2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第九章 第五节 第3课时 直线和椭圆含答案

9版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第九章第五节第3课时直线和椭圆第3课时直线和椭圆【核心考点·分类突破】考点一直线与椭圆位置关系的判断[例1](1)(2024·长沙模拟)椭圆x28+y22=1与直线y=k(x-1)的位置关系是A.相离 B.相交C.相切 D.无法确定【解析】选B.直线过定点M(1,0)在椭圆内,故直线与椭圆相交.(2)(2024·福州模拟)当m取何值时,直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144.①无公共点;【解析】①依题意,联立y=消去y,得25x2+32mx+16m2-144=0,所以Δ=(32m)2-4×25×(16m2-144)=-576m2+14400,要使直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144无公共点,则Δ<0,即-576m2+14400<0,解得m<-5或m>5,所以当m<-5或m>5时,直线和椭圆无公共点.(2)(2024·福州模拟)当m取何值时,直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144.②有且仅有一个公共点;【解析】②要使直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144有且仅有一个公共点,则Δ=0,即-576m2+14400=0,解得m=±5,所以当m=±5时,直线和椭圆有且仅有一个公共点.(2)(2024·福州模拟)当m取何值时,直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144.③有两个公共点.【解析】③要使直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144有两个公共点,则Δ>0,即-576m2+14400>0,解得-5<m<5,所以当-5<m<5时,直线和椭圆有两个公共点.【解题技法】判断直线与椭圆位置关系的方法(1)一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆公共点个数.【对点训练】1.直线y=2x-1与椭圆x29+y24=1的位置关系是A.相交 B.相切C.相离 D.不确定【解析】选A.因为029+(-1所以0,-因为y=2x-1恒过点0,-所以直线y=2x-1与椭圆x29+y2.若直线mx+ny=4与☉O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点个数是A.至多为1 B.2C.1 D.0【解析】选B.由题意知4m即m2所以点P(m,n)在椭圆x29+故所求交点个数是2.【加练备选】已知直线l:kx+y+1=0,椭圆C:x216+y24=1,则直线l与椭圆C的位置关系是A.相离 B.相切C.相交 D.无法确定【解析】选C.由直线l:kx+y+1=0,得直线l过定点(0,-1),因为016+1所以该点在椭圆C:x216+y所以直线l与椭圆C相交.考点二直线与椭圆相交的有关问题角度1弦长问题[例2](2024·桂林模拟)已知椭圆C:y24+x2=1,过点(0,m)作圆x2+y2=1的切线交椭圆C于A,B(1)求椭圆C的焦点坐标和离心率;【解析】(1)椭圆的长半轴长a=2,短半轴长b=1,半焦距c=a2-b所以焦点坐标是(0,3),(0,-3),离心率是e=ca=3[例2](2024·桂林模拟)已知椭圆C:y24+x2=1,过点(0,m)作圆x2+y2=1的切线交椭圆C于A,B(2)将|AB|表示成m的函数,并求|AB|的最大值.【解析】(2)易知|m|≥1,当|m|=1时,切线AB方程为y=1或y=-1,此时A(-32,1),B(3或A(-32,-1),B(32,-1),则|AB|=当|m|>1时,易知切线AB方程斜率不为0,如图,可设切线AB的方程为:y=kx+m,即kx-y+m=0,则|m|1+k2=1,得:k2=联立:y=整理得:(k2+4)x2+2kmx+m2-4=0,其中Δ=(2km)2-4(k2+4)(m2-4)=-16m2+16k2+64,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2kmk2+4,x1x则|AB|=1+k2=1+k2=1+k2·-将①代入②得:|AB|=43而|AB|=43|m|m2+3=43|m|+综上所述,当|m|=1时,|AB|=3;当|m|>1时,|AB|=43|【解题技法】1.弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.(2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则①|AB|=1+k2|x1-x2|=②|AB|=1+1k2|y1-y2|=1+12.弦长公式的运用技巧在利用曲线方程和直线方程联立时,设直线方程也很讲究.