山东省泰安市泰山国际学校2025届高三数学10月月考试题含解析

PAGE15-山东省泰安市泰山国际学校2025届高三数学10月月考试题（含解析）留意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.已知全集，集合，集合，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】∵全集U={1，2，3，4，5}，集合，∴，，则.故选：C.2.已知集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算，再计算交集得到答案.【详解】，，则.故选：C.【点睛】本题考查了解指数不等式，交集运算，属于简洁题.3.下列函数中是偶函数，且在区间(0，+)上是减函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据函数表达式，推断f(x)和f(-x)的关系，得到奇偶性，再依次推断单调性即可得到结果.【详解】A.,,函数是偶函数，在上是增函数，故不正确；B.,是偶函数，，在区间上是减函数，故正确；C.，，是奇函数，故不正确；D.，，是偶函数，但是在上是增函数，故不正确；故答案为B.【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性和单调性，函数奇偶性的推断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再依据定义域验证和的关系，函数的单调性，一般小题干脆推断函数在所给区间内是否连续，接着再推断当x变大时y的改变趋势，从而得到单调性.4.已知奇函数在区间上是增函数，且最大值为，最小值为，则在区间上的最大值、最小值分别是()A. B. C. D.不确定【答案】A【解析】【分析】依据奇函数得性质可确定结果.【详解】因为奇函数关于原点对称，所以当在区间上是增函数，且最大值为，最小值为时,在区间上的最大值、最小值分别是,选A.【点睛】本题考查利用奇函数性质求最值,考查基本分析求解实力,属基础题.5.已知集合A=，B=，若“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】化简两个集合，分别探讨充分性和必要性，可选出答案.【详解】由题意，集合，充分性：若，则，满意，即“”是“”的充分条件；必要性：若，①集合，，此时符合；②集合，此时，解得.故时，，即“”不是“”的必要条件.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件，考查不等式的解法，考查集合的包含关系，考查学生的计算实力与逻辑推理实力，属于基础题.6.命题“，”的否定为（）A.“，” B.“，”C.“，” D.“，”【答案】A【解析】【分析】干脆利用全称命题的否定为特称命题得到答案.【详解】全称命题的否定为特称命题，故命题“，”的否定为，.故选：A.【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于简洁题.7.已知实数均为正数，满意，，则的最小值是A.10 B.9 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求得，则，绽开后再利用基本不等式可求得的最小值．【详解】，，，，当且仅当时，取等号．则，当且仅当时，且，时，的最小值为9，故选B．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，肯定要正确理解和驾驭“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要推断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最终肯定要验证等号能否成立（主要留意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.8.函数是偶函数，且函数的图象关于点成中心对称，当时，，则()A. B. C.0 D.2【答案】D【解析】【分析】由是偶函数以及图象关于点成中心对称，可得到个关于的等式，将两个等式联立化简，可证明是个周期函数，即可计算的值.【详解】依据题意，函数是偶函数，则函数的对称轴为，则有，又由函数的图象关于点成中心对称，则，则有，即，变形可得，则函数是周期为8的周期函数，；故选D．【点睛】本题考查函数的对称性：（1）若，则的对称轴是：；（2）若，则的对称中心是.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求）9.下列说法正确的是（）A.若a>b，c>d，则a-c>b-d B.若，则a>bC.若，则 D.若，则【答案】BC【解析】【分析】取特别值解除AD，利用不等式性质推断BC正确，得到答案.【详解】取，，则，A错误；，，故，则，B正确；，故，故，C正确；取，不成立，D错误.故选：BC.【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生的推断实力，取特别值解除是解题的关键.10.已知函数满意，且是奇函数，则下列说法正确是（）A.是奇函数 B.是周期函数C. D.是奇函数【答案】BCD【解析】【分析】依据奇函数和周期函数的性质进行推断.【详解】,关于点对称，令,有，且是由向左平移1个单位得到，关于对称，所以是奇函数；又是奇函数，所以关于对称，所以则,所以,即是以4为一个周期的函数，综上，选项BCD正确，A错误.故选：BCD.【点睛】本题考查周期函数和奇函数的性质，属于基础题.11.定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完备区间”，另外，定义区间的“复区间长度”为，已知函数，则（）A.是一个“完备区间”B.是的一个“完备区间”C.的全部“完备区间”的“复区间长度”的和为D.的全部“完备区间”的“复区间长度”的和为【答案】AC【解析】【分析】依据定义，当时求得的值域，即可推断A；对于B，结合函数值域特点即可推断；对于C、D，探讨与两种状况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可推断选项.【详解】对于A，当时，，则其值域为，满意定义域与值域的范围相同，因而满意“完备区间”定义，所以A正确；对于B，因为函数，所以其值域为，而，所以不存在定义域与值域范围相同状况，所以B错误；对于C，由定义域为，可知，当时，，此时，所以在内单调递减，则满意，化简可得，即，所以或，解得（舍）或，由解得或（舍），所以，经检验满意原方程组，所以此时完备区间为，则“复区间长度”为；当时，①若，则，此时.