2022年河北雄安新区博奥高三最后一卷数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数z=（a2—l）+（a—1".6火）为纯虚数，则z=（）

A.iB.-2iC.2iD.-i

2.已知点A（2,0）、B（0,-2）.若点尸在函数y=«的图象上，则使得△PA5的面积为2的点。的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

3.已知m,n为异面直线，m_L平面a,n_L平面p,直线I满足I_Lm,1_Ln,/a,//?,则

（）

A.a〃0且/〃aB.a±pKZ±P

C.a与0相交，且交线垂直于/D.a与0相交，且交线平行于/

2

4.若复数z=—其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）

A.z的虚部为-iB.C.z的共甄复数为一1一,D.z?为纯虚数

5.已知函数/（x）=x+a2,g（x）=lnx-4a-2-Y,若存在实数比。，使/伉）-g（距）=5成立,则正数a的取值

范围为（）

A.(0,1]B.(0,4]C.[1,+co)D.(0,ln2]

V224

6.已知双曲线与v-讶=1的一条渐近线方程为则双曲线的离心率为（）

22

7.已知双曲线「：+一==1（。〉0,6〉0）的右焦点为歹，过原点的直线/与双曲线「的左、右两支分别交于A,3

两点，延长5尸交右支于C点，若A广，尸瓦|b|=3|EB|,则双曲线「的离心率是（

D,巫

2

8.定义在［-2,2］上的函数/（x）与其导函数广（力的图象如图所示，设。为坐标原点，A、B、C、O四点的横坐

标依次为-工、1、则函数丁=/（。的单调递减区间是（）

263/

9.在边长为2如的菱形ABC。中，440=60。，沿对角线3。折成二面角A-C为120。的四面体ABCD（如

图），则此四面体的外接球表面积为（）

A.28»B.7兀

C.14〃D.2U

10.记单调递增的等比数列｛。“｝的前〃项和为s,，若出+。4=10，4%%=64,则()

n+1

A-Sn+I-Sn=2B.a“=2"C.S“=2〃—1D.5„=2"-'-1

11.若a=log23]=log47,c=0.74,则实数a,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a

12.下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是().

A.f(x)=x]nxB./(x)=ex-e~x

C./(x)=sin2xD./(x)=x3-x

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如果函数/（力=（相—2卜2+2（〃—8b+1（根，”€尺且加之2,〃之0）在区间g,2上单调递减，那么加的最

大值为.

14.如图所示梯子结构的点数依次构成数列{4},则60。=.

15.已知椭圆。：「+鼻=1（。>6>0）的左右焦点分别为耳、区，过心（LO）且斜率为1的直线交椭圆于AB,

ab

若三角形片A3的面积等于回2,则该椭圆的离心率为.

16.已知复数z=（l-。・（a+i）（i为虚数单位）为纯虚数，则实数。的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现例如，豌豆携

带这样一对遗传因子：A使之开红花，。使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：A4为开

红花，Aa和oA一样不加区分为开粉色花，为开白色花.生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包

含一个父系的遗传因子和一个母系的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以1

的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的.可以把第九代的遗传设想为第〃次实验的结果，每一次实

验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状的父系来说，如果抛出正面就选择因子A,如果抛出反面就选择因

子。，概率都是对母系也一样.父系.母系各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状.假设三种遗

传性状A4,Aa（或&4）,在父系和母系中以同样的比例：〃"：w（"+v+w=l）出现，则在随机杂交实验中，遗

vv

传因子A被选中的概率是口="+,,遗传因子。被选中的概率是4=w+万.称p,q分别为父系和母系中遗传因子

A和。的频率，夕：4实际上是父系和母系中两个遗传因子的个数之比.基于以上常识回答以下问题：

（1）如果植物的上一代父系、母系的遗传性状都是Aa,后代遗传性状为A4,Aa（或aA）,的概率各是多少？

（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父系和母系中仅有遗传性状

为A4和Aa（或M）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子A被选中的概率为。，。被选中的概率为4,

p+q=l.求杂交所得子代的三种遗传性状A4,Aa（或《A）,所占的比例4,匕,吗.