(1)若直线经过的定点在纵轴上,一般设为斜截式方程y=kx+b便于运算,即“定点落在纵轴上,斜截式帮大忙”;(2)若直线经过的定点在横轴上,一般设为my=x-a可以减小运算量,即“直线定点落横轴,斜率倒数作参数”.提醒:联立直线与曲线方程后得到一元二次方程,一定要考虑判别式Δ.角度2中点弦问题[例3](一题多法)(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=23,则l【解析】方法一:设直线l的方程为xm+yn=1(m>0,n>0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n).设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意知线段AB与线段所以x即x因为kAB=kMN,所以y1-y2x将A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆方程,得x相减得(x1+由题意知x1+x2≠0,x1≠x2,所以y1+y2x即nm·(-nm)=-12,整理得m2=2n又|MN|=23,所以由勾股定理,得m2+n2=12,②由①②并结合m>0,n>0,得m所以直线l的方程为x22+即x+2y-22=0.方法二:设直线l的方程为xm+yn=1(m>0,n>0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n由题意知线段AB与线段MN有相同的中点,设为Q,则Q(m2,n2),则kAB=0-nm-0=-nm,kOQ=n2m2=nm.由椭圆中点弦的性质知,kAB·kOQ答案:x+2y-22=0【解题技法】处理中点弦问题常用的求解方法【对点训练】1.(2024·南昌模拟)已知直线l交椭圆C:y29+x24=1于A,B两点,若点M(1,2)为A,B两点的中点,则直线l的斜率为A.29 B.-29 C.98 【解析】选D.椭圆C:y29+依题意可知直线l的斜率存在,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1两式相减并化简得-94=y1+即-94=42·y1-y所以直线l的斜率为-982.若椭圆x24+y22=1的弦AB的中点为(-1,-1),则弦AB的长为A.303 B.263 C.103【解析】选A.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为弦AB的中点为(-1,-1),可得x1+x2=-2,y1+y2=-2,又因为A,B在椭圆上,可得x1两式相减可得(x1+可得y1-y2x即直线AB的斜率为k=-12所以弦AB的直线方程为y+1=-12(x即y=-12x-3联立y=整理得3x2+6x+1=0,可得x1+x2=-2,x1x2=13由弦长公式,可得|AB|=1+(-12)

2·(x【加练备选】已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(1)求椭圆G的方程;【解析】(1)由题意,e=ca=639a2+已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(2)斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2),求△ABP的面积.【解析】(2)令AB为y=x+n,则AB中垂线方程为y=-(x+3)+2=-x-1,联立AB与椭圆方程得,x2+3(x+n)2=12,整理得4x2+6nx+3n2-12=0,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-3nx1x2=3n所以y1+y2=x1+x2+2n=n2又(x1+x22所以3n4-1=n4即x1+x2=-3,x1x2=0,所以|AB|=1+k2·(x又P(-3,2)到AB的距离d=|-3-2+2所以S△PAB=12|AB|·d=9第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程【课程标准】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程.2.掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式.【考情分析】考点考法:本节内容高考一般不单独命题,时常与圆的方程相结合,考查直线与圆的位置关系,多以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学运算、逻辑推理、直观想象【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.(2)范围:直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.【微点拨】平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角.2.直线的斜率(1)定义:把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tanα(α≠90°).

