取了200名

学生的成绩，并计算得知这20（）个学生的平均成绩为65,其中5个低分成绩分别是30、

33、35、38、38；而产生的10个高分成绩分别是9（）、91、91、92、92、93、

95、98、100、100.

（1）为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生的测

试得分近似满足正态分布（〃和0?分别为样本平均数和方差），则认为防控有

效，否则视为效果不佳.经过计算得知样本方差为210,请判断该校的疫情防控是否有

效，并说明理由.（参考数据：同Jxl4.5）规定：若

P（X/-2cr<X<〃+2b）>0.9544,P（〃-3bvX<〃+3cr）>0.9974,则称变量X

“近似满足正态分布N（〃,b2）的概率分布”.

（2）学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对90分及以上的同学通过抽奖的方式进

行奖励，得分低于94分的同学只有一次抽奖机会，不低于94分的同学有两次抽奖机

31

会.每次抽奖获得50元奖金的概率是一，获得100元的概率是：.现在从这10个高分学

44

生中随机选一名，记其获奖金额为丫，求y的分布列和数学期望.

【一隅三反】

1.某学校工会积极组织学校教职工参与“日行万步”健身活动，规定每日行走不足8千步

的人为“不健康生活方式者”，不少于14千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般

健康生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校300名教职工的“日行万步”健身活动

数据，统计出他们的日行步数（单位：千步，且均在［4,20］内），按步数分组，得到频率分

布直方图如图所示.

（1）求被抽取的300名教职工日行步数的平均数（每组数据以区间的中点值为代表，结果

四舍五入保留整数）.

（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数J服从正态分布N（〃,cr2）,其中，〃为

（1）中求得的平均数标准差。的近似值为2,求该校被抽取的300名教职工中日行步数

J6（14,18）的人数（结果四舍五入保留整数）.

（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行

万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0

元；“一般健康生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人

200元，求工会慰问奖励金额X的分布列和数学期望.

附：若随机变量4服从正态分布N（〃,CT2）,则尸（〃一b<4，，4+b）a0.6827,

P（〃-2b<以〃+2a）«0.9545,0（〃一3b<〃+3a）«0.9973.

2.国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了《城市生活垃圾分类制度实施方

案》，规定某46个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率要

达标.某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的A类社区（全市共

320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），

得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区.

垃

圾[12.5,15.5[15.5,18.5[18.5,21.5[21.5,24.5[24.5,27.5[27.5,30.5[30.5,33.，

量

频

56912864

数

（1）估计该市A类社区这一天垃圾量的平均值三；

（2）若该市A类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N（〃,27.04）,其中M近似为50

个样本社区的平均值彳（精确到0/吨），估计该市A类社区中“超标”社区的个数；

（3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府

决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源.设这一天垃圾量不小于30.5

吨的社区个数为X,求X的分布列和数学期望.

附：若X服从正态分布则P（〃一b<XW〃+b）*（）.6826；

P（〃—2b<XW4+2o■卜0.9544；—3b<XW以+3o■卜0.9974.

答案解析

考点一正态分布的特征

【例1】（D若随机变量X〜且P（X25）=0.2,则P（1WXW5）等于

（）

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

（2）设随机变量J服从正态分布N（4,3）,若。（。<“一5）=产仔>。+1）,则实数。等

于（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】⑴A（2）B

【解析】⑴由于随机变量X~N（3,4），则P（X<1）=P（X>5）,

因此，P（1WXW5）=1-P（X<1）—P（X>5）=1—2P（X>5）=l-2x0.2=0.6.故

选：A.

（2）・・•随机变量&服从正态分布N（4,3）,

VP（g<a-5）=P（C>a+l）,x=a-5与x=a+l关于x=4对称,Aa-5+a+l=8,

.*.2a=12,a=6,故选：B.