（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除性状为狈的个体假设得到的第九代总体中3种遗传

性状A4,Aa（或a4）,所占比例分别为%,匕,吗+匕+吗=1）.设第九代遗传因子4和a的频率分别为P.和

U+口工1

qn,已知有以下公式〃"2〃_2?.证明一是等差数列.

Pn--------An-：----，”-1,2,…q

1一%1一%I

（4）求％加〃，t的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？

18.（12分）已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且满足2S"=“-"2（〃eN*）.

（1）求数列｛4｝的通项公式;

2乐，5=2左—1)

（2）设a=（2（左eN*），数列｛〃｝的前几项和北.若北〃=a［工］——L-+b对

(〃=2k)

、。―。〃）（1一4+2）14J2n+2

“eN*恒成立，求实数。，b的值.

=l（a〉6〉0）的离心率为半，点（6,&）

19.（12分）椭圆E：为椭圆上的一点.

a2b2

（1）求椭圆E的标准方程;

（2）若斜率为左的直线/过点A（O,1）,且与椭圆E交于两点，3为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的实数3

直线BC,BD的斜率之积为定值.

20.（12分）已知三棱柱A3C—43iG中，AB=BB［=2,。是的中点，/用朋=60。，BXD±AB.

（1）求证：AB±AC；

（2）若侧面ACC】A为正方形，求直线耳。与平面所成角的正弦值.

21.（12分）在AABC中，角A,瓦C的对边分别为"c.已知c=40，sin-=^

25

(1)若a=l,求sinA；

（2）求AABC的面积S的最大值.

22.（10分）如图（1）五边形ABCDE中，ED=EA,AB//CD,CD=2AB,

ZEDC=15O,将AEAD沿AD折到AR4D的位置，得到四棱锥尸—ABCD,如图(2),点〃为线段PC的中点,

且®平面PCD.

(1)求证：平面B4D_L平面ABC。；

(2)若直线PCAB与所成角的正切值为工，求直线与平面PD3所成角的正弦值.

2

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

复数z=(6—1)+(。—为纯虚数，则实部为0,虚部不为0,求出a,即得z.

【详解】

*/z=(a2_])+(a_i)*aeR)为纯虚数，

tz2—1=0

工〈，解得。=—1.

〃一1w0

/.z=—2i・

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的分类，属于基础题.

2.C

【解析】

设出点尸的坐标，以A3为底结合△PA3的面积计算出点P到直线A3的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于

。的方程，求出方程的解，即可得出结论.

【详解】

设点P的坐标为⑷，直线A3的方程为5―金=1，即x—y—2=0,

设点P到直线AB的距离为d,则久"8=3.|/=3义20xd=2,解得d=0,

\a-Ja—2«_

另一方面，由点到直线的距离公式得d=J_-___l=A/2>

V2

整理得a=0或a一—4=0，，/<7>0,解得。=0或。=1或a=

2

综上，满足条件的点P共有三个.

故选：C.

【点睛】

本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.

3.D

【解析】

试题分析：由相，平面C,直线/满足/，加，且/<za,所以///a,又“，平面£,所以///。,由

直线加,77为异面直线，且加，平面外〃，平面£,则a与夕相交，否则，若。//月则推出相〃心与以〃异面矛盾,

所以华，相交，且交线平行于/,故选D.

考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论.

4.D

【解析】

将复数z整理为的形式，分别判断四个选项即可得到结果.

【详解】

_2_2(1-0.

z==

T77(i+o(i-O

Z的虚部为—1,A错误；|Z|=V1T1=V2,3错误；z=l+z,C错误；

z2=(l-i)2=-2i,为纯虚数，。正确

本题正确选项：D

【点睛】

本题考查复数的模长、实部与虚部、共朝复数、复数的分类的知识，属于基础题.

