2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第十章 第一节 随机抽样含答案

11版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第十章第一节随机抽样第一节随机抽样【课程标准】1.知道获取数据的基本途径.2.了解总体、样本、样本量的概念,了解数据的随机性.3.通过实例,了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程,掌握两种简单随机抽样方法:抽签法和随机数法,会计算样本均值和样本方差,了解样本与总体的关系.4.通过实例,了解分层随机抽样的特点和适用范围,了解分层随机抽样的必要性,掌握各层样本量比例分配的方法.结合具体实例,掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差.5.在简单的实际情境中,能根据实际问题的特点,设计恰当的抽样方法解决问题.【考情分析】考点考法:高考命题常以抽样为载体,考查抽样方法.简单随机抽样、分层随机抽样以及分层随机抽样中的抽样数值、均值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算、数据分析【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.总体、个体、样本调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体,组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为个体,在抽样调查中,从总体中抽取的那部分个体称为样本,样本中包含的个体数称为样本容量,简称样本量.2.简单随机抽样抽签法和随机数法是比较常用的两种简单随机抽样的方法.3.总体平均数与样本平均数(1)总体平均数①总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称Y=Y1+Y2②如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数fi(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y=.(2)样本平均数如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn,则称y=y1+y24.分层随机抽样(1)定义:一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.(2)比例分配:在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 ()A.在简单随机抽样中,每个个体被抽到的机会与先后顺序有关B.抽签法和随机数法都是简单随机抽样C.在比例分配的分层随机抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关D.不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率是相同的【解析】选BD.由简单随机抽样、分层随机抽样的概念可知:选项A错误,选项C错误,选项D正确;由抽签法和随机数法的概念可知:选项B正确.2.(必修第二册P189习题6改编)已知数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为5,则数据2x1+1,2x2+1,2x3+1,…,2xn+1的平均数为 ()A.3 B.5 C.10 D.11【解析】选D.每个数据都变成原数据的2倍再加1的形式,所以平均数也变成原来平均数的2倍再加1,即11.3.(必修第二册P189习题5改编)某单位有200名职工,其中女职工有60名,男职工有140名,现要从中抽取30名进行调研座谈,如果用比例分配的分层随机抽样的方法进行抽样,则应抽女职工________名.

【解析】设应抽女职工x名,则60200=x30,解得x答案:94.(不会读数导致错误)假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标,现用随机数法从500支疫苗中抽取50支进行检验,利用随机数表抽取样本时,先将500支疫苗按000,001,…,499进行编号,若从随机数表第7行第7列的数开始向右读,则抽取的第3支疫苗的编号为__________.(下面摘取了利用R统计软件生成的随机数表的第7行至第11行)

844217533157245506887704157767217633502583921206766301637859169555671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954【解析】由题意,从随机数表第7行第7列的数开始向右读,对应的编号依次为533,157,245,506,887,704,157,767,217,…,超出499的和重复的都不符合条件,故符合条件的前三个编号依次是157,245,217,故抽取的第3支疫苗的编号是217.答案:217【核心考点·分类突破】考点一简单随机抽样[例1](1)(多选题)下列抽取样本的方式,是简单随机抽样的是 ()A.从无限多个个体中抽取100个个体作为样本B.盒子里共有80个零件,从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验C.从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检查D.某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛【解析】选BC.A不是简单随机抽样,因为被抽取样本的总体的个体数是无限的,而不是有限的;B是简单随机抽样;C是简单随机抽样,因为“一次性”抽取与“逐个”抽取是等价的;D不是简单随机抽样,因为指定个子最高的5名同学是56名同学中特指的,不具有随机性,不是等可能的抽样.(2)(2023·聊城模拟)国家高度重视青少年视力健康问题,指出要“共同呵护好孩子的眼睛,让他们拥有一个光明的未来”.某校为了调查学生的视力健康状况,决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生,将每名学生从01到50编号,从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始,每次从左向右选取两个数字,则选取的第三个号码为 ()015432876595428753467953258657413369832445977386524435786241A.13 B.24 C.33 D.36【解析】选D.根据随机数表的读取方法,第2行第4列的数为3,每次从左向右选取两个数字,所以第一组数字为32,即为第一个号码;第二组数字58,舍去;第三组数字65,舍去;第四组数字74,舍去;第五组数字13,即为第二个号码;第六组数字36,即为第三个号码,所以选取的第三个号码为36.(3)某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取90名学生进行家庭情况调查,经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查,发现有20名同学上次被抽到过,估计这个学校高一年级的学生人数为 ()A.180 B.400 C.450 D.2000【解析】选C.设这个学校高一年级的学生人数为x,则90x=20100,所以x【解题技法】抽签法与随机数法的适用情况(1)抽签法适用于总体中个数较少的情况,随机数法适用于总体中个数较多的情况.(2)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀.【对点训练】1.有一批计算机,其编号分别为001,002,003,…,112,为了调查这批计算机的质量问题,打算抽取4台入样.现在利用随机数法抽样,在下面随机数表中选第1行第6个数“0”作为开始,向右读,那么抽取的第4台计算机的编号为 ()537970762694292743995519810685019264460720213920776638173256164058587766317005002593054553707814A.072 B.021 C.077 D.058【解析】选B.依次可得到需要的编号是076,068,072,021,故抽取的第4台计算机的编号为021.2.某市在创建文明城市期间,对某小区的居民按分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本进行问卷调查.在这n个个体的样本中,任取1人,抽取到未成年人的概率为0.2,成年人共80人,则n=________(用数字作答).