【一隅三反】

1.某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩4占近似服从正态分布N（95,CT2）,

且P（91<JW95）=0.25.若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不

低于99分的人数为（）

A.100B.125C.150D.175

【答案】D

【解析】由题意，成绩X近似服从正态分布N（95,b2）,

则正态分布曲线的对称轴为X=95,

又由P（91<。495）=0.25,

根据正态分布曲线的对称性，可得

P（X>99）=x[1-2xP（91<X<95）]=1（1-2x0.25）=0.25,

所以该市某校有700人中，估计该校数学成绩不低于99分的人数为7（X）x025=175人，

故选:D.

2.某种芯片的良品率X服从正态分布N（0.95,0.OV）,公司对科技改造团队的奖励方案

如下：若芯片的良品率不超过95%,不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过

96%,每张芯片奖励100元；若芯片的良品率超过96%,每张芯片奖励200元.则每张芯

片获得奖励的数学期望为（）元附：随机变量4服从正态分布N（〃,cr2）,则

尸(〃一bvjv〃+b)=0.6826,P(〃-2b<Jv〃+2cr)=0.9544,

P(〃一3cr<J<〃+3cr)=0.9974.

A.52.28B.65.87C.50.13D.131.74

【答案】B

【解析】因为X〜N(0.95,0.0『)，得出〃=0.95,〃+b=0.96,

所以P(XW().95)=P(XW4)=().5,

P(0.95<X<0.96)=P(〃<XW4+b)

=g尸(〃-cr<X«〃+b)=gx0.6826=0.3413；

P(X>0.96)=g[l—P(〃—cr<X<//+(T)]=1x(1-0.6826)=0.1587,

所以E(X)=0+100x().3413+200x0.1587=65.87(元)

故选：B

3.某市为弘扬我国优秀的传统文化，组织全市10万中小学生参加网络古诗词知识答题比

赛，总分100分，经过分析比赛成绩，发现成绩X服从正态分布N(82,16),请估计比赛

成绩不小于90分的学生人数约为()

I1参考数据％P(4-cr<XW4+cr)=0.683,P(4-2cr<XW〃+2cr)=0.954,

P(〃-3b<X<〃+3cr)=0.997

A.2300B.3170C.3415D.460

【答案】A

【解析】依题意知，〃=82,6=4所以P(74<x<90)=0.954

则尸(x290)=(l-0.954)x；=0.023,所以比赛成绩不小于90分的学生人数约为

l(XXXX)x0.023=23(X)故选：A

考点二正态分布的实际应用

【例2】根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径

小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验

员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认

为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率Z服从正态分布N出吟.假设生产状

态正常，生产出的每个口罩彼此独立.记X表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于

〃一3b的数量.

(1)求P(XNl)的概率；

(2)求X的数学期望E(X)；

(3)一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率Z小于〃-3b的口罩，就认为这条生产线

在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问

这种监控生产过程的方法合理吗？

附：若随机变量Z~N(〃,(y2),则P(〃一b<Z<"+b)=0.6826,

P(〃—2b<Z4M+2b)=0.9544,P(〃—3b<ZW〃+3b)=0.9974,

0.9987'°*0.9871.

【答案】(1)0.0129；(2)0.013；(3)这种监控生产过程的方法合理.

【解析】(1)抽取口罩中过滤率在(M-3b,4+3b］内的概率

P(//-3cr<Z<//+3cr)=0.9974,

1-()9974

所以尸(Z«〃—3cr)=—；=0.0013,

所以P(Z>〃-3cr)=1—().()013=0.9987,

故P(X21)=1—P(X=())=1—().99871。=1-0.9871=0.0129

(2)由题意可知X~8(10,0.0013),所以E(X)=10x0.0013=0.013.

(3)如果按照正常状态生产，由(1)中计算可知，一只口罩过滤率小于或等于3。的

1-09974

概率尸(Z〈M-3b)=--=0.0013,一天内抽取的10只口覃中，出现过滤率小

于或等于〃-3b的概率2(X21)=0.0129,发生的概率非常小，属于小概率事件.所以

一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情

况，需要对当天的生产过程进行检查维修.可见这种监控生产过程的方法合理.

