第11讲 用空间向量研究距离、夹角问题11种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假课（人教A版2019选择性必修第一册）解析版

第11讲用空间向量研究距离、夹角问题11种常见考法归类

---------------------------------------------------------

学习目标

------V—-------

会用向量法求线线、线面、面面的夹角及与其有关的角的三角函数值；会用向量法求点点、点线、点

面、线线、线面、面面之间的距离及与其有关的面积与体积.

X函基础知识

----------------llllllllllllllllllllillllllllllllllllllli---------------------

知识点1空间距离及向量求法

分

点到直线的距离点到平面的距离

类

设已知平面a的法向量为n,Nda,P生a,向量是

设“为直线/的单位方向向量,NG/,Pe/,AP

文向量左在平面上的投影向量，

字=a,向量N在直线/上的投影向量为迈

方瑞|=帝

语

CAQ=(«•«)//.)，IM

1.

注：实质上，"是直线/的方向向量，点尸到平面a

的距离就是办在直线/上的投影向量小的长度.

注意点:

(1)两条平行直线之间的距离：在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线

之间的距离.

(2)如果一条直线/与一个平面a平行，可在直线/上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面a的距离求解.

(3)如果两个平面a,。互相平行，在其中一个平面a内任取一点尸，可将两个平行平面的距离转化为点尸到平

面”的距离求解.

知识点2空间角及向量求法

角的分向量求法范围

类

(1)两异面直线所成角的范围

是卜3

设两异面直线所成的角为仇两直线的方向向量分别为U,O,

异面直

则

线所成(2)两异面直线所成的角与其

cosl9=|cos<u,v)1=-^-^-

的角方向向量的夹角是相等或互补的

关系.

E

⑴线面角的范围为0-21

设直线/与平面a所成的角为仇/的方向向量为u,平面a的法

直线与

⑵直线与平面所成的角等于其方

向量为n,则

平面所

向向量与平面法向量所成锐角的

|=」“川

成的角sin0=|cos<u,n>

同Ml余角.

⑴两个平面的夹角的范围是

平面a与平面/相交，形成四个二面角，把不大于;的二面角称

两平面0,-

为这两个平面的夹角.设平面4与平面夕的夹角为仇两平面处L2_

的夹角

(2)两平面的夹角是两法向量的夹

口的法向量分别为m,n2,则cosJ=|co§<ni,血〉|=也叫

1«1||»2|角或其补角.

思考：(1)两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？

平面a与平面/?的夹角：平面a与平面//相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90。的二面角

0—

称为平面a与平面//的夹角.二面角的平面角范围是|0,rt|,而两个平面的夹角的范围是_'2_

(2)平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系？

两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角.

也解题策略

-------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIHI1IHIIIIIIIIII---------------------

1、用向量法求点到直线的距离的一般步骤

(1)求直线的方向向量.

(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度.

(3)利用勾股定理求解.另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.

2、求点到平面的距离的四步骤

注：线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平

行.

3、基向量法求异面直线的夹角的一般步骤

(1)找基底.

(2)用同一组基底表示两异面直线的方向向量.

(3)利用向量夹角公式求出两条直线的方向向量夹角的余弦值.

(4)结合异面直线的夹角范围得到异面直线的夹角.

4、用空间向量法求异面直线夹角的步骤

(1)确定两条异面直线的方向向量.

(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值.

(3)得出两条异面直线所成的角.

5、求直线与平面所成角的思路与步骤

思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某

一三角函数值).

思路二：用向量法求直线与平面所成角可利用向量夹角公式或法向量.利用法向量求直线与平面所成

角的基本步骤：

①建立空间直角坐标系；

②求直线的方向向量7万；

③求平面的法向量”；

④计算：设线面角为仇则sin，=-

I"M4B|

6、向量法求两平面的夹角(或其某个三角函数值)的三个步骤

求两平面夹角的两种方法

(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角.也

可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同.

(2)法向量法:

①建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；

②求出两个半平面的法向量“1,«2；

③设两平面的夹角为仇则COS，=|COS〈"I,"2〉

【当〈n\,"2〉W2时］或兀一〈〃1,“2》（当〈"1,"2〉egn时］

［注意］若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解.

7、立体几何中的探索性问题

立体几何中的探索性问题，在命题中多以解答题的一步出现，试题有一定的难度.

这类题型常以适合某种条件的结论“存在”“不存在"''是否存在”等语句表述.解答这类问题，一

般要先对结论作出肯定的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结

论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性.

jC考点剖.

