高中数学同步导学-(221)导数及其应用

1.1变化率与导数1.2导数的计算

(一)基础知识梳理：

1.导数的定义：函数y=/(x)在/处的瞬时变化率lim包称为函数y=/。)在》=/处的导数。

Ax

/(%+Ar)-/(%)

记作y,=/(/)=Jim,

X=X。Ax

2.导数的几何意义：函数y=f(x)在/处的导数是曲线y=/(x)上点(%,/(%))处的切线的斜率。

3.求曲线y=/(x)在切点(Xo，/(x0))处的切线方程的的一般步骤是：

(1)求函数y=/(x)的导数//(X)；(2)求切线的斜率&=/'(%)；(3)写出切线的方程

4.常用的求导公式：C'=O(C为常数)；(fl=〃x"T,〃eN+；(sinx)'=cosx

v

(cosx)=-sinx；(/)-e';(«')=aIna；(Inx)=—;(logax)--!—

xx\na

f

公式(心:内刀的特例：①⑻/二.②6).③(4)'=.

5.求导法则：⑴fw(x)±v(x)]=w(x)±v(x)(2)[w(x)v(x)]=u(x)v(x)+u(x)v(x)

(3)[史2].="(x)u(x)—“(x)》(x)-0⑷[c•/*)]/=夕⑺；

V(x)V*2(x)

(5)复合函数的求导法则：若y=/(〃),〃=g(x),则旷=_______________.

X

6.解与切线有关的问题必须考虑的三个条件：

(1)切点在曲线上；(2)切点在切线上；(3)切点的导数等于切线的斜率。

(二)例题分析:

cinr1TT

例1.(2011湖南文)曲线)=——-----上在点M(2,0)处的切线的斜率为)

sinx+cosx24

1「V2D.显

B.一c.------

2222

例2.(2009江西理)设函数/(x)=g(x)+/，曲线y=g(x)在点(1,g(D)处的切线方程为y=2x+1,

则曲线y=/(x)在点(1,7(1))处切线的斜率为()

，1c1

A.4B.——C.2D.——

42

例3.(2012辽宁理)设f(x)=ln(x+1)+«TT+ar+双wR,a,b为常数)，曲线y=/(x)与直

3

线y=—x在(0,0)点相切。(I)求a,6的值。

2

(三)基础训练：

1.(2011江西理)若/。)=/一2》一410%,则尸(幻＞0的解集为()

A.(0,+oo)B.(-l,0)U(2,+8)C.(2,+oo)D.(-1,0)

X

2.(2009辽宁理)曲线广——在点(1,-1)处的切线方程为()

x-2

(A)y=x—2(B)y=—3x+2(C)y=2x—3(D)y=-2x+l

3.(2009安徽理)已知函数/(幻在口上满足/(为=2/(2-幻一/+8%-8,则曲线丁=70)在

点(1,/(I))处的切线方程是()

(A)y=2x-l(B)y=x(C)y=3x-2(D)y=-2x+3

4.(2010全国II卷文)若曲线＞=/+℃+〃在点(o,b)处的切线方程是％-丁+1=0则()

(A)a=l,b=l(B)a=-l,b=l(C)a=l,b=—1(D)a=-l,b=-l

5.(2007全国1文)曲线丫=」/+尤在点([,£)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()

33

(A)-(B)-(C)-(D)-

9933

尤+[

6.(2008全国I卷理)设曲线y=——在点(3,2)处的切线与直线以+丫+1=0垂直，则〃=()

x-1

A.2B.1C._1D.-2

22

，，!

7.(2005湖南理)设fo(x)=sinx,fj(x)=/o(x),f2(x)=/(x),…，fn+i(x)=力(x),nCN,则f2oo5(x)=()

A、sinxB、-sinxC、cosxD、-cosx

8(2009全国I理)已知直线y=x+l与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为()

(A)l(B)2(C)-l(D)-2

9.(2016山东文、理)若函数y=/(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂

直，则称y=/(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()

(A)y=sinx(B)y=Inx(C)y=ex(D)y=x3

10.(2008全国II卷理)设曲线y=*在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=

11.(2008北京理)如图，函数/(x)的图象是折线段A8C,其中

AB,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则/(./•(()))=

.也出让幽.(用数字作答)

AXT。Ax

12.(2016天津文)已知函数/(x)=(2x+l)e'J'(x)为/(x)的导函数，则尸(0)的值为.

13.(2007湖北文)已知函数y=/(x)的图象在朋(1,/(D)处的切线方程是y=gx+2,

f(l)-f,(l)=.