【一隅三反】

1.为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度(单位：cm),其频率分布

直方图如图所示.

(1)求该植物样本高度的平均数元和样本方差52(同一组中的数据用该组区间的中点值作

代表)；

(2)假设该植物的高度Z服从正态分布,其中〃近似为样本平均数乱近似

为样本方差52,利用该正态分布求产(64.5领296).

附：而6210.5.若2~"(〃,4)，则

产(〃一或七〃+0)标68.3%,尸(〃一2或必〃+2b)a95.4%.

【答案】(1)亍=75,$2=110；(2)81.85%.

【解析】(1)由题意可得平均数

x=55x0.1+65x0.2+75x0.35+85x0.3+95x0.05=75,

2222

s=(55-75)x0.1+(65-75yx0.2+(75_75)2X035+(85-75)x0.3+(95-75)x0.05=110

(2)由(1)知，Z~N(75,110),从而

P(64.5殁必75)='xP(75-10.5效275+10.5)«-x68.3%=34.15%

22

P(75领296)=-xP(75-2xl0.5^75+2x10.5)*-x95.4%=47.7%

22

所以P(64.5领296)=P(64.5轰必75)+P(75<Z?96)»34.15%+47.7%=81.85%.

2.某工厂生产某种零件，检验员每天从该零件的生产线上随机抽取16个零件，并测量其

尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件服从

正态分布N(u,。)

(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(u—3。，u+3

。)之外的零件数，求P(X21)及X的数学期望；

(2)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

10.129.9710.019.9510.029.989.2110.03

10.049.999.989.9710.019.9710.0310.11

]16n_ion-

经计算得亍产9.96,S=bZa—稻2(工尤2一16元2)70.20,其中

16,=1Rl6Mw6M

X；为抽取的第i个零件的尺寸，i=l,2,…，16.用样本平均数是作为口的估计值%,用样

本标准差s作为。的估计值)，利用估计值判断是否对当天的生产过程进行检查？剔除

(口一3。，U+3。)之外的数据，用剩下的数据估计口和。(精确到0.01).

参考数据：若随机变量X服从正态分布N(u,。9,则P(u—3o<x<u+3o)=0.997

4,0.9974gp0.9592,70.0027»O.O5.

【答案】⑴0.0408；0.0416；(2)需要对当天的生产过程进行检查；10.01：0.05.

【解析】(D；抽取的一个零件尺寸在(口一3。，口+3。)内的概率为0.9974,

二零件的尺寸在(口一3。，口+3。)之外的概率为0.0026,

故X〜B(16,0.0026).

P(X21)=l-P(X=0)=1—0.9974%0.0408；

X的数学期望为E(X)=16X0.0026=0.0416.

(2)x«9.96-SQ0.20,得"小9.96,CT»0.20.

V样本数据可以看到有一个零件的尺寸在(R-33,R+3同=(9.36,10.56)之外,

二需要对当天的生产过程进行检查.

剔除(口一3。，u+3。)之外的数据9.21之后，

剩下数据的平均数右(16x9.96-9.21)=10.01,可得u的估计值为10.01.

16

Ex；=16x0.202+16x9.962=1587.8656,

/=|

剔除(9.36,10.56)之外的数据9.21之后,

剩下数据的方差为'（1587.8656-9.212-15x10.012b0.0027,

。的估计值为,0.0027x0.05.

3.现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪.根据猪的体重，将其分为三

个成长阶段，如下表：

阶段幼年期成长期成年期

体重（kg）[2,18)[18,82)[82,98]

根据以往经验，两个养猪场内猪的体重X均近似服从正态分布N（50,162）.由于我国有

关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪的监控力度，高度重视其质量保证，

为了养出健康的成年期的猪，甲、乙两个养猪场引入两种不同的防控及养殖模式.已知

43

甲，乙两个养猪场内一头成年期的猪能通过质检合格的概率分别为一，一.