5.A

【解析】

根据实数X。满足的等量关系，代入后将方程变形4a2%=1叫+5-%,构造函数/z(x)=liu+5—x,并由

导函数求得可九)的最大值；由基本不等式可求得a.2%+4/2』的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数。

的取值范围.

【详解】

函数/(x)=x+a・2*,g(x)=hu-4a-2-*,

由题意得/(x0)-g(x0)=x0+«-2^一1叫+482-%=5,

即a•2%+4a•2』=liu0+5-x0,

令Zz(x)=lnx+5-

h'(x)=——1—-——,

XX

在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

•••=M1)=4,而。.2%+4a.2飞22川2'42飞=4a，

当且仅当2%=4-2/，即当天=1时，等号成立，

:.4a<4,

，0<Q<1.

故选：A.

【点睛】

本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.

6.B

【解析】

由题意得出勺的值，进而利用离心率公式e=Jl+-可求得该双曲线的离心率.

«2\UJ

【详解】

双曲线£-乂=1的渐近线方程为y=±?x,由题意可得与,

a2b2aa2{3J9

因此，该双曲线的离心率为e=£=J《±^=Jl+眩=».

a\a2\a23

故选：B.

【点睛】

I(b\

本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式e=1+-计算较为方便，考查计算能力，属于

V\aj

基础题.

7.D

【解析】

设双曲线的左焦点为小，连接5尸，AF',CF,设5F=x，则CF=3x,BF'=2a+x,CF'=3x+2a,RtACBF'

和RtAFBF'中，利用勾股定理计算得到答案.

【详解】

设双曲线的左焦点为E',连接5F',AF',CF',

设=则CF=3x,BF,=2a+x,CF'=3x+2a,

AF±FB,根据对称性知四边形AEB尸为矩形，

RtACBF,中:CF'2=CB2+BF'2,即(3x+2a『=(4x『+(2a+x『，解得x=a；

RtAFBF'中:FF,2=BF2+BF,2>即(2c?="+。々?，故q=g,故《=芈.

故选：D.

【点睛】

本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

8.B

【解析】

先辨别出图象中实线部分为函数y=/(x)的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数丫=且0的导数为

ex

y=m⑴,由y'<0,得出/'(x)</(x),只需在图中找出满足不等式r(x)</(x)对应的X的取值范围

ex

即可.

【详解】

若虚线部分为函数y=/(x)的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象(实线)与x轴有三个交点，不合乎

题意；

若实线部分为函数y=/(x)的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象(虚线)与x轴恰好也只有两个交点，

合乎题意.

对函数丫=/区求导得y=,一/,由v<o得ra)</(x),

exex

由图象可知，满足不等式/'(力</(力的X的取值范围是，,

因此，函数y=的单调递减区间为

故选：B.

【点睛】

本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查推理能力，属于中等

题.

9.A

【解析】

画图取6D的中点M,法一：四边形0aMQ的外接圆直径为OM,即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据

00[=也,即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出ACBD的外接圆直径CE,求出AC和sin/AEC,即可

求半径从而求外接球表面积；

【详解】

如图，取5。的中点M,ACBD和AABD的外接圆半径为6=々=2,ACBD和AABD的外心。]，。2到弦的

距离（弦心距）为4=4=L

厂”“力

法一：四边形OQMQ的外接圆直径OM=2,R=币,

S=28zr；

法二：00[=也,R=用,S=28〃；

法三：作出ACBZ）的外接圆直径CE,则AM=CM=3,CE=4,ME=1，

AE=WAC=35SS/AEC=2中,4=-2币'

3百2R=———=^^=2A/7厂

sinZAEC=—^,sinZAEC3G，R=@，S=28%.

2近2出

故选：A

【点睛】

此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径,方法较多，属于较易题目.