14.(2016全国HI文)已知/(x)为偶函数，当无<0时，/(x)=erT—X,则曲线y=在点(1,2)

处的切线方程式.

15.(2016全国HI理)己知/(")为偶函数，当x<()时，/(x)=ln([x)+3x,则曲线)'="》)

在点(L—3)处的切线方程是.

海南省历届高考中的“导数、切线”试题汇编

1.(2007海南、宁夏文)曲线y=e、在点(2,e?)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()

O,2

A.-e2B.2e2C.e2D.—

42

1

2.(2007海南、宁夏理)曲线旷=/'在点(4,e?)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()

9

A.-e2B.4e2C.2e2D.e2

2

3、(2008海南、宁夏文)设/(x)=xlnx,若/、'(/)=2,则%=()

，八In2,c

A.e~B.eC.---D.In2

2

4.(2009海南、宁夏文)曲线丁=%/+2》+1在点(0,1)处的切线方程为。

5.(2010全国新课标文)曲线丫=》3一28+1在点(1,0)处的切线方程为()

(A)y=x—1(B)y=—x+1(C)y-2x-2(D)y=—2x+2

6.(2010全国新课标理)曲线y=—在点(-1,-1)处的切线方程为()

x+2

(A)y=2x+l(B)y=2x-l(C)y=-2x-3(D)y=-2x-2

7(2012全国新课标文)曲线y=x(31nx+l)在点(1,1)处的切线方程为

8.(2014全国新课标H理)设曲线y=axlnGH)在点(0,0)处的切线方程为片2筋则折()

A.OB.1C.2D.3

9.(2015全国新课标II文)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=o?+5+2卜+1

相切，贝！I4=.

10.(2015全国新课标^理)设函数.尸(x)是奇函数/(x)(xeK)的导函数，/(—1)=0，当x〉0时，

xf'(x)-/(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()

A.(0,1)B.(-1,0)(1,+8)C.(-oo,-l)(-1,0)D.(0,1)(1,+刃)

11.(2016全国H理)若直线y="+人是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+l)的切线，

则,=.

12.(2008海南、宁夏文)设函数/(幻=奴_2,曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线方程为

X

7x—4y—12=0。(1)求y=/(x)的解析式；(2)证明：曲线y=/(x)上任一点

处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值。

13、(2008海南、宁夏理)设函数/(x)=ax+」一(a,beZ),曲线y=/(x)在点(2,八2))处

x+h

的切线方程为y=3。(1)求y=/(x)的解析式；

14.(2011全国新课标卷文、理)已知函数/a)=色吧+”曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线

x+1X

方程为x+2y-3=0。(I)求。、力的值；

15.(2014全国新课标II文)已知函数/(%)=/一3/+依+2.曲线产f4)在点(0,2)处的切线与x

轴交点的横坐标为-2.(I)a;

16.(2016全国H文)已知函数/(x)=(x+l)lnx-a(x-l).

(I)当。=4时，求曲线y=/(x)在(1,/⑴)处的切线方程；

1.3.1函数的单调性与导数

(一)基础知识梳理：

1.设函数y=/(x)在某个区间(a,b)内有导数，如果在这个区间内,则y=/(x)在

这个区间内单调递增；如果在这个区间内,则y=/(x)是这个区间内单调递减.

2.求函数的单调区间的方法：(1)求导数y'=f'(x)；(2)解方程f'(x)=O；

(3)使不等式f'(x)>0成立的区间就是递增区间，使f'(x)<0成立的区间就是递减区间。

(二)例题分析：

例1.(2012辽宁文)函数y=；x2—Inx的单调递减区间为()

(A)(-1,1J(B)(0,1](C.)[I,+8)(D)(0,+8)

例2.(2008安徽理)设函数/(幻=」一(%>0且1。1)。(I)求函数/(X)的单调区间；

xlnx

例3.(2011安徽文、理)设/。)=—其中。为正实数。

(II)若/(%)为R上的单调函数，求。的取值范围。

例4.(2008全国I卷文、理)已知函数/(X)=X3+G?+X+1,«GR.

