2025高考数学一轮复习-8.4-直线与圆、圆与圆的位置关系【课件】

第八章平面解析几何第4节直线与圆、圆与圆的位置关系ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实11.直线与圆的位置关系位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ____0Δ____0Δ____0几何观点d____rd____rd____r<＝>>＝<2.圆与圆的位置关系则两圆C1，C2有以下位置关系：位置关系外离内含相交内切外切圆心距与半径的关系_________________________________________________________图示公切线条数40213d>r1＋r2d<|r1－r2||r1－2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r21.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.×解析(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.(

) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.(

) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(

) (4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆，且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(

)××√AB解析联立直线与圆的方程得2.(多选)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是(

) A.0＜m＜1 B.－1＜m＜0 C.m＜1

D.－3＜m＜1得2x2＋(2m－2)x＋m2－1＝0，根据题意得Δ＝(2m－2)2－8(m2－1)＝－4(m＋1)2＋16＞0，得－3＜m＜1.∵{m|0＜m＜1}

{m|－3＜m＜1}，{m|－1＜m＜0}

{m|－3＜m＜1}，∴0＜m＜1和－1＜m＜0都是直线与圆相交的充分不必要条件.ABD3.(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(

) A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切4.两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是________.内切5.直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝______.解析如图，直线分别与两个半径相等的圆相切，由对称性可知，直线与x轴的交点为A(2，0).6.已知直线y＝kx＋b(k＞0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝__________，b＝__________.由AB＝2，BM＝1，∠AMB＝90°，得∠MAB＝30°，KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2解析因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离1.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(

) A.相切

B.相交 C.相离

D.不确定B所以直线与圆相交.解析将直线l的方程整理为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，2.(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下几个命题正确的有(

) A.直线l恒过定点(3，1) B.直线l与圆C相切 C.直线l与圆C恒相交 D.直线l与圆C相离AC则无论m为何值，直线l过定点(3，1)，故直线l与圆C恒相交，故AC正确.3.若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(

)A直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，解析圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则(x－4)2＋(y＋3)2＝25.圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5.过原点的最短弦长为6，选项C不正确.ABD均正确.例1(1)(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是(

) A.圆M的圆心为(4，－3) B.圆M被x轴截得的弦长为8 C.过原点的最短弦长为8 D.圆M被y轴截得的弦长为6ABD角度1圆的弦长问题取AB的中点M，连接OM(图略)，则OM⊥AB.5解析当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，例2(1)过点P(2，4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为______________________.角度2圆的切线问题x＝2或4x－3y＋4＝0即4x－3y＋4＝0.综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.设切点为A，B，则OA⊥AP，OB⊥BP，OA＝OB，AP＝BP，AP⊥BP，C解析如图所示.解析圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1的圆心为C(1，－1)，半径为1，故|CB|＝|CA|＝1，又△CAB为等边三角形，训练1(1)已知圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1与直线kx＋y＋1＝0相交于A，B两点，若△CAB为等边三角形，则k的值为(

)A(2)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为______.解析点A(－2，－3)关于y轴的对称点为A′(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，化为kx－y－2k－3＝0，∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴圆心(－3，2)到直线的距离(3)若一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为______________.化为24k2＋50k＋24＝0，解

两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，例3

已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求： (1)m取何值时两圆外切？当两圆外切时，两圆的公共弦所在直线的方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为(2)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解

两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，B(2)已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点.公共弦|AB|的长为________，经过A，B两点且面积最小的圆的方程为____________________.解析两圆的方程作差可得x－2y＋4＝0.∴圆C1与圆C2的公共弦AB所在的直线方程为x－2y＋4＝0，(x＋2)2＋(y－1)2＝5不妨设A(－4，0)，B(0，2)，以AB为直径的圆即为面积最小的圆.∴(x＋2)2＋(y－1)2＝5.阿波罗尼斯圆到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|.则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ＞0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.解

如图所示，设动点M(x，y)，连接MO，MA，有|MA|＝2|MO|，化简得x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4①，则方程①即为所求点M的轨迹方程，它表示以C(－1，0)为圆心，2为半径的圆.解

点C在直线l：y＝2x－4上，故设C的坐标为(a，2a－4).因为半径r1＝1，所以圆C的方程是(x－a)2＋[y－(2a－4)]2＝1.设点M(x，y)，则由|MA|＝2|MO|可得点M的轨迹正是阿波罗尼斯圆D，(2)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围.化简整理得x2＋(y＋1)2＝4.所以点M(x，y)在以D(0，－1)为圆心，r2＝2为半径的圆上.又点M(x，y)在圆C上，所以两圆有公共点的条件是|r1－r2|≤|DC|≤|r1＋r2|，FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升31.直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(

) A.相交

B.相切

C.相离 D.不确定A解析圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r2＝2，2.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(

) A.相离

B.相交

C.外切 D.内切B而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r1＜d＜r1＋r2，所以两圆相交.解析过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，∴点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，3.过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(

) A.2x＋y－5＝0

B.2x＋y－7＝0 C.x－2y－5＝0

D.x－2y－7＝0B∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.圆方程配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝5.D解析若弦AB的中点为M(0，1)，则点M(0，1)一定在圆内，且方程表示圆，5.(多选)已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M(0，1)，则下列结论正确的是(

) A.实数a的取值范围为a＜3 B.实数a的取值范围为a＜5 C.直线l的方程为x＋y－1＝0 D.直线l的方程为x－y＋1＝0AD由圆的方程得，圆心坐标为C(－1，2)，又M(0，1)，则kCM＝－1，则kAB＝1，由点斜式得，直线l的方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0，故D正确.解析直线l：y－1＝k(x－3)恒过D(3，1)，A正确；6.(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：y－1＝k(x－3).则以下几个命题正确的有(

)ABD对于C，因为(3－1)2＋(1－2)2＝5＜25，则点D在圆C内部，直线l与圆C相交，故C不正确；7.圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________.又过点P作圆C的切线有两条，所以点P在圆的外部，故1＋4＋k＋4＋k2>0，解得k∈R，8.已知点P(1，2)和圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P作圆C的切线有两条，则实数k的取值范围是______________.解析因为C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0为圆，解析圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，∴|C1C2|＝5.又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，∴线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.9.若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________.8解

设切线方程为x＋y＋b＝0(b≠－4)，10.已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程； (1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；解

设切线方程为2x＋y＋m＝0，∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.(3)过切点A(4，－1).解

∵直线4x＋3y＋1＝0∴