(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),其斜率k=y2【微点拨】直线的斜率k与倾斜角α之间的关系:α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢记口诀:“斜率变化分两段,90°是分界线;遇到斜率要谨记,存在与否要讨论.”3.直线的方向向量与法向量(1)方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合,则称向量a为直线l的一个方向向量.(2)法向量:如果表示非零向量v的有向线段所在的直线与直线l垂直,则称向量v为直线l的一个法向量.【微点拨】直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个法向量v=(A,B),一个方向向量a=(-B,A).4.直线方程的5种形式名称方程适用条件点斜式y-y0=k(x-x0)不含垂直于x轴的直线斜截式y=kx+b不含垂直于x轴的直线两点式y-y不含直线x=x1(x1=x2)和直线y=y1(y1=y2)截距式xa+y不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0,(A2+B2≠0)平面内所有直线【微点拨】1.用直线的点斜式求方程时,在斜率k不明确的情况下,注意分k存在与不存在两种情况讨论,否则会造成失误.2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.3.直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件,当截距为0时可用点斜式.【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号132,41.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 ()A.若直线斜率为33B.若A(1,-3),B(1,3),则直线AB的倾斜角为90°C.若直线过点(1,2),且它的倾斜角为45°,则这条直线必过点(3,4)D.若直线的斜率为34【解析】选ABC.对于A,设直线的倾斜角为α(0°≤α<180°),则由题意得tanα=33,所以α对于B,因为A(1,-3),B(1,3),所以直线AB与x轴垂直,则其斜率不存在,故其倾斜角为90°,故B正确;对于C,因为直线过定点(1,2),且斜率为tan45°=1,所以直线的方程为y-2=x-1,即y=x+1,易知4=3+1,故直线必过(3,4),故C正确;对于D,不妨取y=34x,满足直线的斜率为34,但显然该直线y=342.(忽视截距为零的情形致误)过点P(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 ()A.4条 B.2条 C.3条 D.1条【解析】选C.当截距为0时,设直线方程为y=kx,将P(1,2)代入y=kx,求得k=2,故方程为y=2x;当截距不为0时,①截距相等时,设方程为xa+y将P(1,2)代入,即1a+2a=1,解得a=3,故方程为x+②截距互为相反数时,设直线方程为xm-y将P(1,2)代入,即1m-2m=1,解得m=-1,故方程为x-所以符合条件的直线一条是截距为0,一条是截距相等(不为0),一条是截距互为相反数(不为0),共3条.3.(选择性必修第一册P65例5变条件)已知直线l过点(2,-1),且在x轴上的截距为3,则直线l的方程为 ()A.x-y-3=0 B.x-2y+6=0C.2x+y+3=0 D.2x+y-3=0【解析】选A.由题意,直线l过点(3,0)和点(2,-1),所以其斜率为k=-1-02-3=1,直线方程为y=x4.(不明确方向向量与斜率的关系致误)若直线l的倾斜角为2π3,方向向量为e=(-1,a),则实数a的值是 (A.3 B.-3 C.33 D.-【解析】选A.因为直线l的方向向量是e=(-1,a),所以直线l的斜率为k=a-1=-又直线的倾斜角α=2π3所以斜率k=tan2π3=-3=-a,解得a=3【巧记结论·速算】1.经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)·(y2-y1)表示;2.识记几种特殊位置的直线方程(1)x轴:y=0;(2)y轴:x=0;(3)平行于x轴的直线:y=b(b≠0);(4)平行于y轴的直线:x=a(a≠0);(5)过原点的直线:y=kx或x=0.【即时练】1.经过点A(2,5),B(-3,6)的直线在x轴上的截距为________.

【解析】经过两点A(2,5)和B(-3,6)的直线方程为y-65-6=x+32+3,即x+5答案:272.经过点(-5,2)且平行于y轴的直线方程为________.

【解析】因为过点(-5,2)且平行于y轴的直线不存在斜率,所以方程为x+5=0.答案:x+5=0【核心考点·分类突破】考点一直线的倾斜角与斜率[例1](1)如图,在平面直角坐标系中有三条直线l1,l2,l3,其对应的斜率分别为k1,k2,k3,则下列选项正确的是 ()A.k3>k1>k2 B.k1-k2>0C.k3>k2>k1 D.k1·k2<0【解析】选C.由题图可知,k1<0,k2<0,k3>0,且k1<k2.(2)直线xcosα+3y-2=0的倾斜角的范围是 ()A.[-π6,π6] B.[0,C.[0,π6]∪[5π6,π) D.[π6【解析】选C.已知直线方程xcosα+3y-2=0,设直线的倾斜角为θ,故tanθ=-cosα3=-33cosα∈[-33,33],即θ∈[0,π6一题多变[变式1]若例(2)中直线方程改为“xsinα+3y-2=0”,结果如何?【解析】选C.因为直线方程为xsinα+3y-2=0,设直线的倾斜角为θ,故tanθ=-sinα3=-33sinα∈[-33,33],即θ∈[0,π6[变式2]若例(2)中直线方程改为“xsinα+3ycosα-2=0”,则直线倾斜角的范围为________.

