2018学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期末数学试卷（含解析）

2017-2018学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期末数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（5分）若抛物线的准线方程为x=-7,则抛物线的标准方程为（）

A.x2=-28yB.x2=28yC.y2=-28xD.y2=28x

22

2.（5分）若双曲线E:„=l的左、右焦点分别为《，F,点P在双曲线E上，且|PF、|=3,

2

则IP月I等于（）

A.11B.9C.5D.3

3.（5分）直线a与平面a所成角的为30",直线人在平面。内，且与b异面，若直线々与

直线b所成的角为°,贝）

A.0°<30°B.0°<^„90°C.30。轰/90°D.30。效帅180°

4.（5分）设〃,b为向量，贝IJI“切=|。||口是”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.（5分）设机，〃是两条不同的直线，a,4是两个不同的平面，下列命题正确的是（

）

A.mLa,n工0,且二_1/，则机_L〃B.mlla,nil/},且a///,则用//〃

C.mLa,nu。，mLn,则戊_1,D.mua,nua驰all。

22

6.（5分）椭圆":「+与=1（。>6>0）长轴上的两个顶点4、8,点尸为椭圆M上除A、

a"b

3外的一个动点，若。4%=0且。3尸3=0,则动点。在下列哪种曲线上（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

7.（5分）如图，小于90。的二面角-力中Oe/,A,Bea,且NMB为钝角，ZA'OB'

是NAO8在£内的射影，则下列结论一定错误的是（）

A.N4OQ为钝角B.ZA'OB'>ZAOB

C.ZAOB+AAOA!<71D.ZBrOB+ZBOA+ZAOAr>n

22

8.（5分）在椭圆A+A=l（〃〉匕＞0）上有一点P,椭圆内一点。在P%的延长线上，满足

ab

QF.VQP,若sinN耳PQ=2，则该椭圆离心率取值范围是（）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

22

9.（6分）双曲线土-2-=1的焦距为，渐近线方程为

54

10.（6分）命题“若实数“满足小2,则储＜4”的逆否命题是命题（填“真”或者

“假”）；否命题是命题（填“真”或者"假”）.

11.（6分）已知AABC是边长为1的正三角形，R4_L平面ABC,且E4=l,则尸3与平面PAC

所成角的正弦值为.若点A关于直线PC的对称点为。，则直线AD与8c所成角

的余弦值是.

12.（6分）已知直线AM,相交于点A1,且直线40的斜率与直

线9的斜率的差是则点'的轨迹C的方程是.若点尸为轨迹C的焦点，P

2

是直线=T上的一点，。是直线尸R与轨迹C的一个交点，且PP=3FPC，则

\QF\=.

13.（4分）过正四面体ABC。的中心且与一组对棱AB和CD所在直线都成60。角的直线有

条.

22

14.（4分）已知双曲线3-斗=1（〃＞0,10）上一点尸到两渐近线的距离分别为4，d2,

ab

若44=；刈，则双曲线的离心率为.

15.（4分）四棱锥尸-ABC。中，PAL^^ABCD,ABAD=90°,PA=AB=BC=-AD=l,

2

BC/IAD,已知。为四边形ABC。内部一点，且二面角。一一A的平面角大小为:，

若动点。的轨迹将四边形ABCD分成面积为岳，SJH＜邑）的两部分,则H:S2=.

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22

16.（15分）已知从椭圆C:、+1=l（a＞人＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点

矿b

又点A是椭圆与无轴正半轴的交点，点3是椭圆与y轴正半轴的交点，且A8//OP,

（I）求椭圆c的方程；

（II）在椭圆C中，求以点0（-2,1）为中点的弦MN所在的直线方程.

17.（15分）如图，三棱柱A2C-A4G中，侧棱朋，平面ABC,AA8C为等腰直角三角

形，ZBAC=9Q°,B.AB=AAl,E,F,G分别是CCrBC,A片的中点.

（I）求证：①FG//平面ACGA；②片尸_L平面g1；

（II）求直线G尸与平面所成角.

18.（15分）如图，平行四边形A8C£>_L平面COE,AD=DC=DE=A,ZADC=60°,

ADLDE

（I）求证：小，平面48。；

（II）求二面角C-AE-D的余弦值的大小.