54

（1）试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；

（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利400元，若为不合

格的猪，则亏损200元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利

500元，若为不合格的猪，则亏损100元记丫为甲，乙养猪场各出售一头成年期的猪所得

的总利润，求随机变量y的分布列，假设两个养猪场均能把成年期的猪售完，求两个养猪

场的总利润的期望值.

（参考数据：若Z~N（〃,cr2）,则

—向必4+b）a0.683,—2向上〃+2cr）工0.954,—3超必〃+3<T）工0.997

）

【答案】（1）幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头；（2）135450

元.

【解析】（1）设各阶段猪的数量分别为〃％，

•.•猪的体重X近似服从正态分布N（50,162）,

0.997-0.954

P(2领卜<18)=P(50—3xl6X<50-2x16)=0.0215,

2

n,=10000x0.0215=215（头）；

P（18领k<82）=P（5（）-2x16X<5（）+2x16）。0.954

.-.n,=10000x0.954=9540（头）；

0997-0954

P（82领k98）=P（50+2X16M50+3X16）«----------:—=0.0215,

2

=10000x0.0215=215（头）

甲、乙两个养猪场各有幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头.

（2）随机变量丫的所有可能取值为900,300,-300.

43341137111

p（y=900）=-x-=-,p（y=300）=-x-+-x-=—,p（y=-300）=-x-=—,

5455454205420

.•.丫的分布列为

Y900300-300

371

P

52020

371

£（r）=900x-+300x——300X—=630（元）,

52020

由于两个养猪场均有215头成年期的猪，且两个养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利

润的期望为630元，则总利润的期望为630x215=135450（元）.

考点三正态分布与其他知识的综合运用

【例3】某校组织了健康防护的知识测试（百分制）活动，活动结束后随机抽取了200名

学生的成绩，并计算得知这200个学生的平均成绩为65,其中5个低分成绩分别是30、

33、35、38、38；而产生的10个高分成绩分别是90、91、91、92、92、93、

95、98、100、100.

（1）为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生的测

试得分近似满足正态分布N（〃Q2）（〃和〃分别为样本平均数和方差），则认为防控有

效，否则视为效果不佳.经过计算得知样本方差为210,请判断该校的疫情防控是否有

效，并说明理由.（参考数据：V2io«14.5）规定：若

尸（〃一2b<Xv〃+2cr）>0.9544,P（//-3cr<X<//+3cr）>0.9974,则称变量X

“近似满足正态分布N（〃,b2）的概率分布”.

（2）学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对90分及以上的同学通过抽奖的方式进

行奖励，得分低于94分的同学只有一次抽奖机会，不低于94分的同学有两次抽奖机

31

会.每次抽奖获得50元奖金的概率是一，获得100元的概率是丁.现在从这H）个高分学

生中随机选一名，记其获奖金额为y,求y的分布列和数学期望.

【答案】（1）该校的疫情防控是有效的，理由见解析；（2）分布列见解析，87.5.

【解析】（1）据该校的疫情防控是有效的，理由如下：

VV210«14.5>—2cr=65—2x14.5=36,〃+2b=65+2xl4.5=94，

〃—3cr=65-3x14.5=21.5,〃+3b=65+3x14.5=108.5,

得分小于36分的学生有3个，得分大于94分的有4个，

7

:.P(ti-2a<X<u+2(y}=l-----=0.965>0.9544

'7200

,/学生的得分都在［30,100］间，（〃-3cr<X<〃+3b）=1>0.9974.

•••学生得分近似满足正态分布N（65,210）的概率分布，因此该校的疫情防控是有效的;

（2）设这名同学获得的奖金为y,则y的可能值为50、100、150、2（）o,

p（y=50）=-x-=—,p（y=ioo）=—xl+—xf->l=-,

10420v710410UJ8

p（y=i50）=—xC；x-xl=—,P（y=200）,x仕］」，

'71024420v>10UJ40

故y的分布列为：

Y50100150200

9331

p

2082040

9331

—+100x-+150x—+200x—=87.5.