Itlllllllllllllllllllllllllllllllllllllll-------------------

考点一：求点到直线的距离

|'例1.（2023秋•河南新乡•高二统考期末）己知空间三点力（2,1,0）,8（2,1,-1）,C（l,0,1）,则点C到直

线AB的距离为.

【答案】a

【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.

【详解】易知太=（-1,-1,1）,万=（0,0,-1）,

则H二国H帚|邛，sin回画/，

故点C到直线AB的距离为国.sin（AC,硝=百x4=a.

故答案为：V2.

变式1.（2023秋•高二课时练习）矩形/BCQ中，ZBCA=30°,AC=20,PZ1平面ZBCZ）,且PN=5,

则P到BC的距离为.

【答案】5指

【分析】利用点到直线距离的定义进行求解，注意做题的规范性：作、证、指、求，或者是建立坐标系用空

间向量方法去求.

【详解】方法一：如图，因为P4_L平面平面所以R4_L8C,

又因为N8C£>是矩形，所以BC_LN8,

因为/80尸/=力,所以•平面产48.

因为P8u平面PAB，所以8C_L尸8、所以P8为P到BC的距离.

在矩形月88中，因为N8C4=30。，AC=20,所以/8=10,

在直角三角形PAB中，由勾股定理得PB=>JPA2+AB2=V25+100=545,

所以P到8c的距离为5班.

故答案为：5^5.

方法二：建立如图所示坐标系，在矩形4BGD中，Z5C4=30°,AC=20,

所以48=10,4。=10百，所以尸(0,0,5),5(10,0,0),C(10,105/3,0)

丽=(10,0,-5),而=(0,10后0),所以丽.而=o,

所以总为P到8c的距离.

|而卜V100+0+25=5忑'，所以p到8c的距离为5君.

故答案为：5亚

变式2.(2023•广东佛山・统考模拟预测)如图，在平行六面体力88-4与中，以顶点N为端点的三条

棱长都是a,S.AB1AD,44B=N4/D=60°,E为Cq的中点，则点E到直线的距离为()

A.旦B.gC.JiaD.旦

10543

【答案】A

【分析】利用基底向量，即可由空间向量的模长，结合点到直线的距离公式即可求解.

【详解】•••在平行六面体中，不妨设公=Z,AD=b.AAt=c.

否=万+而+麴=2+刃+3,甲=-1,

|j|=|/?|=|c|=a,db=0,d'C=h'C=axax2,

222

所以|布卜口+5+W=>ld+b+c+2d.b+2d-2+2cb=®,|年卜g"，

故选：A

变式3.（2023•浙江温州•统考三模）四面体OABC满足ZAOB=ZBOC=ZCOA=90。,04=1,08=2,OC=3,

点。在棱OC上，且。C=3OD,点G为“I8C的重心，则点G到直线/£）的距离为（）

A.—B.}C.3D.1

2233

【答案】A

【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，再利用向量求出点到直线的距离作答.

【详解】四面体O48C满足NAOB=Z.BOC=ACOA=90。，即OA,OB,OC两两垂直，

以点。为原点，以射线。4。8,。（7的正方向分别为》,，*轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，

12

因为O4=1,O8=2,OC=3,OC=3OD,则,

于是4G=(—；,：/),/£>=(-1,0,1),%G卜J(_g)2+(92+F=^^,/G-AD=―x(—1)+1=-^,

所以点G到直线AD的距离d=i\AG\2

N西

故选：A

变式4.(2023・吉林・统考模拟预测)如图1,在等腰梯形/BCD中，AB//CD,AB=AD=\,CD=2,DE=EC,

沿4E将V4DE折成V/PE,如图2所示，连接尸8,PC,得到四棱锥P-48CE.

图1图2

(1)若平面P/Ef]平面P8C=/,求证：IHBC；

(2)若点T是PC的中点，求点T到直线EB的距离的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)根据题意得到四边形48CE是平行四边形，证得/E〃3C,进而证得8C〃平面R4£,结合

线面平行的性质定理，即可证得〃/8C.

(2)取4E中点O,以。为原点，过O作平面N8CE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系。-》户，设

ZPOB=0(0<6»<^),求得后=()，¥(cos®+1),4in®和向量丽=，当,。，得到

丽•丽=](cos®+l),且同=1,结合点7到直线EB的距离

d=后2一面.研=。J-3cos20+2COS6E,即可求解.