10.C

【解析】

先利用等比数列的性质得到的的值，再根据«2，%的方程组可得。2，%的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通

项和前〃项和，根据后两个公式可得正确的选项.

【详解】

因为｛4｝为等比数列，所以故d=64即%=4,

二

a^+aA=10]氏=2（a,=8,、fa,2

由'“可得'。或-C，因为｛q｝为递增数列，故一=8符合•

a2a4=16[%=8[%=2

此时/=4,所以q=2或q=-2（舍，因为｛4｝为递增数列）.

故a“=生产=4x2-3=2",s=.(I)=2"—1.

"1-2

故选C.

【点睛】

一般地，如果｛4｝为等比数列，s,为其前〃项和，则有性质：

(1)若m,〃,p,qGN*,m+n=p+q,贝!J%“4=与外；

(2)公比4W1时，则有S“=A+8q",其中A,3为常数且A+6=0；

(3)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,：.为等比数列(S“w0)且公比为q".

11.A

【解析】

将。化成以4为底的对数，即可判断。力的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出仇c与1的大小关

系，从而可判断三者的大小关系.

【详解】

依题意，由对数函数的性质可得a=log23=log49>b=log47.

又因为c=0.74<0.7°=l=log44<log47=6,故a>6>c.

故选:A.

【点睛】

本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相

同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小;

若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.

12.B

【解析】

奇函数满足定义域关于原点对称且/(x)+/(-%)=0,在(0,1)上/(力20即可.

【详解】

A：因为/(x)=xlnx定义域为了>0,所以不可能时奇函数，错误；

B：/(x)=e一二定义域关于原点对称，且/(x)+/(r)=，-ef+”“一产=0

满足奇函数，又尸(龙)=《+07>0,所以在(0,1)上尸(x"0,正确;

C：/(X)=sin2x定义域关于原点对称，M/(x)+/(-x)=sin2x+sin-2x=0

满足奇函数，/(x)=2cos2x,在(0,1)上，因为尸(0)/''⑴=2x2cos2<0,所以在(0,1)上不是增函数，错误;

D：/(x)=x3—X定义域关于原点对称，Mf(x)+f(-x)=x3-x+(-x3+x)=0,

满足奇函数，/'(x)=3f—1在(0,1)上很明显存在变号零点，所以在(0,1)上不是增函数，错误；

故选：B

【点睛】

此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.18

【解析】

根据函数单调性的性质，分一次函数和一元二次函数的对称性和单调区间的关系建立不等式，利用基本不等式求解即可.

【详解】

解:①当机=2时，f(x)=2(n-8)x+l,

/(九)在区间1,2上单调递减，

则〃一8<0,即<8,

则

②当加>2时，/(x)=(m-2)x2+2(n-8)x+l,

2(n-8)n-S

函数开口向上，对称轴为x=―止=-----

—m—2

因为/(%)在区间1,2上单调递减，

rITl-8-

则------>2,

m—2

因为加>2,则一(九一8)>2(m-2),

整理得2加+〃<12,

又因为机>2,

则2"+刀>2yl21nli•所以—"—Nyjlmn

所以

当且仅当m=3,n=6时等号成立.

综上所述,加，的最大值为18.

故答案为：18

【点睛】

本题主要考查一次函数与二次函数的单调性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定，二正，三相等”.

14.5252

【解析】

根据图像归纳4=2+3+4+...+“+2,根据等差数列求和公式得到答案.

【详解】

根据图像：％=2+3,g=2+3+4,故a”=2+3+4+...+“+2,

.（2+102）x101

故［00=2+3+4+…+102=------------=5252•

故答案为：5252.