19.(15分)抛物线V=2px,p>Q,尸为抛物线的焦点，A,3是抛物线上两点，线段

AB的中垂线交x轴于，a>0,m=\AF\+\BF\.

(I)证明：。是p,"Z的等差中项；

(II)若机=3p,/为平行于y轴的直线，其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值，求

直线/的方程.

22

20.(14分)已知椭圆E:土+乙=1的左、右顶点分别为A,B,M,N是椭圆E上异于

43

A,3的两点，直线AM,BN交于点P(4J).

(I)若直线MN与x轴垂直，求实数f的值；

(II)记APMN,APAB的面积分别是E(t),S,⑺，求电。的最小值.

-S2(t)

2017-2018学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（5分）若抛物线的准线方程为x=-7,则抛物线的标准方程为（）

A.X2=-28yB.x2=28yC.y2=-28.xD.y1=28x

【考点】K7：抛物线的标准方程

【专题】11：计算题

【分析】根据准线方程求得p,则抛物线方程可得.

【解答】解：准线方程为x=-7

2

p=14

二.抛物线方程为V=28x

故选：D.

【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程.属基础题.

22

2.（5分）若双曲线£:]4=1的左、右焦点分别为《，耳，点尸在双曲线E上，且|尸£|=3,

则I尸鸟I等于（）

A.11B.9C.5D.3

【考点】KC：双曲线的性质

【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论.

【解答】解：由题意，双曲线E:上-工=1中。=3.

916

|尸片|=3,;.P在双曲线的左支上，

由双曲线的定义可得|「6|-|3|=6,

PF21=9.

故选：B.

【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题.

3.（5分）直线。与平面a所成角的为30°,直线。在平面a内，且与方异面，若直线。与

直线》所成的角为夕，贝1（）

A.0°＜（p„30°B.0°＜（p„90°C.30°轰⑦90°D.30啜加180°

【考点】LM：异面直线及其所成的角

【专题】39：运动思想；44：数形结合法；5G：空间角

【分析】由平面的一条斜线与平面内所有直线所成角的最小角为线面角，最大角为90。，可

得直线a与直线b所成的角的范围.

【解答】解：如图，

设a«=A,

a在平面a内的射影为，，在平面e内过A与〃垂直的直线为，

6是平面c内与a异面的直线，

当b/田时，a与/的角最小为30。,当6//W时，a与》的角最大为90。.

.•.30。铀90°.

故选：C.

【点评】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中

档题.

4.（5分）设a,b为向量，则|a8|=|a||b|是"。//6"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；91：向量的概念与向量的模；96：平行向量

（共线）

【专题】5A：平面向量及应用

【分析】利用向量的数量积公式得到＜26=1o||eft,根据此公式再看8|=|a|g|与

al1b之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论.

【解答】解：ab^a\\b\cosO,

若a,"为零向量，显然成立；

若|a，|=|a|g|ncose=±l则a与6的夹角为零角或平角,即a//6,故充分性成立.

而a//6,则。与，的夹角为为零角或平角，有|ab|=|a||6|.

因此|a6|=|。||6|是。//匕的充分必要条件.

故选：C.

【点评】本题考查平行向量与共线向量，以及充要条件，属基础题.

5.（5分）设机，〃是两条不同的直线，a,4是两个不同的平面，下列命题正确的是（

）

A.mLa,nip,且a_L力，贝I]_L〃B.m/la,n//£,且a//£,则m//〃

C.mVa,wu夕，mLn,则a_L/D.〃?utz,,“z/R,"//力，则a//"

【考点】LP-.空间中直线与平面之间的位置关系

【专题】5F：空间位置关系与距离

【分析】利用线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择.

【解答】解：对于A,"1力，且a_L£,利用面面垂直的性质定理得到作垂直于

交线的直线"'与£垂直，又〃_L£,得到"//〃'，又加J_c,得到7W_L〃，所以〃Z_L〃；

故A正确；

对于3,«i//a,〃///7,且a//6，则〃?与〃位置关系不确定，可能相交、平行或者异面；

故3错误；

对于C,mVa,nu0,m±n,则er与。可能平行；故C错误；

对于。，mua,“Ue,ml//3,"//£,则a与4可能相交；故。错误；

故选：A.

