新教材苏教版必修第二册1 3 . 2 基本图形位置关系

第13章立体几何初步

13.2基本图形位置关系

13.2.3直线与平面的位置关系

第3课时距离、直线与平面所成的角

基础过关练

题组一距离问题

1.如图，在长方体ABCLhARCQ中，已知月庐4,小2,能=3,则点8到上底面A、BCD、的

距离为（）

V2

2.（2020江苏宜兴官林中学高一阶段检测）已知平面a外两点//到平面a的距

离分别是2和4,则48的中点尸到平面a的距离是（）

或1

3.（2021江苏徐州第三中学高一月考）在长方体力比D48G〃中，也V分别为CRAB

的中点,4庐4,则"V到平面切筋方的距离为.

4.如图，在长方体ABCD~A、BCD,中：

⑴求证：4/〃平面BB、D、D,

（2）若4於4,力分3,求AtA到平面做〃〃的距离.深度解析

题组二直线与平面所成的角

5.下列说法正确的是（的）

A.平面的斜线与平面所成的角J的取值范围是。<90°

B.直线与平面所成的角a的取值范围是0°<aW90°

C.若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行

D.若两条直线互相平行，则这两条直线与同一个平面所成的角相等

6.（2021江苏江阴第一中学高一期中）已知空间中不过同一点的两条直线见〃及平

面a,则“，〃与平面a所成的角相同”是“加〃〃”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.如图所示，在正方体/式》48K〃中，直线48与平面缪所成的角是（）

8.（2021江苏海门中学高一期中）如图，在正方体/式》45。〃中与平面44c所

成角的余弦值是（）

卜.丁当常冷

9.（2021山东临清第一中学高一期中）如图,四棱锥尸四切中，底面四边形/aP为

菱形,N的竹，△业户为等边三角形.

⑴求证做

（2）若4庐2,屿声,求直线以与平面46⑦所成的角.

深度解析

/?

能力提升练

题组一距离问题

1.侈选）（2021福建福州高二期末,"）如图，在正方体ABCD~4BCD,中M疗,0分别

是所在棱的中点，则下列结论正确的是（）

A.点G,〃到平面月肺的距离相等

B.PN与Q"为异面直线

C./4游90°

D.平面刃印截该正方体的截面为正六边形

2.（2020湖南株洲二中高三一模,"）如图，直角梯形/四中，/

AB信90：CD=2,AB=Bg,E是切的中点，将庞沿力后所在直线翻折成四棱锥

4£细则点。到平面4如'距离的最大值为（）

AB.—C./

423

3.（2021江苏姜堰中学高一期中,便）如图所示，四是。。的直径倒_L平面4BC,C为

圆周上一点,4?=5cm,4^2cm,则8到平面均。的距离为

切

4.（2020江苏张家港塘桥高级中学高一阶段测试,*）已知四边形/版是边长为4

的正方形,£/分别是AB,AD的中点,GC垂直于四边形ABCD所在的平面，且仇＞2,则点

夕到平面EFG的距离为,深度解析

5.（2020江苏新海高级中学高一下期中,*）如图，在四棱锥丹力四中，为，平面

ADCB,ADLAB,AB//CD,AB=AD=A*CD=2,E为%的中点.

⑴求证:8匹平面PCD,

（2）求直线4?到平面故?的距离.

题组二直线与平面所成的角

6.侈选）（"）如图,四棱锥a力四的底面为正方形,底面力阅9,则下列结论中正

确的是（）

A.ACLSB

B.4?〃平面SCD

C.SA与平面£然所成的角等于SC与平面S切所成的角

D.47与SC所成的角等于DC与SA所成的角

7.（2020浙江宁波镇海中学高二期中,*）如图，线段18在平面a内，线段线

段位小科且仍=7,力年劭=24,徵=25,则直线舞与平面a所成角的正弦值为

12V3B-1H3C.元7D.1-2

,25

8.（2020江苏徐州第一中学高一阶段测试,*）如图，在正方体ABCD~A\BCD,.中，点0

为线段M的中点，若点P在线段3上，直线。户与平面4切所成角的大小为a,则

sina的最小值为

AV3DV6r2V2nV2

n.-b.—C.——U.—

3336

9.（2021江苏高邮中学高一期中,"）如图，在四棱锥AABCD中，底面ABCD为梯形,

分别是/〃，分的中点,/〃〃况;止於徵=如1,%=2,力工平面ABD.

（1）求证:外〃平面OCM,

（2）求6?与平面为〃所成角的余弦值.