【解析】由题可得,n·(1-0.2)=80,n=100.答案:100考点二样本的均值[例2](1)某工厂抽取50个机械零件检验其直径大小,得到如表数据:直径(单位:cm)121314频数12344估计这50个零件的直径为__________cm.

【解析】12×12+13×34+14×450=12.84(cm)答案:12.84(2)已知数据x1,x2,x3,…,x200的平均数是6,数据y1,y2,y3,…,y300的平均数是20,则∑xi+∑yA.13 B.14.4 C.15 D.15.4【解析】选B.由已知得∑xi+∑yi500=【解题技法】数据平均数的求法(1)观察所给数据,选择计算公式.(2)代入公式进行计算,注意数据的个数.【对点训练】1.(2020·江苏高考)已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是______.

【解析】由4+2a+(3答案:22.一组5个数据中,前4个数据的平均数是20,全部5个数据的平均数是19,则第5个数据是__________.

【解析】设5个数据分别为a,b,c,d,e,因为前4个数据的平均数是20,所以a+b+c+d4=20,则a+b全部5个数据的平均数是19,所以a+所以a+b+c+d+e=95②,②-①得,e=15.答案:15【加练备选】现有某地一年的GDP(亿元)数据,第一季度GDP为232亿元,第四季度GDP为241亿元,四个季度的GDP逐季度增长,且中位数与平均数相同,则该地一年的GDP为________亿元.