【详解】(1)证明：在梯形R8CO中，因为月8//CE且/B=CE,

所以四边形是平行四边形，所以/E//BC,

又因为4Eu平面R4E，且5C<Z平面P4E,所以8C〃平面R4E,

因为8Cu平面P8C,且平面P/Efl平面P8C=/,所以l“BC.

(2)解：取ZE中点O,连接。民。P,因为是等边三角形，可得O8_LOE

以。为原点，。瓦08所在直线为x轴，y轴，过O作平面Z8CE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系。-中z,

如图所示，

设/。05=。(0<。<乃)，

则尸［。』“—sinAcfl,,T；，日(cos6+1),1sin8

-,o,Ego,o}B0,

2

\/\

所以£T=0,-^-(cos^+1),-^sin^j,EB=——,-y-,0,ET-EB=-^^--^-(COS^+1)=-^(COS^+1),且

同=1,

则点T到直线EB的距离"=卮_面.函2

2

^-(COS0+1)1(cos6+l)

+」——力s.m”小-

4

=字J；(cos®+1)2+sin?3=*J-3cos2®+2cos8+5

因为一1<COS6<1,所以当cos6=；时，4nax二；；

当cosOf-1时，4-0,所以点7到直线EB的距离的取值范围是

变式5.(2023•江苏南京•统考二模)在梯形Z8CD中，AB//CD,D£>=90°,力8=2直，AD=DC=C，

如图1.现将△/DC沿对角线ZC折成直二面角P-/C-8,如图2,点M在线段8尸上.

(1)求证：APLCM；

(2)若点〃到直线/C的距离为乎，求需的值.

【答案】(1)证明见解析

4

⑵3

【分析】(1)计算确定/C1C8,证明C8J■平面R4C,得到CBl/尸，再证明/P1平面PC8,得到答

案.

(2)建立空间直角坐标系，得到各点坐标，设器=2得到"(2-1,2-22,㈤，再根据点到直线的距离公

Dr

式计算得到答案.

【详解】(I)/C=Vm=2，NCAB=ZACD=45°,

5C2=4+8-2X2X2A/2X—=4,故8C=2,则4c8=90。，BPAC1CB,

2

乂平面P/C_L平面/CB,平面p/cn平面NC8=/C,

CBVAC,C8u平面NC8,故C8J_平面RIC,

4尸u平面刊C,则C8_L/?，

又P/_LPC,PCcCB=C,PC,C8u平面尸CB,所以ZP/平面尸C8,

乂CMu平面PC8,则/PLCM.

(2)设〉C中点为O,48中点为。,以04。。,OP为x,N,z轴建立空间直角坐标系,

如图所示：

有/(1,0,0),C(-l,0,0),尸(0,0,1),5(-1,2,0),

设/'="W!lBM=ABP>设M(x,y,z),则(x+l,y-2,z)=2(l,-2,l),

贝0=(2,0,0),CA7=(A,2-2A,2),

点”到直线4C的距离为学4(CA-CMX

贝ljCM2=

4

即公+(2-24)2+笳即25%2-4(U+16=0,解得2=1,

所以嚅=4

BP5

考点二：求点到平面的距离

、［例2.(2023春•浙江温州•高二校联考期末)如图所示，在棱长为1的正方体-44GA中E为

线段。。的中点.

(1)求证：平面48。，平面4CG4；

(2)求4到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

⑵：

【分析】(1)先证线面垂直，再根据面面垂直的判定定理可证结论；

(2)建立坐标系，结合空间向量，利用点到平面的距离公式可求答案.

【详解】(I)因为/BCD—44G。是正方体，所以“4,平面Z8CD,所以44,80.

又BDLAC,AA^AC=A,所以8。工平面ZCG4，

8。u平面48。，所以平面483,平面NCG4.