答案全解全析

第13章立体几何初步

13.2基本图形位置关系

13.2.3直线与平面的位置关系

第3课时距离、直线与平面所成的角

基础过关练

1.D•.•即1.平面

:.BB\的长度为点夕到平面ABC\D\的距离，

故点3到上底面46C〃的距离为3.故选D.

2.C若48在a同侧,如图①，贝lj尸到a的距离为3；

若48在a异侧,如图②，则。到a的距离为PO'-OO'=3-2=\.

故46的中点〃到平面。的距离为3或1.

3.答案2

解析连接阅，易知脉〃阳,

BCu平面功。凡助怛平面瓜%及；./小〃平面BCCB.

.，断与平面8CG5的距离等于A，到平面8CG6的距离,

又N到平面8阳5的距离为N哈A定2,

...历V到平面6(%台的距离为2.

4.解析⑴证明:在长方体ABCD~A\BCD,中,/4〃郎,

又BBu平面BADRAAg平面BBM

所以44〃平面

(2)由(1)知//〃平面BBM

则直线44上任意一点到平面做〃。的距离都相等.

如图，过点/作被交劭于H,

易知能，平面ABCD,

因为4fc平面ABCD,

所以医」

因为BB\CBD=B,

所以月儿L平面BB\D、D,

即/〃的长为直线AJ到平面65〃〃的距离.

在△4川中,4户4,4氏3,

则B25.

由等面积法得力庐甯=祟考，

所以AA到平面能〃。的距离为差

解题模板

当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离都相等,都是线面距离.所以求

线面距离的关键是选准恰当的点，转化为点面距离.

5.DA中,平面的斜线与平面所成的角〜的取值范围是0°<"90°；

B中,直线与平面所成的角a的取值范围为0°W。W90°；

C中，这两条直线可能平行,也可能相交或异面;D中说法正确.

易错警示

注意几类角的范围:①异面直线所成的角9的范围是0°<9W90°;②直线与平面

所成的角a的范围是0°WaW90°；③斜线与平面所成的角£的范围是

0°<£<90°.

6.B如图，当加，〃与平面。所成的角相同，即N1=N2时，加，〃不平行；

当加〃A时典〃与平面。所成的角相同.

故选B.

7.A易知44_L平面力"的为46与平面/比7?所成的角，易得N4的=45°.

8.A如图,连接与〃，交4G于。，则

在正方体ABCD-A^CA中,/14_L平面平面A、BCR,

：.AAyLBxDx.

,.34n4G=4,44,4Gu平面A44,

.•.A〃_L平面AAtCh

...N8M。是直线48与平面A4c所成的角，此角大小为45°,余弦值为争

故选A.

9.解析⑴证明:取力〃的中点£连接BE,PE,BD.

一

R

因为四边形ABCD为菱形，且N的片，

所以△/应为等边三角形，

所以应1_L4Z

因为△及1〃为等边三角形，所以PEVAD.

因为此t平面PBE,BEu平面如£且PECB行E,

所以/〃，平面PBE.

又因为如u平面PBE而以ADLPB.

⑵因为△为〃，△为。为等边三角形，且边长为2,所以P&B&瓜

又PB=&，所以PE+B抬PE,

所以小」必

因为PE1AD,ADCBE=E,

所以在工平面ABCD,

所以/阳£为直线阳与平面力犯9所成的角.

在直角中，陷应；

而以/PB巴,

故直线必与平面4?切所成的角为也

解题模板

求直线与平面所成的角的关键是寻找过斜线上一点与平面垂直的垂线，垂足与斜足

的连线即为直线在平面内的射影,斜线与其在平面内的射影所成的角即为直线与平

面所成的角.

能力提升练

1.ACD对于选项A,设与平面得处所成的角为。，由G沪几区可得

G施in的in。，即点G,〃到平面必仰的距离相等，故A正确;连接NQ,

对于选项B,连接分别是所在棱的中点，所以。。〃上加四人夫收四点共面万斤

以PN与QM共面，故B不正确；

对于选项C,设正方体的棱长为2,

则很忙企/沪2企,A沪J4N2+41M2=五+1+4=n，所以成+地=4",所以沪90°，故

C正确；

对于选项D,取％的中点£,%的中点£连接PF,FE,MEMACMMCD^\PF//AC

〃4G〃QM,ME//D、C"A、BH忱所以N,P,F,E,M,0共面,则平面7W截该正方体的截面

为正六边形，故D正确.

故选ACD.

2.B由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥〃中，底面力笈力是边长为1的

正方形，侧面D'EA中,〃'反L/IE且D'后A占1.

■:AE上D'E,AELCE,D'ECC&E,

.・“员1平面D'CE.

作方于点可助归_48于点“连接D'N,

则由4匹平面D'CE,D'代平面D'CE,

可得D'MLAE,

'："AA&E,〃'机1_平面AECB.