【解析】因为直线方程为xsinα+3ycosα-2=0,设直线的倾斜角为θ,当cosα=0时,θ=π2当cosα≠0时,故tanθ=-sinα3cosα=-33tanα∈R,此时θ∈[0,π2)∪(π2答案:[0,π)(3)金榜原创·易错对对碰①已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围为 ()A.[-1,1] B.[1,+∞)C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-1]【解析】选C.如图,由题意可知kPA=4-0-3-1=-1,要使l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).②已知两点M(2,-1),N(5,6),直线l过点P(1,3)且与线段MN相交,则直线l的斜率k的取值范围是 ()A.[-4,34] B.(-∞,-4]∪[3C.[34,4] D.[-3【解析】选A.由P(1,3),N(5,6),则直线PN的斜率kPN=6-35-1=34,由P(1,3),M(2,-1),则直线PM的斜率kPM=3+11-2=-4,由图可知,kPM≤【解题技法】斜率的两种求法(1)定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tanα求斜率.(2)公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据公式k=y2-y1x2-x提醒:在分析直线的倾斜角和斜率的关系时,要注意正切函数k=tanα的单调性,当α取值由0°增大到90°(α≠90°)时,k由0增大到+∞,当α取值由90°(α≠90°)增大到180°(α≠180°)时,k由-∞增大到0(取不到0).【对点训练】1.(2024·南京模拟)已知三点(2,-3),(4,3),(5,k2)在同一条直线上,则实数k的值为 (A.2 B.4 C.8 D.12【解析】选D.由题意,三点中任意两点的直线斜率相等,得3-(-3)4-22.(2024·潍坊模拟)直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的斜率的取值范围为 ()A.(0,1] B.(-∞,1]C.(-2,1] D.[1,+∞)【解析】选B.kl=m2-11-2=1-3.直线2xcosα-y-3=0(α∈π6,π3)的倾斜角的变化范围是A.[π6,π3] B.[π4C.[π4,π2] D.[π4【解析】选B.直线2xcosα-y-3=0的斜率k=2cosα.由于α∈[π6,π3],所以12≤cosα因此k=2cosα∈[1,3].设直线的倾斜角为θ,则有tanθ∈[1,3].由于θ∈[0,π),所以θ∈[π4,π即倾斜角的变化范围是[π4,π3考点二求直线的方程[例2]根据所给条件求直线的方程:(1)过点(2,1)和(-2,3);(2)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为1010(3)倾斜角为π4,与y(4)(一题多法)经过点A(2,6),在x轴上的截距为3.【解析】(1)由两点式得直线方程为y-13即x+2y-4=0.(2)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.设倾斜角为α(0≤α<π,且α≠π2),则sinα=10从而cosα=±31010,则k=tanα=±故所求直线方程为y=±13(x即x+3y+4=0或x-3y+4=0.(3)因为直线的倾斜角为π4k=tanπ4=1,由直线与y轴的交点到原点的距离为4,所以直线在y轴上的截距b=4或b=-4.故所求直线方程为y=x+4或y=x-4(4)方法一:易知直线的斜率存在,设直线方程为y=k(x-3),因为点A(2,6)在直线上,所以k=-6,所以y=-6×(x-3)=18-6x,所以所求直线方程为y=-6x+18.方法二:由于直线过点A(2,6)和点(3,0),则直线的斜率k=6-由直线的点斜式方程得y-0=-6×(x-3)=18-6x,所以所求直线方程为y=-6x+18.【解题技法】直线方程的求法(1)直接法:根据已知条件,求出直线方程的确定条件,选择适当的直线方程的形式,直接写出直线方程.(2)待定系数法:①设出直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式);②根据题设条件列出关于待定系数的方程或方程组;③解方程或方程组得到待定系数;④写出直线方程;⑤验证所得直线方程是否为所求直线方程,如果有遗漏需要补加.提醒:选用点斜式或斜截式时,需讨论直线的斜率是否存在;选用截距式时,需讨论直线是否过原点或垂直于坐标轴.