【点评】本题考查了线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理的运用；关键是由已知条件，

正确运用定理的条件进行判断.

6.(5分)椭圆二+与=1(。>6>0)长轴上的两个顶点A、8,点P为椭圆"上除A、

a"b

8外的一个动点，若。4%=0且。3尸5=0,则动点。在下列哪种曲线上()

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【考点】K4：椭圆的性质

【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5E：圆锥曲线中的最值与范

围问题

【分析】根据椭圆方程算出A(-a,0),B(a,0).设尸回〃)，Q(x,y),可得QA、PA关于加、

〃、x、y的坐标形式，由QA出=0建立关系式,化简得m+。=-旦-，同理由沙尸3=0

x+a

建立关系式，得加一。=一」匕，再将所得的两个式子对应相乘，结合点P(九〃)是椭圆

x—a

2222

5+4=1上的点，化简得=+与=1,即为动点。的轨迹方程，可得本题答案.

abaa

F

【解答】解：设P5㈤,Q(x,y)

22

椭圆M的方程为=+多=1(稣6>0),

ab

作出椭圆如图所示，可得长轴的端点为4-〃,0),8(4,0)

/.QA=(x+a,y),PA=(jn+a,ri)

QAPA=0,/.(x+a)(m+a)+ny=0,可得根+〃=——

x+a

同理根据QBPB=0,可得机—a=——9—…②

x—a

①x②，可得病—.…③

%-a

22

点P(m,n)是椭圆T+斗=1上的动点，

ab

；g+4=l,整理得/=。片_病)，

a2b-a2

仔V2丫22

代入③可得：4=1(/一环)1=，化简得=+与=1

ax-aaa

F

此方程对应的图形是焦点在y轴上的椭圆，可得动点。的轨迹是一个椭圆，3项是正确答

案

故选：B.

【点评】本题给出椭圆的长轴为AB,椭圆上的动点尸满足若21PA=0且。3尸8=0,求

动点0的轨迹方程，着重考查了椭圆的简单几何性质、向量数量积的计算公式和动点轨

迹方程的求法等知识，属于中档题.

7.（5分）如图，小于90。的二面角-4中Oe/,A,Bea,且aMB为钝角，ZA'OB'

是NAOB在月内的射影，则下列结论一定错误的是（）

C.ZAOB+ZAOA'<nD.AB'OB+ZBOA+ZAOA'>n

【考点】MJ：二面角的平面角及求法

【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5G：空间角

【分析】由题意画出图形，由已知二面角々-/-夕小于90。，NAOB为钝角，结合余弦定理

可得N4O9是钝角，由此可得答案.

【解答】解:如图，在打内射线OA上取点A,过A作交线I的平行线AB交射线OB于点、B,

过A作垂足为4,过3作38垂直于夕，垂足为笈，连接48,则有AB//A宣，

且>18=A笈，

设OA=。，OB=b,AB=c,贝！|<。，OB'<b,

NA08为钝角，a2+b2<c2,则(OA。?+(OE)?<a?+从<<?=(43乎,

在^A'OB'中,由余弦定理可得ZA'OB'>ZAOB为钝角.

ZAOB+ZAOA'>71.

・•,错误的选项是c,

故选：c.

【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查空间想象能力和思维能力，关键是

理解点在面上的射影的概念，是中档题.

22

8.（5分）在椭圆「+与=1（。>6>0）上有一点尸，椭圆内一点。在尸鸟的延长线上，满足

ab"

【考点】K4：椭圆的性质

【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】满足。耳，。尸，点。与点层重合时，sinN片=不妨设|尸片|=13,则

\PF2（=12.可得：e=（.因此e>g.当点。在最下端时，/居。鸟最大，此时耳.可

得点。在椭圆的内部，当》=c时，e=*，即可得出.

【解答】解：满足。片，。尸,

.,.点。与点马重合时，sinN耳尸。=三

不妨设|用1=13,则］］尸月|=12.

可得：e=-A_=l.因止匕e＞」.

13+1255

当点。在最下端时，N片。耳最大，此时月。.

可得点。在椭圆的内部，当>=C,e=与,因此e〈孝.

综上可得：—<e<.

52

故选：C.