(21、

(I)讨论函数/(x)的单调区间;(H)设函数/(幻在区间-一内是减函数，求。的取值范围

\33y

(三)基础训练：

1.(2009广东文)函数/(幻=。—3)/的单调递增区间是()

A.(9,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,-+w)

2.(2008福建文)如果函数y=/(x)的图像如右图，那么导函数y=_f(x)的图像可能是()

3.(2004全国卷II理科)函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数()

,、Ti3)兀、，、3乃57，、

(A)(—>—)(B)(乃,24)(C)(—，—)(D)(2),3zr)

2222

4.(2004浙江理科)设/'(幻是函数f(x)的导函数，y=/'(x)的图象如图所示，则y=f(x)的

图象最有可能的是()

5.(2014全国新课标II文)若函数=在区间(l,+oo)上单调递增，则A的取值范围是()

A.(—00,-2]B.(—oo,—l]C.[2,+oo)D.[1)+oo)

6.(2009海南、宁夏理)己知函数/。)=(*3+3/+奴+力6-、

(I)如a=h=—3,求/(x)的单调区间；

7.(2010全国新课标卷文)设函数/(x)=x("-1)一"/

(I)若a=；,求/(x)的单调区间；(II)若当x20时/(x)20,求a的取值范围

8.(2010全国新课标卷理)设函数f(x)=e=l—x-加.

(I)若a=0,求f(x)的单调区间；(H)若当x20时f(x)》0,求a的取值范围.

9.(2012全国新课标卷文)设函数/(x)=e'一以一2。(I)求段)的单调区间。

10.(2012全国新课标卷理)已知函数/(x)满足满足/(幻=/‘⑴ei-/(0)x+gx2；

(1)求/(x)的解析式及单调区间；

11.(2014全国新课标II理)已知函数/(x)=e-I—2x.(I)讨论f3的单调性;

1.3.2函数的极值与导数

(-)基础知识梳理：求函数y=/(x)的极值的方法：

(1)求导数y'=f'(x)；(2)求方程的根(临界点)；

(3)如果在与附近的左侧f'(x)—0,右侧f'(x)—0,那么f(x0)是y=/(x)的极大值；

如果在与附近的左侧f'(x)—0,右侧f'(x)—0,那么f(x°)是y=.f(x)的极小值

(二)例题分析：

例1.(2001江西、山西、天津卷文科)已知函数/(x)=x3-3ax2+2"在点x=l处有极小值-l.

试确定a、b的值.并求出f(x)的单调区间.

Inx

例2.(2008辽宁理)设函数/(尤)=---lnx+ln(x+l).(I)求的单调区间和极值;

1+x

13

例3.(2012重庆理)设/(x)=alnx+—+—x+1,其中aeR,曲线y=f(x)在点(1,/(1))处的

lx2

切线垂直于y轴.(I)求。的值；(II)求函数/(X)的极值.

(三)基础训练：

1.(2016四川文)已知a函数/*)=丁一12%的极小值点，则a=()

(A)-4(B)-2(C)4(D)2

2.(2011.福建文)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax?-2bx+2在x=l处有极值，则ab的最大值等于()

A.2B.3C.6D.9

3.(2012陕西理)设函数J.(x)=x/,则()

(A)x=l为/(x)的极大值点(B)x=l为/(X)的极小值点

(C)x=-l为/(x)的极大值点(D)x=-l为/(x)的极小值点

4.(2004湖北理科)函数/(》)=。/+》+1有极值的充要条件是()

(A)”>0(B)a>0(C)a<0(D)«<0

5.(2008广东文)设aeR,若函数y=e*+ax,xeR有大于零的极值点，则()

1

A.a<—1B.a>—1C.a>—D.a<—

e

6、(2006天津理)函数/(x)的定义域为开区间(a,b),

导函数./"(x)在(a力)内的图象如图所示，则函数

/(x)在开区间(a力)内有极小值点()

A.1个B.2个C.3个D.4个

7、(2013全国新课标fl文、理)已知函数/。)=/+依2+云+c,下列结论中错误的是()

(A)3x()eR,/(xo)=O(B)函数y=/(x)的图象是中心对称图形

(C)若%是/(x)的极小值点，则/(x)在区间(-8,%)单调递减

(D)若%是/(%)的极值点，则/'(%)=0

X2+〃

8.(2009辽宁文)若函数-----在x=l处取极值，则。=______.

x+1

9.(2007海南、宁夏理)设函数_/(x)=ln(x+a)+x2

(I)若当尤=—1时，/(x)取得极值，求a的值，并讨论/(幻的单调性;

10(2009海南、宁夏文)已知函数/(x)=/—Bar?-9a2X+诡(1)设“=],求函数/(x)的极值;

11.(2013全国新课标II文)已知函数f(x)=x2e-\(I)求/(x)的极小值和极大值;

(II)当曲线y=/(x)的切线/的斜率为负数时，求/在x轴上截距的取值范围。

12.(2013全国新课标II理)已知函数共0二^一皿^+机).