【点睛】

本题考查了等差数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

15.73-1

【解析】

由题得直线A5的方程为》=了+1,代入椭圆方程得：（/+/）/+2匕、+/—4/=0,

设点A（石,％）,B（x2,y2）,则有为+%==^,=由

a+Pa+b

=1x|^^|x|yi-y2|=,且“2—62=1解出a,进而求解出离心率•

【详解】

22

由题知，直线的方程为》=丁+1,代入三+9=1消x得：

+b2>jy2+2b2y+b2-c^b2=0,

设点A（石,%），6（%，%），贝！I有H+

1—2人丫吩—a1白2ab^a2+Z?2-1

二|乂一%|=4%+%)2—4乂％=

V、片+方,a2+b2

a2+b2

而知耳工|义|必一%|=三二二回又储一廿,

AB=3X|2*2仍,：+；?2,=1

解得：a=@±l,所以离心率e=7—=73-1

V3+1

2

2

故答案为：V3-1

【点睛】

本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，三角形面积计算与离心率的求解，考查了学生的运算求解能力

16.-1

【解析】

利用复数的乘法求解2再根据纯虚数的定义求解即可.

【详解】

解：复数Z=(l-7)(a+z)=a+l+(l-a)z'为纯虚数,

a+1^0,1-Qw0,

解得a=-l.

故答案为：T.

【点睛】

本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

111

17.（1）A4.Aa（或oA）,的概率分别是一，一，一.（2）%="9#==如9（3）答案见解析（4）答

424

案见解析

【解析】

（1）利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.

（2）利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.

(3)由(2)知M〃+1=P"2,v“+i=20%,叱+1=q“2,求出p“+]、qn+i,利用等差数列的定义即可证出.

(4)利用等差数列的通项公式可得一=一+5-1),从而可得外=T<,再由吗+1=纵2=_J_,利用式子

Qn1i+7的U+q"

的特征可得叫越来越小，进而得出结论.

【详解】

(1)即Aa与Aa是父亲和母亲的性状，每个因子被选择的概率都是工，

2

故A4出现的概率是,义工，Aa或M出现的概率是工乂工+1><』=2,

2222224

aa出现的概率是一X—

22

所以：AAfAa(或。4),的概率分别是一，一，—

424

(2)%=pn,%=2pq,W]=q?

(3)由(2)知"〃+]=p/#“]=2p〃/,w〃+i=/2

IVn+1n212PMi

.2P"+工

于是P-1

l—%+i1-端i+q.

V

n+1

p“q“_PM,_q”

i-qj(1-%)(1+纵)i+%

...p-是等差数列，公差为i

〔q“J

(4)——=一+(〃T)

%(7i

打2pq

其中，=」_=」_=，_(由(2)的结论得)

1

l-w1I-/1+<7

11q

所以一=一+〃=%

%5\+nq

(、2

于是，叱,+i=qJq

J+q,”

/p+nq、2

p+nq2

Pn

^1+nqy

SRC”C.p万(p+寸nq)

/、2

q

很明显wn+1,〃越大，叫+1越小，所以这种实验长期进行下去,

必越来越小，而吗是子代中狈所占的比例，也即性状⑶会渐渐消失.

【点睛】

本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式、等差数列的定义、等差数列的通项公式，考查了学生的分析能力，属

于中档题,

411

18.(1)a,,=1-n(n>1)(2)a=一一，b=一

36

【解析】

(1)根据数列的通项4与前〃项和S”的关系式，即求解数列的通项公式;

2211

(2)由(1)可得T.77.\——(~,利用等比数列的前〃项和公式和裂项法，求得

(1—。〃)(1一凡+2)n(n+2)nn+2

n

e114f1」一，结合题意，即可求解.

凡丁3

42〃+2

【详解】

(1)由题意，当〃=1时，由2sl=1—解得q=o；

当“22时，可得2q=2S“—2S"T=n-n2-[(n-l)-(n-l)2]=2-2H,

即=1-n,(n>2),

显然当〃=1时上式也适合，所以数列的通项公式为4=1-".