【点评】本题考查了椭圆的性质、直角三角形的边角关系、三角函数的应用，考查了推理能

力与计算能力，属于中档题.

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

22

9.（6分）双曲线三-乙=1的焦距为6，渐近线方程为

54

【考点】KC：双曲线的性质

【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得双曲线的焦点位置以及。、6的值，计算

可得c的值，即可得双曲线的焦距，由双曲线的渐近线方程分析可得答案.

22

【解答】解：根据题意，双曲线的方程为土-匕=1,

54

其焦点在无轴上，且。=百，b=5y4=2,

贝!jc=J5+4=3，

则双曲线的焦距2c=6,

渐近线方程为y=

±

故答案为：6,y=~Y~X-

【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线标准方程的形式.

10.（6分）命题“若实数。满足氏2,则/<4”的逆否命题是假命题（填“真”或者

“假”)；否命题是命题(填“真”或者"假”).

【考点】21：四种命题

【专题】38：对应思想；40：定义法；5L：简易逻辑

【分析】根据四种命题的定义，写出原命题的否命题，逆否命题，判断真假即可.

【解答】解：命题“若实数。满足4,2,则储<4”的逆否命题是“若/..4,贝3>2"，

是假命题.

命题“若实数。满足4,2,则/<4”的否命题是“若实数。满足。>2,贝U/..4,是真命

题.

故答案为假；真.

【点评】本题考察了命题的否定以及四种命题之间的关系，是一道基础题.

11.(6分)已知必尤是边长为1的正三角形，平面A8C,且E4=l,则依与平面尸AC

所成角的正弦值为—,若点A关于直线尸C的对称点为。，则直线AD与BC所成

—4—

角的余弦值是.

【考点】LM-.异面直线及其所成的角；MI：直线与平面所成的角

【专题】35：转化思想；49：综合法；5G：空间角

【分析】取AC中点。，连接8。，P0,则PB与平面P4C所成角是，求得

BO

si.nNBP℃O=---=——巫.

BP4

建立空间直角坐标系，易得AD与尸。的交点〃为尸。中点，

A(0,0,0),B(g,I,0),C(0,1,0),H(0,1),

0+—+0万

cos<AH,BC>=---。-上即可,

,04

lx——

2

【解答】解：如图，取AC中点。，连接8。，P0,

AABC是边长为1的正三角形，R4_L平面ABC

BOLAC,BO_L平面APC

.•.则pg与平面PAC所成角是ZBPO,

可得50=正，PB=y/2

2

sinZBPO=^网

BP4

如图，建立空间直角坐标系，易得AD与尸C的交点”为尸C中点,

A(0,0,0),B*,0),C(0,1,0),H(0,£

2

AH=(0,I，1),BC=(-^fI，0)

OH-----F06

cos<AH,BC>=—=—

1A/24

lx——

2

故答案为：呼，呼.

44

【点评】本题考查了空间线线角，线面角的计算，属于中档题.

12.(6分)已知4(1,1),5(-1,-),直线AM,8M相交于点且直线AM的斜率与直

44

线的斜率的差是;，则点M的轨迹C的方程是_f=4y(xw±i)_.若点/为轨迹

C的焦点，P是直线=上的一点，。是直线口与轨迹C的一个交点，且

FP=3FFQ,贝U|QF|=.

【考点】J3：轨迹方程

【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题

【分析】设M(x,y)由直线AM的斜率与直线3"的斜率的差是工，得

2

11

y—y—]

-kBM=--一生=一，由此能求出点"的轨迹C的方程;求出尸(0,1),作叙上

x-1x+12

轴于M点，作轴于N点，由些=1,得。（±2亘，1）,由此能求出|QF|.

FN333

【解答】解：设M（x,y）,

4（1,3，3（-1」），直线AM,8似相交于点M,且直线AM的斜率与直线的斜率的

44

差是工,

2

11

y——y——.

j1441

-kAM~kBM=---；-------~，

x-1x+12

整理，得点M的轨迹。的方程是f=4y（xw±l）.

点尸为轨迹C的焦点，.•./（0,1）,

P是直线/:y=-1上的一点，。是直线尸尸与轨迹C的一个交点，且尸尸=3尸尸

作QMJ_y轴于“点，作PNLy轴于N点,

则13咨》

••IQF1=J（土手o）、（卜了=1.