【解析】设第二季度GDP为x亿元,第三季度GDP为y亿元,则232<x<y<241,因为中位数与平均数相同,所以x+y2=232+x+所以该地一年的GDP为232+x+y+241=946(亿元).答案:946考点三抽样比的应用[例3](1)某学校高一年级1800人,高二年级1600人,高三年级1500人,现采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛,则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为 ()A.35,33,30 B.36,32,30C.36,33,29 D.35,32,31【解析】选B.因为高一年级1800人,高二年级1600人,高三年级1500人,所以三个年级的人数所占比例分别为1849,1649,1549,因此,各年级抽取人数分别为98×1849=36,98×16(2)(多选题)杭州亚运会共设40个竞赛大项,其中31个奥运项目,9个非奥运项目.为了调查高中生对各个项目的了解情况,在某高中3000名学生中,按照高一、高二、高三学生人数的比例用分层随机抽样的方法,抽取一个容量为150的样本,所得数据如表:项目高一高二高三只对31个奥运项目全部了解50444540个项目全部了解0110则下列判断正确的是 ()A.该校高一、高二、高三的学生人数比为10∶9∶11B.该校高三学生的人数比高一人数多50C.估计该校高三学生对40个项目全部了解的人数为200D.估计该校学生中对40个项目全部了解的人数不足8%【解析】选ACD.由题表可知,50+44+1+45+10=150,所以该校高一、高二、高三的学生人数比为50∶45∶55,即10∶9∶11,A正确;高三学生人数为3000×55150=1100(人),高一学生人数为3000×50高三学生对40个项目全部了解的人数约为3000×10150该校学生中对40个项目全部了解的人数约为11150≈7.33%,D正确【解题技法】1.按比例分配的分层随机抽样的步骤(1)将总体按一定标准分层.(2)计算各层的个体数与总体数的比,按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本量.(3)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样).2.在比例分配的分层随机抽样中的抽样比抽样比=样本容量总体容量=各层样本容量【对点训练】(多选题)某学校有体育特长生25人,美术特长生35人,音乐特长生40人,用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取40人,则 ()A.抽取的体育特长生为10人B.抽取的美术特长生为15人C.抽取的音乐特长生为16人D.抽取的体育特长生和美术特长生共25人【解析】选AC.抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生分别为2525+35+40×40=10(人),3525+35+40×40=14(人),40【加练备选】某市6月1日起正式实施的《生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”“有害垃圾”“厨余垃圾”和“其他垃圾”四大类.某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况,对辖区内的居民进行比例分配的分层随机抽样调查.已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人,若在老年人中的抽样人数是35,则在青年人中的抽样人数是 ()A.20 B.40 C.60 D.80【解析】选B.由题可知抽取的比例为k=35700=120,故青年人应该抽取的人数为800×1考点四分层抽样样本均值的计算[例4]某高中的高一、高二、高三这三个年级学生的平均身高分别为x,y,z,若按年级采用分层抽样的方法抽取了一个600人的样本,抽到高一、高二、高三的学生人数分别为100,200,300,则估计该高中学生的平均身高为 ()A.16x+13y+12z C.12x+13y+16z 【解析】选A.设该高中的总人数为m,由题意知,高一、高二、高三的学生人数分别为m6,m3,m2,所以估计该高中学生的平均身高为m6·x+【解题技法】分层抽样样本均值的求法在比例分配的分层随机抽样中,如果层数分为两层,第一层的样本量为m,均值为x;第二层的样本量为n,均值为y,则样本的均值为mx【对点训练】在调查某中学的学生身高时,利用比例分配的分层随机抽样的方法抽取男生20人,女生15人,得到了男生身高的均值为170cm,女生身高的均值为165cm,估计该中学所有学生的平均身高为________cm(结果精确到0.1).

【解析】20×170+15×16520+15≈167.9(cm),即该中学所有学生的平均身高约为167.9cm答案:167.9【加练备选】在比例分配的分层随机抽样中,总体共分为2层,第1层的样本量为20,样本平均数为3,第2层的样本量为30,样本平均数为8,则该样本的平均数为________.