2082040

【一隅三反】

1.某学校工会积极组织学校教职工参与“日行万步”健身活动，规定每日行走不足8千步

的人为“不健康生活方式者”，不少于14千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般

健康生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校300名教职工的“日行万步”健身活动

数据，统计出他们的日行步数(单位：千步，且均在［4,20］内)，按步数分组，得到频率分

布直方图如图所示.

频率

(1)求被抽取的300名教职工日行步数的平均数(每组数据以区间的中点值为代表，结果

四舍五入保留整数).

(2)由直方图可以认为该校教职工的日行步数J服从正态分布N(〃,b2),其中，〃为

(1)中求得的平均数标准差。的近似值为2,求该校被抽取的300名教职工中日行步数

46(14,18)的人数(结果四舍五入保留整数).

(3)用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行

万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0

元；“一般健康生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人

200元，求工会慰问奖励金额X的分布列和数学期望.

附：若随机变量g服从正态分布N(〃,cr2),则P(〃—b<A，〃+b)a0.6827,

尸(〃—2b<荔〃+2b)工0.9545,P(〃-3cr<4,,〃+3cr)*0.9973.

【答案】(1)12；(2)47；(3)分布列答案见解析，数学期望：216.

【解析】(1)依题意得

x=0.01x5+0.01x7+0.08x9+0.58x11

■+0.22xl3+0.06xl5+0.03xl7+0.01xl9=11.68«12.

(2)因为0~N(12,22),

所以P(14<J<18)=P(12+2<J<12+3x2),

=[P(6<<<18)-P(10<^<14)]«0.1573

所以走路步数4e(14,18)的总人数为300x0.1573747.

(3)由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02,奖励金额为100元的概率

为0.88,奖励金额为200元的概率为0.1.

由题意知X的可能取值为0,100,200,300,400.

P(X=0)=O.O22=0.0004；P(X=100)=C；x0.02x().88=0.0352；

P(X=200)=C；x0.02x().l+O.882=0.7784；

P(X=300)=Cjx0.1x().88=().176：

P(X=400)=0.F=0.01.

所以X的分布列为

X0100200300400

P0.00040.03520.77840.1760.01

£（X）=0x0.0004+100x0.0352+200x0.7784+300x0.176+400x0.01=216.

2.国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了《城市生活垃圾分类制度实施方

案》，规定某46个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率要

达标.某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的4类社区（全市共

320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），

得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区.

垃

圾[12.5,15.5[15.5,18.5[18.5,21.5[21.5,24.5[24.5,27.5[27.5,30.5[30.5,33.5

量

频

56912864

数

（1）估计该市A类社区这一天垃圾量的平均值x；

（2）若该市A类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N（〃,27.04）,其中〃近似为50

个样本社区的平均值元（精确到0.1吨），估计该市A类社区中“超标”社区的个数；

（3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府

决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源.设这一天垃圾量不小于30.5

吨的社区个数为X,求X的分布列和数学期望.

附：若X服从正态分布N（〃,cr2）,则尸（〃一b<XW〃+b）a0.6826；

P（〃-2b<XW4+2o■卜0.9544；尸（〃-3cr<XW〃+3o•卜0.9974.

【答案】（1）22.76吨；（2）51个；（3）分布列见解析，|.

2

【解析】

（1）样本数据各组的中点值分别为14,17,20,23,26,29,32,则

_14x5+17x6+20x9+23x12+26x8+29x6+32x4»”

x-----------------------------------------------=22.76.

50

估计该市A类社区这一天垃圾量的平均值约为22.76吨.

（2）据题意，〃=22.8,〃=27.04，即<7=5.2,贝U

>28)=+==0.1587.

因为320x（）.1587=50.784之51,估计该市A类社区中“超标”社区约51个.