(2)在正方体/8C£>-44G4中，以用为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则4(1,0,1),4(1,0,0),

4(0,0,0),41,1,；),即=(1,0,1),m葩=(-1,0,0),设平面第E的一个法向量为

n=(x,y,z),.

n-BA=x+z=0

由〈—}.1，令2=2,则x=-2,»=1,即〃=(一2,1,2).

n-BlE=x+y+-z=0

29

设4到平面否的距离为d,则d==彳，即点4到平面力8f的距离为：

77J3

变式1.（2023秋•河南新乡•高二统考期末）如图，在四棱锥P-/8C。中，PD1底面4BCD,底面

是矩形，/8=2/。=4,尸£>=生叵芭是力的中点，丽=2而，则点C到平面。后尸的距离为（）

3而

B.孚

55

【答案】B

【分析】如图，以。为坐标原点，刀，反，丽的方向分别为x,y,z轴的止方向，建立空间直角坐标系，利

用空间向量求解即可;

【详解】如图，以。为坐标原点，万N,反，而的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系,

则力(0,0,0),C(0,4,0),Z(2,0,叽耳2,4,9，/0，

因为E是Q4的中点，丽=2万，

248^|

3*39~15~)

—•24

，皮=（0,4,0）.

设n=（xj,z）是平面DEF的法向量,

故点C到平面DEF的距离为隼了=孚.

H5

故选：B

变式2.（2023春・福建龙岩•高二校联考期中）如图，在圆锥S。中，/8是底面圆O的直径，SO=N8=4,

AC=BC,力为SO的中点，N为/。的中点，则点N到平面S8C的距离为（）

45

A.-B.-C.1D.2

33

【答案】B

【分析】以点。为坐标原点，OC、。4、OS所在直线分别为X、＞、z轴建立空间直角坐标系，利用空间

向量法可求得点N到平面58c的距离.

【详解】因为/C=8C,。为的中点，则OCL/B,

由圆锥的几何性质可知SO_L平面/8C,

以点。为坐标原点，OC、OA.OS所在直线分别为x、V、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

z

s,

-►

y

则S（0,0,4）、8（0,-2,0）、C（2,0,0）、｛（0,2,0）、£＞（0,0,2）、N（0』,l）,

设平面SBC的法向量为I=（x,y,z）,前=（2,2,0）,丽=（0,2,4）,

n-BC=2x+2y=0-/、

则_•,取尸-2,可得〃=2,-2,1,

n-BS=2y+4z=0

一.1-6+115

又因为8N=（0,3,l）,所以，点N到平面S5C的距离为

故选：B.

变式3.（2023秋・重庆长寿•高二统考期末）如图，已知P4_L平面/8C。，底面Z8CO为矩形，PA=AD=2,

AB=4,M、N分别为48、PC的中点.

（1）求证：MN//平面P/D；

（2）求点D到平面PMC的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵竽

【分析】（1）取线段尸。的中点E,连接ZE、NE,证明出四边形为平行四边形，可得出〃/E,

再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

(2)以点A为坐标原点，AB、AD.4P所在自我分别为X、歹、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向

量法可求得点D到平面PMC的距离.

【详解】(1)证明：取中点E,连接NE、NE,

因为N、E分别为PC、尸。的中点，则NE//CDB.NE=LCD,

2

因为四边形ABCD为矩形，则ABHCD且48=8,

因为〃为的中点，所以，4加//。。且/"=，。。，

2

所以，AMMNEHAM=NE,故四边形/脑VE为平行四边形，故MNHAE,

因为MV2平面P/。，XEu平面4。，因此，MN〃平面PAD.

(2)解：因为尸4_L平面/8CD,底面/8CZ)为矩形，

以点A为坐标原点，AB.AD./P所在直线分别为X、歹、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

则£)(0,2,0)、P(0,0,2)、。(4,2,0)、“(2,0,0),

设平面PMC的法向量为7=(x,%z),丽=(-2,0,2),流=(2,2,0),

n•MP=-2x+2z=0,.一

则——,令x=l,可得〃=（1,一1,1）,

万MC=2x+2y=0'）

DCn

因为觉=(4,0,0),故点D到平面PMC的距离为d=*44石

H

变式4.(2023春•福建宁德•高二校联考期中)如图所示，四棱锥P-N8C。的底面是正方形，PO_L底面Z8C。,

E为尸C的中点，PD=DC=2.

p

（1）证明：P4"平面BDE；

⑵求点E到平面尸的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵冬

2

【分析】（1）利用空间向量方与平面以）E的法向量垂直可证结论正确；

（2）根据点面距的向量公式可求出结果.

【详解】（1）以。为坐标原点，分别以次，DC，方的方向为x轴，夕轴，z轴的正方向，并均以1为

单位长度，建立空间直角坐标系.

则。(0,0,0),4(2,0,0),尸(0,0,2),£(0,1,1),5(2,2,0),

所以⑸=（2,0,-2）,瓦=（0,1,1）,丽=（2,2,0）.