【解析】2020+30×3+3020+30答案:6第十章统计与成对数据的统计分析【高考研究·备考导航】【三年考情】角度考查内容课程标准高考真题考题统计随机抽样1.学习数据收集和整理的方法;2.通过解题实例,感悟在实际生活中进行科学决策的必要性和可能性.用样本估计总体1.学习数据直观表示的方法,学习数据统计特征的刻画方法;2.体会统计思维与确定性思维的差异、归纳推理与演绎推理的差异,通过实际操作,积累数据分析的经验.2023年:新高考Ⅰ卷·T92023年:新高考Ⅱ卷·T192022年:新高考Ⅱ卷·T192021年:新高考Ⅰ卷·T92021年:新高考Ⅱ卷·T9变量的相关性与一元线性回归分析1.了解相关系数的统计含义;2.了解一元线性回归模型,并会利用其解决简单的实际问题.列联表与独立性检验了解2×2列联表,并会利用其解决简单的实际问题.2022年:新高考Ⅰ卷·T20命题趋势1.题型设置:常以选择题、解答题的形式出现;2.内容考查:本章高考考查的频率较高.常考查样本频率分布直方图、列联表与独立性检验、变量的相关性与一元线性回归分析;3.能力考查:高考题凸显对统计思维、归纳推理、数学运算能力的考查.【备考策略】根据近3年新高考卷命题特点和规律,复习本章时,要注意以下几个方面:1.全面系统复习,深刻理解知识本质随机抽样分简单随机抽样、分层随机抽样,是数据统计的前提;建立频率分布直方图是对抽取样本数据可视化描述的处理方法,在此基础上进一步计算样本的数字特征;统计方法和统计思想是最切合实际生活的数学体验,也是数学应用的重要体现;成对数据的统计分析主要有变量间的相关关系、一元线性回归模型、独立性检验,这不仅是统计知识的深入应用,也充分体现了统计数据对问题预测、评价等的决定作用.2.熟练掌握解决以下问题的方法和规律(1)简单随机抽样、分层随机抽样的思想和方法;(2)频率分布直方图的制作方法、利用频率分布直方图估计样本的数字特征.(3)利用最小二乘法求经验回归方程,利用回归直线估计变量的取值,利用相关系数判断两个变量相关性的大小.(4)利用统计思想对现实生活中的现象、图表、数据等进行分析和判断.3.重视数学思想方法的应用重视数学运算、数据分析、数学建模在解题中的应用,统计是数学思想方法的重要载体,学习中会经常用到“函数与方程”“分类与整合”“数形结合”“数学建模”等思想.(1)函数与方程思想在回归直线方程的应用中,需要利用函数与方程的思想对相关变量进行估计.(2)分类与整合思想统计中计算中位数时,要分数据个数为偶数和奇数两种情况,含有参数时对数据进行排序要分类与整合.(3)数形结合思想统计中有一类题主要考查读图能力和利用统计图获取信息的能力及处理数据作出决策的能力,充分体现数形结合思想的作用.(4)数学建模思想数学建模思想的实质是将实际问题数学化,进而用数学的方法解决统计在实际问题中的应用,充分体现了数学建模思想的应用.第二节导数与函数的单调性【课程标准】1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).【考情分析】考点考法:高考命题常以函数的导数符号与函数的单调性的关系为主,求函数的单调区间,或已知函数的单调性(单调区间)求函数解析式中的参数范围.核心素养:数学抽象、逻辑推理、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.函数的单调性与导数的关系前提条件结论函数y=f(x)在区间(a,b)上可导f'(x)>0f(x)在区间(a,b)上单调递增f'(x)<0f(x)在区间(a,b)上单调递减f'(x)=0f(x)在区间(a,b)上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步,确定函数的定义域;第2步,求出导数f'(x)的零点;第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是()A.若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f'(x)>0B.若函数y=f(x)在(a,b)内恒有f'(x)≥0,则y=f(x)在(a,b)上一定单调递增C.若函数f(x)在定义域上都有f'(x)>0,则f(x)在定义域上一定单调递增D.如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性【解析】选ABC.A有可能f'(x)=0,如f(x)=x3,它在(-∞,+∞)上单调递增,但f'(x)=3x2≥0.×B若y=f(x)为常数函数,则f'(x)=0,满足条件,但不具备单调性.×C反例,f(x)=-1x,虽然f'(x)=1x2>0,但f(x)=-1x×D如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则此函数f(x)在这个区间内为常数函数,则函数f(x)在这个区间内没有单调性.√2.(选修二P97T2·变形式)函数f(x)=x3+2x2-4x的单调递增区间是(-∞,-2),(23,+∞)【解析】由f'(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2)>0,得x<-2或x>23故f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(23,+∞)3.(2022·浙江高考节选)设函数f(x)=e2x+lnx(x>0).则f(x)的单调递减区间为(0,e2),单调递增区间为(【解析】f'(x)=-e2x2+1当0<x<e2时,f'(x当x>e2时,f'(x)>0故f(x)的单调递减区间为(0,e2),单调递增区间为(e24.(单调性与充要条件的关系把握不准)若函数f(x)=sinx+kx在(0,π)上单调递增,则实数k的取值范围为[1,+∞).