（3）由频数分布表知，8个社区中这一天的垃圾量不小于30.5吨的“超标”社区有4

个，则垃圾量在［27.5,30.5）内的“超标”社区也有4个，则X的可能取值为1,2,3,

4.

1233323

P(X=1)="AJ,p(x=2)=上C学C=±,p(x=3)=ECC^J

'/或14'，亡7''Cl7

ooo

1

尸(X=4)=W^-

I714

则X的分布列为:

X1234

1331

Y

147714

I33I5

所以£(X)=lx—+2x—+3x2+4x—=—.

\)1477142

《7.5正态分布》考点训练

【题组一正态分布的特征】

1.设随机变量4~N(M，1),函数〃x)=f+2xY没有零点的概率是0.5,则

P(0<W)=()

附：若自〜,则P(//-cr<XW〃+CT)80.6826,

P(〃-2cr<X</z+2cr)«0.9544.

A.0.1587B.0.1359C.0.2718D.0.3413

2.已知随机变量&服从正态分布N(2,b2),P(J<4)=0.74,则尸(0<€<2)=()

A.0.26B.0.24C.0.48D.0.52

3.设X~N(I,1),其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形ABCD中随机取10000

个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是()

(注：若X〜N(4，(T2),则P(〃—b<X+0.6827)

A.7539B.6038C.7028D.6587

4.设随机变量X服从标准正态分布，已知P(XWL88)=0.97,则P(|X|W1.88)=()

A.0.94B.0.97C.0.06D.0.03

5.已知随机变量X〜N(2,b](b>0),若P(Xv4)=0.7,则。(0<X<2)=

()

A.0.2B.0.3C.0.5D.0.7

6.据统计，奉节脐橙的果实横径(单位：mm)服从正态分布N(80,52),则果实横径在

[75,90)的概率为()

附：若X~N(〃,cr2),则P(4-cr<X<M+CT)=0.6827；

P(〃-2cr<X<M+2tr)=0.9545.

A.0.6827B.0.8413C.0.8186D.0.9545

7.已知随机变量X服从二项分布3(4,〃)，其期望E(X)=3,随机变量Y服从正态分

布N(I,2),若p(y>())=〃，则p(o<y<2)=()

2311

A.-B.-C.—D.一

3442

8.赵先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行.赵先生从家到公交

站或地铁站都要步行5分钟.公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时

间(单位：分钟)服从正态分布N(33,不)，下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘

坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(44,22),

下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟.给出下列说法：从统计的角度认为所有合理的说

法的序号是()

(1)若8:00出门，则乘坐公交上班不会迟到；

(2)若8:02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大；

(3)若8:()6出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大；

(4)若8:12出门.则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到.

参考数据：Z~N(〃,CT2),则P(〃一b<Z”〃+b)^0.6827,

尸(〃一2<T<Z,,M+2a)b0.9545,尸(〃一3crvZ,,〃+3cr)«0.9973

A.(1)(2)(3)(4)B.(2)(4)

C.(3)(4)D.(4)

9.(多选)4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间X服从正态分布

X~N(9,4),贝!!()

(附：X~N.d),X<4+cr)=0.683,

P(〃—2b<X<4+2b)=0.955,P(M-3CT<X<"+3b)=().997.)

A.该校学生每周平均阅读时间为9小时；

B.该校学生每周阅读时间的标准差为4；

C.该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占0.3%；

D.若该校有10000名学生，则每周阅读时间在3-5小时的人数约为210.

10.(多选)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(u,,5；),N(口2,

因)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是()

A.甲类水果的平均质量u1=0.4kg

B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右

C.甲类水果的平均质量比乙类水果的质量小

D.乙类水果的质量服从正态分布的参数62=1.99

11.(多选)“杂交水稻之父”袁隆平致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明

“三系法”釉型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体

系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出杰出贡献.某水稻种植研究所调

查某地水稻的株高，得