设4=（x,y,z）是平面以小的一个法向量,

ii.•DE=y+z=0

则＜__,令x=l,得y=-lZ=l,所以*=(1,-1,1).

4•DB=2x+2y=0

因为苏司=2-2=0,所以方_L*,又因为P/<Z平面

所以尸///平面8。瓦

（2）因为荏=（0,2,0）,5£=（-2,-1,1）,

设乙是平面P/8的一个法向量,

n.-PA=2x-2z=0一/、

则1｛二—.ft0,令%=1，得%=O，Zo=l,所以〃2=(1,0,1).

n2•AB=2yo=0

1-2+11J?

所以点E到平面PAB的距离d=―jrzq—=--f=—=--.

同722

变式5.(2023•江苏•高二专题练习)如图，四棱锥P-N8Q)的底面是矩形，PD1底面ZBCQ,PD=DC=l,

M为8c的中点，且

⑴求8C：

（2）求点B到平面PAM的距离.

【答案】（1）起

喈

【分析】（I）建立空间直角坐标系，设2c=2a,写出各点坐标，利用丽.新=0列出方程，求出°=也，

2

从而得到3c的长；

（2）求出平面知用的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解.

【详解】（1）：PZ）_L平面/BCD,四边形/BCD为矩形，不妨以点。为坐标原点，DA、DC、。尸所在

直线分别为X、V、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系。一中Z,

设8c=2a,则。(0,0,0)、尸(0,0,1)、5(2°,1,0)、"(a,1,0)、J(2a,0,0),

则而=(2a,l,—1),AM=(-a,

•••PBLAM,则丽.万7=-2/+l=0，解得.=正

2

故BC=2a=g：

(2)设平面均〃的法向量为三=(%%,%),贝IJ万7=(-*,1,0),AP=(-V2,0,l),

"?"AM=----x.+yI=0/——>//~\

由_2171，取士=应，可得〃?=(啦,1,2卜

ffi-AP=-y/2x1-^z]=0

”=(0,1,0),

48.加1

1

・•・点B到平面PAM的距离d==77=T

变式6.（2023春・云南楚雄•高二统考期中）如图，在正三棱柱N5C-/4G中，E是线段8Q上靠近点8的

一个三等分点，。是NG的中点.

（1）证明：4。〃平面2坊£：

（2）若=/8=6,求点4到平面ABtE的距离.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（I）取线段GE的中点G,连接4G,OG,，记48cABt=F,连接EF,证明DG//AE,EFUAfi,

从而可证得平面4〃G〃平面无，再根据面面平行的性质即可得证；

（2）取棱BC的中点O,以O为原点，分别以丽，刀的方向为x,V轴的正方向，建立空间直角坐标系,

利用向量法求解即可.

【详解】（1）取线段CE的中点G,连接&G,DG，48,记48cz用=尸，连接EF,

因为。，G分别是"G，EC1的中点，所以OG///E,

因为/Eu平面44£,。6色平面4片£,所以。G〃平面月片£,

III题意可知四边形ABB4是矩形，则尸是43的中点，

因为E是5G的中点，所以EF//A}G,

因为EFu平面AB}E,4G<£平面AB}E,所以4G//平面AB、E,

因为。G，4Gu平面4DG，且Z>Gc4G=G,所以平面ZQG//平面,

因为A}Du平面NQG,所以4。//平面AB}E；

(2)取棱8C的中点。，以。为原点，分别以而，亚的方向为x,V轴的正方向，建立如图所示的空间

直角坐标系，

因为441=/8=6,所以4(0,—3>/^,6),A(0,—3y/3,0),用⑶0,6),£(1,0,2),

则章=(0,0,-6),福=(3,36,6),“=(一2,0,7),

设平面/8也的法向量为;;=(x,%Z),

nAB.=3x+3y/3y+6z=0

则<___,令x=2则y=0,Z=-l,所以)=(2,0,-1),

n-BxE=-2x-4z=0

66>/5

故点4到平面48也的距离d=印T

开飞F

考点三：求两平行平面的距离

(2023秋•高二课时练习)已知正方体/8CD-44CQ的棱长为4,设加、N、E、厂分别是

码，4综D©，与G，的中点，求平面与平面EF5。的距离.

Q

【答案】I

【分析】建立适当空间直角坐标系，求出平面EF5。的法向量，并证明平面〃平面£尸3。于是两平面

的距离转化为点到平面的距离.利用向量距离公式求出即可.