(1)设x=0是式x)的极值点，求m,并讨论凡r)的单调性；(2)当mW2时，证明4x)>0.

1.3.3函数的最大(小)值与导数

(一)基础知识梳理：

1.蛔旬［a,b］y=/(X)

(1)求函数y=/(x)在(a/)内的懿；(2)求懒y=/(x)在(。力)内的极值；

(3)将函数y=f(x)在(。,与内的各极值与端点处的函数值/(a),/(。)作比较，

其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值

2.有关最值的几个结论：

(1)闭区间［a,”上的连续函数必定有最大值和最小值；

(2)若函数y=/(x)(xw［a,b］)单调递增，则最小值是,最大值是

(-)例题分析：

例1.(2011北京文)已知函数/(x)=(x—Z)e*。

(I)求/(x)的单调区间；(II)求/(幻在区间［0,1］上的最小值。

例2.(2010重庆文)已知函数例x)=a*3+山+加(其中常数a,bGR),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数.

(I)求/(x)的表达式；(II)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间［1,2］上的最大值和最小值.

例3.(2012重庆文)已知函数/(》)=成：3+云+，在％=2处取得极值为c一16

(1)求a、b的值；(2)若/(x)有极大值28,求/(x)在［-3,3］上的最大值.

(三)基础训练：

1.(2008安徽文)设函数/(X)=2X+L-1(X<0),则/(x)()

X

A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数

2.(2006浙江文)/(幻=/-3/+2在区间［—1,1］上的最大值是()

(A)-2(B)0(C)2(D)4

3.(2011重庆文)若函数/'(x)=x+」一，(x>2)在x=。处取最小值，则。=()

x-2

A.1+72B.1+MC.3D.4

4.(2011湖南理)设直线x=t与函数=/g(x)=lnx的图像分别交于点M,N,则当|的V|

达到最小时t的值为()

5.(2012全国新课标卷理)设点P在曲线y=ge'上，点。在曲线y=ln(2x)上,则归。|最小值为()

(A)l-ln2(B)72(1-In2)(C)l+ln2(D)72(1+In2)

6.(2011辽宁文)已知函数/(x)=e*—2x+a有零点，则a的取值范围是.

7.(2007海南、宁夏文)设函数/*)=111(2%+3)+/

■3r

(I)讨论/〈X)的单调性；31)求/'(x)在区间-一，—的最大值和最小值.

44

8.(2005北京理科、文科)已知函数4x)=-V+3f+9x+a.(I)求人x)的单调递减区间;

(II)若犬x)在区间［-2,2］上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.

第05讲生活中的优化问题

（一）基础知识梳理：

结论：若函数f（x）在区间A上有唯一一个极值点/,且/（%）是这个函数的极大（小）

值，那么这个极值必定就是函数f（x）在区间A上的最大（小）值。

（-）例题分析：

例1.（2008广东文）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层

2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x（xN10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48X

（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=驾婴婴■）

建筑总面积

例2.（2011福建理）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售

价格x（单位：元/千克）满足关系式丁=，一+10（尤一6）2,其中3Vx<6,a为常数，己知销售价格

x—3

为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。（I）求a的值

（II）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最

大。

例3.（2007北京理）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r,短半轴长为r,计划将此钢板切割

成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记C0=2x,梯形面积为

S.

（I）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；（H）求面积S的最大值.

（三）基础训练：

1.（2000江西、天津文、理）用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的

底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。

2.（2007湖北文）某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格。销售量可

以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x（单位：元，0WXW30）的平方成正比.

已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.（I）将一个星期的商品销售利润表示成x的

函数；（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

3.（2010湖北理）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热

层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年

的能源消耗费用C（单位；万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=—^（0<%<10）,

3x+5

若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之

和。

（I）求k的值及f（x）的表达式•（II）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值。

4.（（2011山东文、理）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间

为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为啊立方米，且/N2r.假设该容器的

3

建造费用仅与其表面积有关.己知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造

费用为c（c>3）.设该容器的建造费用为y千元.

（I）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域;

（II）求该容器的建造费用最小时的心

1.5-1.7定积分

(一)基础知识回顾：

1.几个概念：在公中，a与b分别叫做犯，区间［a,b］叫做一,

函数/(x)叫做x叫做，以x)dx叫做.

