湘教版八年级数学下册14第1课时角平分线的性质定理课件（13张）

随堂演练课堂小结讲授新课第1章

直角三角形1.4第1课时角平分线的性质定理

复习导入布置作业例题讲解1、角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

oBCA12复习导入2、点到直线的距离从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。PABOPO的长度讲授新课如图1-26,在∠AOB的平分线C上任取点P,作PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗?将∠AOB沿OC对折,我发现PD与PE重合,即PD与PE相等你能证明吗?PAOBCDE证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.几何语言描述：∵OP

是∠AOB的平分线，∴PD=PEPD⊥OA,PE⊥OB，OP到OA的距离P到OB的距离角平分线上的点ACBDPE

角平分线的性质定理：如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗？OEBADP分析：只要画射线OP，证明OP平分∠AOB即可。角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？C∟∟探究证明：过点O,P作射线OC.

∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO和△PEO中∴OC是∠AOB的平分线，PD=PE,OP=OP.∴

Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）OEBADPC∟∟∴∠AOC=∠BOC即点P在∠AOB的平分线OC上.用几何语言表示为：PAOBCED12由此得到角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.∵PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB∴∠1=∠2.即点P∠AOB的平分线OC上.角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。ABOPDE12如图，PD⊥OA，PE⊥OB点P在∠AOB的平分线上PD=PE性质定理：判定定理：例题讲解例1

如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2（1）求证:点B在∠ADC的平分线上；（2）求证:BD是∠ABC的平分线.ADBC思考：AC被BD垂直平分吗？证明：(1)在△ABC中，∵∠1=∠2，∴BA=BC.又∵BA⊥AD,BC⊥CD,∴点B在∠ADC的平分线上.

∟∟(2)在Rt△BAD和Rt△BCD中，

∵BA=BC，BD=BD;

∴Rt△BAD≌Rt△BCD(HL)

∴∠ABD=∠CBD.

∴BD是∠ABC的平分线.

例2

已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF证明：

∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.2.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是

.ABCD3E1.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=

°，BE=

.60BFEBDFACG随堂演练EDCBA68103.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：(1)哪条线段与DE相等？为什么？(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长.解：(1)DC=DE.理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.（2）在Rt△CDB和Rt△