【详解】以。为坐标原点，以所在直线分别为x轴，夕轴，z轴.

则E(0,2,4),万(2,4,4),5(4,4,0),4(4,0,0),M(2,0,4),N(4,2,4),

.•.丽=(2,2,0),方=(0,2,4)同=@,-4,0).

设Z=(1,W,N)是平面£7小。的个法向量,

〃7=一］

a-EF=02+2片0

则＜解得1所以

，瓦=02〃？+4〃=0〃=­

2

又因为万7=(-2,2,0),初=(0,2,4)，

所以［初=0,7而=0,从而£_L而,々J.丽，所以Z_L平面4WV,

所以平面⑷MN//平面EFBD,所以两平面的距离即是点A到平面BDEF的距离.

从而两平面间距离为理之=?.

1«13

变式1.(2023春•高二课时练习)两平行平面见尸分别经过坐标原点。和点力(1,2,3),且两平面的一个法

向量斤=(-1,0,1),则两平面间的距离是()

A.72B.专C.73D.3&

【答案】A

【分析】由空间向量求解

【详解】•.•两平行平面a,尸分别经过坐标原点。和点4(1,2,3),方=(1,2,3)，

且两平面的一个法向量万=(-1,0,1),

...两平面间的距离d=也半=多=72.

|«|近

故选：A

变式2.(2023•全国•高三专题练习)如图，在四棱锥。-48CZ＞中，底面N88是边长为2的正方形，OA1

底面/BCD,OA=2,M、N、R分别是。4、BC、的中点.求：

(1)直线MN与平面OCD的距离；

(2)平面MNR与平面OCD的距离.

【答案】(1)也

2

2

【分析】(1)证明出平面MVR〃平面。8,可得出〃平面OCD,以点A为坐标原点，AB、AD、AO

所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面OCQ的距离；

(2)利用空间向量法可求得平面MNR与平面。8的距离.

【详解】(1)解：因为平面Z8C。，四边形/8C。为正方形，

以点A为坐标原点，AB、AD、X。所在直线分别为x、V、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则C（2,2,0）、£＞（0,2,0）,0（0,0,2）,M（0,0,1）,N（2,l,0）、7?（0,l,0）,

因为M、R分别为尸4、AD的中点，则MR//OD.

•.•MRU平面OCD,QDu平面OC。，.•."/?//平面OS,

因为A。//8c且4）=8C,R、N分别为4。、8c的中点，则CN//RD且CN=RD,

所以，四边形CDRN为平行四边形，：.RN//CD,

AN仁平面OCZ）,CDu平面OCD,AN〃平面OCZ）,

MRCRN=R,MR、RNu平面MNR,；.平面平面OCD,

•.•MVu平面MNR,.•.〃乂〃平面。8,

设平面OCD的法向量为I=（x,y,z）,DC=（2,0,0）,DO=（0,-2,2）,

则匕黑2：=。取产i,可得；=（0,1,1）,NC=（0,l,0）,

-DO=—2y+2z=0

pVC-nliJ2

所以，直线AW与平面OC£＞的距离为&=匚/=;方=5-.

瓯臼16

（2）解：因为平面脑V火〃平面。8,则平面与平面08的距离为4=」^|」=正=5-.

变式3.（2023春•高二课时练习）直四棱柱/8CO-4BCQ|中，底面43。为正方形,边长为2,侧棱//=3,

M、N分别为4瓦、40的中点，E、尸分别是GQ，AG的中点.

⑴求证：平面/MV〃平面EFBD；

（2）求平面AMN与平面EFBD的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵处

19

【分析】（1）法一：由面面平行的判定定理即可证明；法二：如图所示，建立空间直角坐标系Q-xyz,通

过证明丽=MNJM=而，再由面面平行的判定定理即可证明.

（2）法一：平面与平面EF8O的距离=5到平面的距离再由等体积法即可求出答案.法二:求

出平面ZAW的法向量,^=（0,2,0）,平面4MV与平面EF8O的距离等于3到平面4AW的距离〃，由点到

平面的距离公式即可求出答案.