2.定积分的几何意义：如果在区间［a,b］上函数*x)连续且恒有f(x)20,则fibf/(x)dx表示由

Ja

直线,________,和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。

3.微积分基本定理(牛顿--莱布尼兹公式)：如果f(x)是区间［a,b］上的连续函数，并且

F'(x)=/(x),那么/f(x)dx=F(b)-/3)。常常把F(b)—尸(a)记作F(x)|\

Ja

ch

4.定积分的性质：⑴Ikf(x)dx(k为常数);

Ja

⑵(x)+f2(x)]dx=

(3)f6f(x)dx=Tf(x)+

(a<b<C).

JaJa

5.定积分在几何中的应用：如图，用定积分表示图中阴影部分

的面积S=

6.定积分在物理中的应用：(1)物体以速度n=v(f)作变速直线运动，其所经过的路程s=f次。力；

Ja

(2)物体在变力尸(x)作用下，沿着与力相同的方向做直线运动，其所作的功心。

(二)例题分析：’

TTTT

例1.(2011湖南理)由直线x=—］,x=§,y=O与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为()

A.-B.1C.――-D."^3

22

例2.(2010山东理)由曲线y=x2,y=/围成的封闭图形面积为()

例3.(2012上海文、理)已知函数y=/(x)的图象是折线段ABC,其中A(O,O)、B(-,5),C(l,0),

函数y=4(x)(0<x<l)的图象与x轴围成的图形的面积为.

例4.一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度u(r)=5-，+二匕(单位:m/s)紧

1+/

急刹车到停止。(1)从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；(2)紧急刹车后火车运行的路程。

（三）基础训练：

1.（2011福建理）J；（ex+2x）dx等于（）

A.lB.e-IC.eD.e+1

2（2000江西、天津理科）右图中阴影部分的面积是（）

（A）26（B）9-273（C）—（D）—

33

71

3.（2009福建理）冗（1+以拈幻小：等于（）

~2

A.7tB.2C.TT-2D.71+2

4.（2008海南、宁夏理）由直线x=,，x=2,曲线y及x轴所围图形的面积是（）

2x

15171,c…c

A.—B.—C.—In2D.2In2

442

5.（2011全国新课标卷理）由曲线>=五，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为（）

（A）—（B）4（C）—（D）6

33

6.（2014山东理）直线y=4x与曲线y=V在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）

（A）272（B）472（C）2（D）4

7.（2014陕西理）定积分+的值为（）

A.c+2B.c+1C.eD.c—1

8.（2013江西理）若$=/便必，S2=J*r,S3=Jre'd.r,则舟,S*S3的大小关系为（）

A.Sl<S2Vs3B.S2<S]<S3C.S2Vs3VsiD.S3Vs2<S1

9.（2014江西理）若/。）=入*+2]0/（尢）&则[）/。）公=（）

11-1

A.—1B.—C.-D.1

33

10.（2008山东理）设函数火》）=加+以。#0）.若J"（x）dr=/（x0）.OWxoWl,则%o的值为L

Igx,x>0

/CO="「2>

11.（2011陕西理）设（无+Jo3r必'七°,若/（/⑴）=1,则“=.

12.（2012山东理）设a>0.若曲线与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a,则a=

13.（2015天津理）曲线y=f与直线y=x所围成的封闭图形的面积为

导数及其应用(补充练习题)

1.(2009江西理)设函数/(x)=—。(1)求函数/(X)的单调区间;

X

2.(2016四川理)设函数人犬)=加-小hu,其中a6R.(I)讨论式x)的单调性;

3.(2016北京理)设函数/(x)=x/r+bx,曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线方程为

y=(e-l)x+4,(1)求的值：(2)求/(x)的单调区间.

4.(2009辽宁文)设/(x)="(ac2+x+l),且曲线y=f(x)在x=l处的切线与x轴平行。

(I)求a的值，并讨论f(x)的单调性；

5.(2009福建文、理)已知函数/(%)=；%3+狈2+加且/(_])=o

(I)试用含a的代数式表示b；(II)求/'(x)的单调区间；

6.(2011重庆文)设/(%)=2炉+◎2+以+1的导数为尸(x),若函数y=7'(x)的图像关于直线

；对称，且ra)=o.(I)求实数。涉的值；(［I)求函数/(幻的极值。

7.(2005全国卷H文科)设。为实数，函数/(幻=/一%2一%+。

(I)求/(x)的极值；(II)当a在什么范围内取值时，曲线y=/(x)与x轴仅有一个交点.

8.(2016山东文)设a£R.