【解析】因为f'(x)=cosx+k≥0,所以k≥-cosx,x∈(0,π)恒成立.当x∈(0,π)时,-1<-cosx<1,所以k≥1.【巧记结论·速算】1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则x∈(a,b)时,f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则x∈(a,b)时,f'(x)≤0恒成立.2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则x∈(a,b)时,f'(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则x∈(a,b)时,f'(x)<0有解.【即时练】1.若函数h(x)=lnx-12ax2-2x在[1,4]上存在单调递减区间,则实数a的取值范围为(A.[-716,+∞) B.C.[-1,+∞) D.(-716【解析】选B.因为h(x)在[1,4]上存在单调递减区间,由结论2,h'(x)=1x-ax所以当x∈[1,4]时,a>1x2-而当x∈[1,4]时,1x2-2x=(1(1x2-2x)min所以a>-1,所以a的取值范围是(-1,+∞).2.若函数f(x)=13x3-32x2+ax+4的单调递减区间为[-1,4],则实数a的值为【解析】f'(x)=x2-3x+a,且f(x)的单调递减区间为[-1,4],由结论1,f'(x)=x2-3x+a≤0的解集为[-1,4],所以-1,4是方程f'(x)=0的两根,则a=(-1)×4=-4.【核心考点·分类突破】考点一不含参数的函数单调性[例1](1)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是()A.f(x)=sin2x B.f(x)=xexC.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+lnx【解析】选B.对于A,f'(x)=2cos2x,f'(π3对于B,f'(x)=(x+1)ex>0,符合题意;对于C,f'(x)=3x2-1,f'(13)=-2对于D,f'(x)=-1+1x,f'(2)=-12(2)求下列函数的单调区间.①f(x)=4x2+1x;②f(x)=x③f(x)=sinx2+cosx;④f(x)=(x-1)ex-【解析】①定义域为{x|x≠0},f'(x)=8x-1x令f'(x)>0,得8x-1x2>0,即x3>所以x>12.令f'(x)<0,得x<12且x所以f(x)的单调递增区间为(12单调递减区间为(-∞,0),(0,12)②定义域为(0,1)∪(1,+∞).f'(x)=lnx-x由f'(x)>0,解得x>e.由f'(x)<0,解得0<x<e,且x≠1.所以f(x)的单调递增区间为(e,+∞),f(x)的单调递减区间为(0,1),(1,e).③f'(x)=(2+cosx)令f'(x)>0,得cosx>-12,即2kπ-2π3<x<2kπ+2π3(k令f'(x)<0,得cosx<-12即2kπ+2π3<x<2kπ+4π3(k∈Z因此f(x)的单调递增区间为(2kπ-2π3,2kπ+2π3)(k∈Z),f(x)的单调递减区间为(2kπ+2π3,2kπ+4π3)(k④由f(x)=(x-1)ex-x2,得f'(x)=ex+(x-1)ex-2x=xex-2x=x(ex-2),令f'(x)=0,得x1=0,x2=ln2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化如表:x(-∞,0)0(0,ln2)ln2(ln2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表可知,函数f(x)的单调递减区间为(0,ln2),单调递增区间为(-∞,0),(ln2,+∞).【解题技法】单调区间的求法(1)求函数的单调区间注意先求定义域.(2)使f'(x)>0的区间为f(x)的单调递增区间,使f'(x)<0的区间为f(x)的单调递减区间.(3)函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或“和”隔开.【对点训练】1.函数f(x)=x2-2lnx的单调递减区间是()A.(0,1) B.(1,+∞)C.(-∞,1) D.(-1,1)【解析】选A.因为f'(x)=2x-2x=2(x令f'(x)=0,得x=1,所以当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以单调递减区间为(0,1).2.已知函数f(x)=x-lnx-exx.判断函数f(x【解析】因为f(x)=x-lnx-ex所以f'(x)=1-1x-=(x-1)(令g(x)=x-ex,则g'(x)=1-ex,可得g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以g(x)<g(0)=-1<0.所以当x∈(0,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.考点二含有参数的函数的单调性[例2]已知函数g(x)=lnx+ax2-(2a+1)x.若a>0,试讨论函数g(x)的单调性.