【对点训练】求适合下列条件的直线l的方程:(1)经过点P(1,2),倾斜角α的正弦值为45【解析】(1)由题可知sinα=45,则tanα=±4因为直线l经过点P(1,2),所以直线l的方程为y-2=±43(x即y=±43(x整理得4x-3y+2=0或4x+3y-10=0.求适合下列条件的直线l的方程:(2)经过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距相等;【解析】(2)方法一:①当截距为0时,直线l过点(0,0),(2,3),则直线l的斜率为k=3-02因此直线l的方程为y=32x,即3x-2y=0②当截距不为0时,可设直线l的方程为xa+ya因为直线l过点P(2,3),所以2a+3所以a=5.所以直线l的方程为x+y-5=0.综上可知,直线l的方程为3x-2y=0或x+y-5=0.方法二:由题意可知所求直线的斜率存在,则可设直线方程为y-3=k(x-2),且k≠0.令x=0,得y=-2k+3.令y=0,得x=-3k+2于是-2k+3=-3k+2,解得k=32或k则直线l的方程为y-3=32(x-2)或y-3=-(x-2),即3x-2y=0或x+y-5=0求适合下列条件的直线l的方程:(3)经过两条直线l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且直线的一个方向向量v=(-3,2).【解析】(3)联立x+y所以直线过点(1,1),因为直线的一个方向向量v=(-3,2),所以直线的斜率k=-23则直线的方程为y-1=-23(x即2x+3y-5=0.【加练备选】(多选题)过定点(2,3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线为 ()A.3x-2y=0 B.x+y-5=0C.x-y+1=0 D.x-y-5=0【解析】选ABC.由题意,直线不与坐标轴垂直,设所求直线方程为y=k(x-2)+3,当y=0时,得横截距x=2-3k当x=0时,得纵截距y=3-2k,因为过点(2,3)的直线在两坐标轴上截距的绝对值相等,所以|2-3k|=|3-2k所以2-3k=3-2k或2-3k=2所以k=-1,k=32或k所以直线的方程为x+y-5=0或3x-2y=0或x-y+1=0.考点三直线方程的综合应用【考情提示】直线的方程是每年的必考内容,它时常与函数、不等式、圆锥曲线等知识相结合出现在高考试题中,其中直线与圆锥曲线的交点问题常常作为高考的压轴题.角度1与直线有关的最值问题[例3]过点P(4,1)作直线l,分别交x轴、y轴的正半轴于点A,B.(1)当△AOB的面积最小时,求直线l的方程;(2)当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程.【解析】设直线l:xa+yb=1(a>0,b>0),因为直线l经过点P(4,1),所以4a+(1)因为4a+1b=1≥24a所以ab≥16,S△AOB=12ab当且仅当a=8,b=2时等号成立.所以当a=8,b=2时,△AOB的面积最小,此时直线l的方程为x8+y即x+4y-8=0.【解析】(2)因为4a+1b=1,a>0,所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)(4a+1b)=5+ab当且仅当a=6,b=3时等号成立.所以当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为x6+y3=1,即x+2y角度2由直线方程求参数的值或范围[例4]设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;【解析】(1)若2-a=0,解得a=2,因此直线的方程为3x+y=0,此时l在两坐标轴上的截距同为0,符合题意.若a+1=0,解得a=-1,原方程化为y+3=0,舍去.若a≠-1,2,化为xa-2a+1+ya-2=1,令a-2a+1=l在两坐标轴上的截距同为-2.综上所述,直线l的方程为x+y+2=0或3x+y=0.[例4]设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(2)若l经过第二象限,求实数a的取值范围.【解析】(2)当y=-(a+1)x+a-2不经过第二象限时,-(a+1)所以l经过第二象限时,实数a的取值范围是(-1,+∞).【解题技法】直线综合问题的求解策略(1)求解含有参数的直线过定点问题的方法是分项整理,将含参数的并为一项,不含参数的并为一项,整理成等号右边为零的形式,然后令含参数的项和不含参数的项分别为零,解方程组所得的解即为所求定点.(2)涉及直线在坐标轴上的截距问题(