(I)令g(©可口)，求g(x)的单调区间；(11)已知府)在不二1处取得极大值.求实数。的取值范围.

2

9.(2009安徽文)已知函数/(x)=x——+1-alnx,a>0.(I)讨论/(%)的单调性;

x

(II)设"3,求/(九)在区间［1,/］上的值域。其中e=2.71828…是自然对数的底数。

导数的综合应用高考试题选编

i.（2oii安徽文、理）设/a）=-J,其中。为正实数.

\+ax

4

（I）当时，求/（X）的极值点；（H）若/（x）为H上的单调函数，求”的取值范围。

2.（2007广东文、理）已知a是实数，函数/（彳）=2以2+2乂一3-。.

如果函数y=/（x）在区间［T,1］上有零点,求a的取值范围.

a

3.（2008安徽文）设函数/（外=1/一5/+3+1口+1,其中a为实数。

（I）已知函数/（x）在x=l处取得极值，求。的值；

（II）已知不等式（外＞/一》一。+1对任意。€（0,+。。）都成立，求实数X的取值范围。

4.（2010北京文）设定函数/（用=£/+瓜2+5+或。0）,且方程/'（X）—9x=0的两个根

分别为1,4。（II）若/（x）在（—8,+0。）无极值点，求a的取值范围。

5.（2010江西文）设函数/（%）=6丁+3（。+2）x2+2ax.

⑴若/（X）的两个极值点为玉,々，且芯々=1，求实数4的值；

⑵是否存在实数使得/（x）是（-8,+oo）上的单调函数？若存在，求出。的值；若不存在，说明理由.

6.(2010全国1卷理)已知函数/(x)=(x+l)lnx—x+l.

(I)xf\x)<x2+ar+1,求a的取值范围；(II)证明：(x-l)/(x)>0.

7.(2011浙江理)设函数/(x)=(x-a)21nx,aeR.(I)若x=e为y=/(x)的极值点，求实数a;

(II)求实数a的取值范围,使得对任意的xe(0,3e],恒有/(x)*e2成立.注：e为自然对数的底数.

2

8.(2006江西文、理)己知函数/(%)=%3+如2+区+。在X=一§与％=1时都取得极值.

(1)求。，人的值及函数/(x)的单调区间；

(2)若对xe[—1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.

9.(2011江西理)设f(x)=——x'+—+2,UX.

(1)若/(%)在(；2,+00)上存在单调递增区间，求a的取值范围；

(2)当0<a<2时，/(x)在[1,4]上的最小值为一与，求/(幻在该区间上的最大值.

10.（2010江西理）设函数/（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a>0）»

（1）当a=l时，求/（x）的单调区间。（2）若“X）在（0,1］上的最大值为:，求a的值。

11.（2004浙江理）设曲线y=e7（xK））在点M（t,）处的切线/与x轴y轴所围成的三角形面

积为S（t）。（I）求切线/的方程；（II）求S（t）的最大值。

12.（2009北京理）设函数/（x）=x*（左wO）.（I）求曲线y=/（x）在点（0,/（0））处的切线方程;

（H）求函数/（X）的单调区间；（III）若函数/（幻在区间（一1,1）内单调递增，求上的取值范围.

第01讲：导数的概念、几何意义导数的计算

参考答案

(二)例题分析：

.,11AxAy1，「Ay1

例1•解：△/=----------=-----------，=-----------，所以y=lim—=——o

x+Axxx(x+Ax)Axx(x+Ax)-&x

例2.解：(1)—='In2+'(2)yr=xcosx(3)y=-—

2xln2cos2x

1n

(4)y=12x2-8x+l(5)yJa.

xex

例3.解：y'=2x+l.直线l\的方程为y=3x—3.

设直线，2过曲线y=f+x—2上的点B(b,b2+b—2)，则为的方程为y=(2b+l)1一b?一2

1?122

因为/i±/2,则有2b+l=——,/?=——.所以直线li的方程为y=——x——.

1

y=3%-3,x=K1s

°5，所以直线人和/2的交点的坐标为(点,一：).

(ID解方程组4122得＜

V=——X----y=-|.「

39

h、/2与X轴交点的坐标分别为(1,0)、(——,0).

3

1255125

所以所求三角形的面积S=-x—x|--b—.

23212

(三)基础训练：

1、A；2.D；3.B；4.D；5。A；6.D；

7.y=3x+l；8.In2-1;9.2_；10.2.-2

(四)巩固练习:

LA；2.B；3。；4.A；5.B；