【解析】因为g(x)=lnx+ax2-(2a+1)x,所以g'(x)=2ax2由题意知函数g(x)的定义域为(0,+∞),若12a<1,即a>由g'(x)>0得x>1或0<x<12由g'(x)<0得12a<所以函数g(x)在(0,12a),(1,+∞)上单调递增,在(若12a>1,即0<a<由g'(x)>0得x>12a或0<由g'(x)<0得1<x<12所以函数g(x)在(0,1),(12a,+∞)上单调递增,在(1,若12a=1,即a=12,则在(0,+∞)上恒有g'所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.综上可得,当0<a<12时,函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,12a当a=12时,函数g(x当a>12时,函数g(x)在(0,12a)上单调递增,在(【解题技法】利用分类讨论思想解决含参数函数单调性问题利用导数求含参数函数的单调区间时,基本策略是分类讨论,注意以下几点:(1)注意确定函数的定义域,在定义域的限制条件下研究单调区间.(2)注意观察f'(x)的解析式(或其中的某一部分、某个因式等)的取值是否恒为正(或恒为负),这往往是分类讨论的出发点.(3)注意结合解含参数不等式中分类讨论的一些常用方法,例如:对二次项系数正负的讨论,对判别式Δ的讨论,对根的大小比较的讨论等.(4)分类讨论要做到不重不漏,同时还要注意对结果进行综述.【对点训练】已知函数f(x)=x-2x+a(2-lnx),a>0,讨论f(x)的单调性【解析】由题知,f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=1+2x2-ax=x2-ax+2x2.设g(x)=x2-ax+2,则二次方程g①当Δ<0,即0<a<22时,对一切x>0都有f'(x)>0.此时f(x)在(0,+∞)上单调递增.②当Δ=0,即a=22时,仅对x=2有f'(x)=0,对其余的x>0都有f'(x)>0.此时f(x)也在(0,+∞)上单调递增.③当Δ>0,即a>22时,方程g(x)=0有两个不同的实根x1=a-a2-82,x2=a+a2-82,且0<x1<x2x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增此时f(x)在(0,a-a2-82)上单调递增,在(a考点三函数单调性的应用角度1比较大小[例3](1)已知函数f(x)=lnx-xex,设a=f(32),b=f(2),c=f(7A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b【解析】选C.易知f'(x)=ex+x又x∈(0,+∞)时,ex>1,(x-12)2-14≥-所以f'(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,故f(73)>f(2)>f(32),即c>b(2)(2023·衡阳模拟)已知函数f(x)=x2-cosx,则f(35),f(0),f(-12)的大小关系为f(0)<f(-12)<f(3【解析】因为f(x)的定义域为R,且函数f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cosx=f(x),所以f(x)为偶函数,所以f(12)=f(-12),f'(x)=2x+sin当0<x<π2时,f'(x)=2x+sinx所以函数在(0,π2所以f(0)<f(12)<f(3即f(0)<f(-12)<f(35角度2解不等式[例4](1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=20,且f(x)的导函数f'(x)满足f'(x)>6x2+2,则不等式f(x)>2x3+2x的解集为()A.{x|x>-2} B.{x|x>2}C.{x|x<2} D.{x|x<-2或x>2}【解析】选B.令g(x)=f(x)-2x3-2x,则g'(x)=f'(x)-6x2-2>0,所以g(x)在R上单调递增.因为g(2)=f(2)-2×23-2×2=0,故原不等式等价于g(x)>g(2),所以x>2,所以不等式f(x)>2x3+2x的解集为{x|x>2}.(2)已知函数f(x)=ex-e-x-2x+1,则不等式f(2x-3)>1的解集为(32,+∞)【解析】f(x)=ex-e-x-2x+1,定义域为R,f'(x)=ex+e-x-2≥2ex当且仅当x=0时取“=”,所以f(x)在R上单调递增,又f(0)=1,所以原不等式可化为f(2x-3)>f(0),即2x-3>0,解得x>32所以原不等式的解集为(32,+∞)角度3根据函数的单调性求参数的范围[例5](1)金榜原创·易错对对碰已知g(x)=2x+lnx-ax①若函数g(x)在区间[1,2]内单调递增,则实数a的取值范围为[-3,+∞).

②若函数g(x)在区间[1,2]上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为(-10,+∞).

【解析】①g'(x)=2+1x+ax2(所以g'(x)≥0在[1,2]上恒成立,即2+1x+a所以a≥-2x2-x在[1,2]上恒成立,所以a≥(-2x2-x)max,x∈[1,2],(-2x2-x)max=-3,所以a≥-3.所以实数a的取值范围是[-3,+∞).②g(x)在[1,2]上存在单调递增区间,则g'(x)>0在[1,2]上有解,即a