2211

(2)由(1)可得71---M-----\=(介=------yr,

(1-。“)(1一。“+2)n[n+2)nn+2

所以&=(々+4+…+处-1)+32+a+…+邑)

=（2。+2-2+...+22-2'）+

TJ11114pY1

_____£__|__________=___________________

=1_J_22n+263（4）2n+2

~4

因为l-Z?对〃eN*恒成立,

2"UJ2〃+2

411

所以。,b=—.

36

【点睛】

本题主要考查了数列的通项公式的求解，等差数列的前"项和公式，以及裂项法求和的应用，其中解答中熟记等差、

等比数列的通项公式和前"项和公式，以及合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于

中档试题.

22

19.(1)—+^=1；(2)证明见解析

64

【解析】

(1)运用离心率公式和点满足椭圆方程，解得。，b,进而得到椭圆方程；(2)设直线/:y=Ax+l,代入椭圆方程,

运用韦达定理和直线的斜率公式，以及点在直线上满足直线方程，化简整理，即可得到定值.

【详解】

11

(1)因为e="，所以°=立。，a=b+[—a\①

3313J

Qr\

又椭圆过点(Ji夜)，所以/+屏=1②

由①②,解得合=6,廿=4

22

所以椭圆E的标准方程为L+匕=1.

64

(2)证明设直线/：y=kx+l,

(22

土+匕=]

联立<64得(3左2+2)%2+6点—9=0,

y=kx+1

设。(石，％)，。(%2,%)，

e6k9

贝！Ix+x=---；——,xx,=-----——

12-3k2+223左2+2

易知矶0,-2)

2

,,_%+2y2+2_kxi+3kx2+3kxlx2+3k(xl+x2)+9

故化BC■^BD~—-----------------------

石X?玉%2X?

,23^(x+x)92k(、\

2+—=Z：92+3^.--(3^2+2=—2

XyX2XjX23''

所以对于任意的k，直线BC,BD的斜率之积为定值.

【点睛】

本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理

和直线的斜率公式，化简整理，考查运算能力，属于中档题.

20.(1)证明见解析(2)正

5

【解析】

(1)取A5的中点。，连接8,OB{,证明A3,平面。。用得出ABLOD,再得出A3LAC；

(2)建立空间坐标系，求出平面GAD的法向量为，计算cos＜力，丽〉即可得出答案.

【详解】

(1)证明：取A8的中点。，连接8,OBy,

ZB.BA=60°,B]B=2,OB=-AB=1,

2

OB】=V4+l-2x2xlxCOS60°=A/3,

OB2+OB；=BB；,故AB_L06,

又OB1QB1D=B1,04,BQu平面。。耳，

AB_L平面。。用，

AB±OD,

­■O,。分别是A5,BC的中点，.•.OD//AC,

.-.AB±AC.

(2)解：•.•四边形ACGA是正方形，•.•AC，A41,

又ACLAB,AB^\AAl=A,AB,A4,u平面45与4，

.•.47，平面45与4,

在平面内作直线AB的垂线AE,以4为原点，以AB,AC,AE为所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系

A-xyz,

则A(0,0,0),0(1,1,0),q(-l,2,5,5)(1,0,百)，

•••AD=(1,1,0),Aq=(-1,2,A/3),丽=(0,1,-我，

ri-AD=0x+y=0

设平面GAD的法向量为河=(X,y,z),贝叫

n-AC[=0

令x=l可得：为=(1,-1,73),

c…，即＞=上吗一

I加|BQ|小5

直线BXD与平面QAD所成角的正弦值为Icos〈万，丽＞|=半.

【点睛】

本题主要考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题.

21.(1)sinA=—;(2)4

10

【解析】

(1)根据已知用二倍角余弦求出cosC,进而求出sinC,利用正弦定理，即可求解；

(2)由c边C角，利用余弦定理结合基本不等式，求出ab的最大值，即可求出结论.

【详解】

C34

(1)VcosC=l-2sin2一=——,/.sinC=—,

255

由正弦定理‘一=」^得sinA=竺巴C=也.

sinAsinCc