又/6u平面AECB,J.D'MLAB.

.,"夕，平面D'MN.

在中，作，如JL〃W于点〃

则易知,恒平面ABD).

又由题意可得窃〃平面ABD',

的长即为点C到平面48。'的距离.

在Rt/\D'MN中,D'M1MN,MN=1,

设〃'沪X,则0〈辰〃'月1,

由D'M・陶的。W•物/可得A=4T懑♦MH,

:,册X二1〈:当x=l时等号成立，此时〃'反L平面AECB.

综上可得点。到平面4切'距离的最大值为苧.

3.答案V2icm

解析因为阳，平面ABC,BCu平面/式;所以PALBC,

又由/9是0。的直径＜为圆周上一点，可得力入比；

因为必且AC,PAa平面PAC,

所以比工平面PAC,

所以比的长为点6到平面必。的距离.

在直角△/回中，初=5cm,4年2cm,可得BC=y/AB2-AC2=y/Ti(cm).

4.答案等

解析如图，连接EG,FG,EF,BD,AC,

I)c

设硒物分别交〃'于点”0,连接GH.

,：四边形48⑶是正方形,分别是4?,49的中点，

:.EF〃BD,H为力。的中点.

•.•丘平面EFG,Bm平面EFG,

...劭〃平面EFG.

.•.点8到平面镇G的距离等于直线划到平面⑸珀的距离.

过点〃作垂足为K,

'：EF//BD,ACLBD,：.EFIAC.

易证G2GE,

又〃为用的中点,GHLEF.

'：GHCAC=H,：.EFL平面肱

：Ofc平面GHC,；.0KLEF.

,：0K工GH,且GHCEQH,GH,EFu平面GEF,

..."平面GEF.

.♦.好的长度即为4份到平面笛6的距离.

•.•正方形力版的边长为4,

，力<>4我，给我，心3企，

在RSHCG中，用=J(3⑸2+22=值,

易诋4HK84HCG,

...以当滑=甯=察，即点夕到平面跖c的距离为察.

nGVZZ1111

解题模板

求点到平面的距离的关键是找到符合题意的三角形，然后在三角形中根据三角形的

边角关系求出距离.

5.解析⑴证明:取外的中点£连接的母：

因为£'为星的中点，

所以鳍是〃的中位线，

所以EF〃CD旦EP^CD.

又ABHCDgA*CD,

所以EF"AB旦E户AB.

所以四边形/应F是平行四边形，

所以的〃AF.

因为AD=AP,F为功的中点，

所以也

因为ADVAB,AB//2所以ADVCD.

因为阳，平面ADCB,CD^平面ADCB,

所以必_LCZZ

又A9AEJ=4所以徵，平面PAD.

因为"t平面PAD,所以CDLAF.

又PDC徵=〃，所以4U平面PCD.

又旗〃花所以8瓦L平面PCD.

(2)因为AB//CD,CDa平面PCD,ABt平面PCD,所以48〃平面PCD.

所以直线48到平面户圈的距离等于点A到平面的距离.

由⑴得加U平面产切，则小的长等于点A到平面尸切的距离.

在中,4?=力62,

所以AF—PD-XV22+22=V2.

故点4到平面修的距离为四，

即直线4?到平面尸⑦的距离为亚

6.ABCA正确，因为幼，平面ABCD,ACu平面ABCD,所以ACLSD.因为四边形ABCD

为正方形，所以/人故，因为BDCS庐D,BD,S2平面飒所以力入平面SBD,因为SB

u平面SBD,所以ACLSB.

B正确，因为AB〃CD,Cg平面5以力用平面所以48〃平面SCD.

C正确，设〃'与8〃的交点为0,连接S。,如图，由dC_L平面懒得必与平面皿所

成的角为N/SaS。与平面S切所成的角为NCS0,易知NAS3NCS。,故SA与平面

5切所成的角等于SC与平面S必所成的角.

D不正确,48与SC所成的角是NSC跳或其补角），而如与%所成的角是/留以或其

补角），易知NSQ梃N弘8.故选ABC.

7.D如图，作比工垂足为£连接以能

■:ABua,BEua,

：.DELAB,DELBE,

又BDLAB,BDCD拄D,BD,DEu平面BDE,

.•.4?，平面BDE.

•庞t平面BDE,：.ABI.BE.

a,."c〃/即4C〃,£共面，作EF"CD灰47于£则四边形6W'是平行四

边形，，上。25.

'：ACX.a,AEua,

.../d七即/侬是直线砥与平面a所成的角.

设膜力，在Rt△月鳍中，

252=242-庐7之+(24-牙，解得力=12,

."尸