【详解】（1）法一:证明：连接用A，NF,〈M、N分别为耳及、4A的中点，

E、尸分别是GA，AG的中点,

MNHEFHBP、,•：MNU平面EFBD,EFu平面EFBD,

MTV〃平面EF8。，•.•NF平行且等于,

ABFN是平行四边形，,ANHBF,

•;4Na平面EFBD,BFu平面EFBD,ANHEFBD,

ANcMN=N,.；平面AMNH平面EFBD；

法二：如图所示，建立空间直角坐标系。-肛z,

则2(2,0,0),M(1,0,3),B(2,2,0),£(0,1,3),

F(l,2,3),N(2,L3),.•.访=(1,1,0),丽=(l,L0),

而=(T,0,3)旃=(-103),

~EF=MN,AM=而,■■EFUMN,AMUBF,

:MN0平面EFBD,EFu平面EFBD,:.MN〃平面EFBD,

•;4N<Z平面EFBD,BFu平面EFBD,/.ANHT®EFBD.

又MVcZM=",.,.平面AMN//平面EFBD,

（2）法一:平面4MN与平面EFBD的距离=B到平面AMN的距离h.

中，AM=AN=M，MN=6,SAAMN=yV2-

由等体积可得LY叵人，.•./)=M9.

323219

法二:

设平面4MV的一个法向量为五=(x,y,z),

近•MN=x+y=0/、

则一，则可取万=(3,-3,1),

n-AM=-x+3z=0

vZe=(o,2,o),

\n-6

・•・平面AMN与平面EFBD的距离为d=/°=匕2

|n|J9+9+119

变式4.【多选】（2023春•福建福州•高二校联考期中）己知正方体。的棱长为1,点反。分

别是力4、4G的中点，尸满足40=：/8+5力。+§44,则下列说法正确的是（）

A.点A到直线5E的距离是半

B.点。到平面/8和〃的距离为正

4

C.平面48。与平面5cA间的距离为毡

3

D.点P到直线43的距离为二25

【答案】AB

【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量结合空间向量数量积

求得各个选项的距离，得出结论.

【详解】如图，建立空间直角坐标系,

则2(0,0,0),8(1,0,0),

0(0,1,0),4(0,0,1),G(1,1,1他0,1,160,1

uuruur(i、

所以反1=(-1,0,0),"=卜5,0,1J.

设N48E=O,则cos(9=

sin6=A/1-COS20=~

故A到直线BE的距离&=|温卜出。=以乎=乎，故A对.

易知而=；不;=（一；,-；,0）,

平面/BG2的一个法向量西=（0，-|/），

防汛!721

则点。到平面4BCn的距离4=故B对.

一^=正=4

UUUUUULUUUU

力出二(1,0,—1),4。=(0,1,—1),4。=(0,1,0).

设平面4BD的法向量为〃=（x,y,z）,

万.48=()x-z=0

,所以

万丽=0y-z=0

令z=l,得y=l,x=l,

所以”=(1,1,1).

所以点A到平面ABD的距离4=图必1_下)

1«1

因为平面48。〃平面耳C。,

所以平面4BD与平面3cA间的距离等于点M到平面4BD的距离,

所以平面4即与平面5。0间的距离为且，故C错.

3

—*3—►1—•2—

因为4P=—43+—Z0+—,

所以万=（泻）

—./、APAB3

又"=（1,0,0）,则干或=1

所以点P到48的距离W=j"错C=借_[=*,故D错.

故选：AB.

考点四：求两条异面直线的距离

【多选】（2023•辽宁朝阳•校联考一模）如图，在棱长为1正方体中，M为BG

的中点，E为4G与的交点，尸为8W与C片的交点，则下列说法正确的是（）

A.4G与。8垂直

B.E尸是异面直线4cl与8c的公垂线段,

c.异面直线4G与qc所成的角为5

D.异面直线4G与AC间的距离为也

3

【答案】ABD

【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量逐项分析.

【详解】以。为原点，D4为x轴，OC为y轴，DDt为z轴，建立如下图所示坐标系:

则：。(0,0,0),/(1,0,0),8(1,1,0)((01,0),4(1,0,1),四(1,1,1),G(o』』),"[,1,1

£>(0,0,l),^M=f1,l,0|，4C；

1=(1,0,0),

7

设E(Xo，K，z()),/(X|,%,Z|)，4E=44G'D|E』D\M,

，4£=44G=4(z)C-Q/J,

则有：=^D]M=^\D]C+-

又Q|E=24+4瓦•.・〃()（前+；矶=福+4瓯一殉,

1

2.22„

解得4=4=5，.•.4E=(Xo-l/o，z()-l)=§(-l,l,O),<盟=]，后,同理可得尸