当在的值域为，则，因为，所以，即满意，解得，（舍）.所以此时完备区间为，则“复区间长度”为；②若，则，，此时在内单调递增，若的值域为，则，则为方程的两个不等式实数根，解得，，所以，与冲突，所以此时不存在完备区间.综上可知，函数的“复区间长度”的和为，所以C正确，D错误；故选：AC.【点睛】本题考查了函数新定义综合应用，由函数单调性推断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类探讨思想的综合应用，属于难题.12.已知函数，若直线与交于三个不同的点（其中），则的可能值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】BC【解析】【分析】依据导数的几何意义求出曲线在时切线的斜率，然后依据题意分别求出的取值范围，进而选出正确答案.【详解】在时，，，设切点的坐标为：，，因此有，所以切线方程为：，当该切线过原点时，，所以切点的坐标为：，因为直线与交于三个不同点，所以有，当切线与直线相交时，解方程组：，因此有，于是有，所以，明显选项BC符合，故选：BC【点睛】本题考查好已知两曲线交点的个数求参数的到值范围，考查了导数的几何意义，考查了数学运算实力.第II卷（非选择题)三、填空题13.方程的解是_____________.【答案】【解析】【分析】化简方程得到，设，解方程考虑对数函数定义域得到答案.【详解】，即，，即，设，，，，即，则，解得或（舍去），即，.故答案为：.【点睛】本题考查了解对数，指数方程，意在考查学生的计算实力和转化实力，忽视定义域是简洁发生的错误.14.已知定义在上的奇函数，若，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】先依据奇函数求出的值，然后分析单调性并由函数值之间的关系转变为自变量之间的关系，最终求出的范围.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，则；又因为与在上递增，所以由可得：，故，即.【点睛】（1）奇函数在处有定义时，必定有；（2）通过函数的单调性，可以将函数值之间的关系转为自变量之间的关系（留意定义域），从而完成对自变量范围的求解.15.当时，恒成立，求实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】变换得到，再利用均值不等式计算最值得到答案.【详解】，则，，故，当时等号成立.故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了二次不等式恒成立问题，意在考查学生的计算实力和转化实力，参数分别结合均值不等式是解题的关键.16.给出下列结论：①；②，y的值域是；③函数的图像过定点；④若恒成立，则的取值范围是；其中正确的序号是__________.【答案】③【解析】【分析】依次推断每个选项：计算知①错误；取得到②错误，带入数据计算知③正确，，④错误，得到答案.【详解】，①错误；取，，②错误；当时，，③正确；，则，④错误.故答案为：③【点睛】本题考查了指数幂的计算，二次函数值域，指数函数过定点问题，解对数不等式，意在考查学生对于函数学问的综合应用实力，忽视定义域是简洁发生的错误.四、解答题17.已知集合，.当时，求实数a的取值范围.【答案】【解析】【分析】先解一元二次不等式求得集合，对对应的一元二次不等式的解集分为空集和不是空集两种状况，结合二次函数零点分布以及子集的学问列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】依题意可知当时，，即，得.当时，设，则.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式和对应二次函数的关系，考查二次函数零点分布问题，考查集合子集的概念和学问的运用，考查分类探讨的数学思想方法，属于中档题.18.探讨函数(a>0)在的单调性并证明.【答案】答案见解析【解析】【分析】依据定义法证明函数单调性,即在函数的定义域内任取,且,可通过作差法比较和大小,即可得到单调性【详解】在函数的定义域内任取,且则故故在上是单调增函数.【点睛】本题考查了用定义法证明函数单调性.在用定义法证明函数单调时要留意在所给定义内要任取两个自变量,化简表达式,时单调递增,时单调递减.19.求下列最值：（1）当时，求函数的最大值；（2）设求函数的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）变换，再利用均值不等式计算得到答案.（2）变换，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1），则，，当，即时等号成立.（2），当，即时等号成立.【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，意在考查学生的转化实力，合理变形是解题的关键.20.已知定义域为的函数，是奇函数.（1）求，的值；（2）若对随意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先由求出，然后由求出（2）由得在上为减函数，然后将不等式化为即可.【详解】（1）因为是上的奇函数，所以，即，解得.从而有.又由知，解得.经检验，当时，，满意题意（2）由（1）知，由上式易知在上为减函数，又因为是奇函数，从而不等式等价于.因为是上的减函数，由上式推得.即对一切有，从而，解得.【点睛】本题主要考查的是利用函数的奇偶性和单调性解不等式，较为典型.21.已知函数.（1）若，试求函数的最小值；（2）对于随意的，不等式成立，试求a的取值范围.【答案】（1）最小值为；（2）.【解析】【分析】（1）由．利用基本不等式即可求得函数的最小值；（2）由题意可得不等式成立”只要“在恒成立”．不妨设，则只要在[0，2]恒成立．结合二次函数的图象列出不等式解得即可．【详解】解：（1）依题意得.因为x>0，所以.当且仅当，即时，等号成立.所以.故当时，的最小值为.（2）因为，所以要使得“随意的，不等式成立”，只要“在上恒成立”.不妨设，则只要在上恒成立.所以即解得.所以a的取值范围是.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，以及恒成立问题等，考查学生的运算求解实力，属于中档题．22.若定义在R上的函数f(x)同时满意下列三个条件：①对随意实数