【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查线段长的求法，考查直线方程、直线的斜率、

抛物线性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

13.（4分）过正四面体ABC。的中心且与一组对棱AB和C。所在直线都成60。角的直线有

心条.

【考点】LM：异面直线及其所成的角

【专题】44：数形结合法；47?：转化法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角

【分析】如图所示，设过正四面体A8C。的中心为P.则过点P且与平面ABC平行的平面

EBG分别与平面平面ACD相交于直线EF,EG.可得直线EG是分别与一组对

棱和CO所在直线都成60°角的直线.因此过点P与直线EG平行的直线满足条件.同

理即可得出另外3条满足条件的直线.

【解答】解：如图所示，设过正四面体A8C。的中心为P.

则过点P且与平面ABC平行的平面EFG分别与平面ABD，

平面ACD相交于直线EF,EG.

则直线EG是分别与一组对棱AB和CD所在直线都成60°角的直线.

因此过点P与直线EG平行的直线满足条件.

同理直线FG是分别与一组对棱AB和CD所在直线都成60。角的直线.

因此过点P与直线FG平行的直线满足条件.

同理：通过作与AC。平面平行的平面，可得两条满足条件的直线.

即符合题意的平面有4条.

【点评】本题考查线面平行、空间角，考查空间想象能力、推理论证能力，属于中档题.

22

14.（4分）已知双曲线]-方=1（。>0,6>0）上一点P到两渐近线的距离分别为4，d2,

若d乩=]ab,则双曲线的离心率为或乎

【考点】KC：双曲线的性质

【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】根据双曲线方程可得它的渐近线方程为法土以=0,利用点到直线的距离，以及尸

满足双曲线的方程，最后利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率.

22

【解答】解：双曲线二-当=1（。>0/>0）的两条渐近线的方程为云-ay=o或法+-=0,

ab

点P（x0,%）到两条渐近线的距离之积为

Ibx0-ay0\|bxQ+ay0\2

h—1，—~-ab,

yfa1+b2yja2+b15

即称小

又点P(xo,%)满足双曲线的方程,

:.b2x^-a2yl=a2b2,

a2b22,

—-=—ab

a+b5

22

即2a+2b=5abf

**-b=2clb——ci,

2

故答案为：杂或昱.

2

【点评】本题考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题.

15.(4分)四棱锥尸-ABC。中，PA±^ABCD,ZBAD=90°,PA=AB=BC=-AD=l,

2

BC//AD,已知。为四边形ABC。内部一点，且二面角。一尸。一A的平面角大小为二,

若动点。的轨迹将四边形ABCD分成面积为H,反(HVS?)的两部分，则d：S2=

(354):4_.

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积

【专题】34：方程思想；41：向量法；5Q：立体几何

【分析】建立空间坐标系，求出平面R4D和平面尸。。的法向量％,%，令0<%,n2>=丰

解出。的轨迹与y轴的交点坐标，求出SrS2得出比值.

【解答】解：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：

设。的轨迹与y轴的交点坐标为。(0,b,0)(6>0).

由题意可知A(0,0,0),0(2,0,0),尸(0,0,1),

.—(-2,0,1),DQ=(-2,b,0).AD=(2,0,0).

设平面"D的法向量为4=(为，％,4),平面尸。。的法向量为%=(%，%，z2)

,"]DP=0nDP=0

则5,<2.

“AD=0\n2DQ=0

_2工]+Z]=0—2々+z2=0

即

2%=0-2X2+by2=0

7

令M=0得々=（。,1，0）,令z2=2得%=（1,—，2）.

b

24

々々=Z，141=1,|〃21=45+3•

二面角Q-PO-A的平面角大小为£,

2

n1nl^2Rnb

1

cos<>=-—―=——.艮I」j——

I%II%I21425

••SMQ=3ADAQ=

255

2占_32*

S梯形ABC。-S.DQ=5X（1+2）X1-----------------

525

&<邑，.2=1-竽，s2百

邑=亍.

/.SX:S2=（3君-4）:4.

故答案为（36-4）:4.

【点评】本题考查了二面角的计算，使用向量可比较方便的找到。的轨迹.属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22

16.（15分）已知从椭圆。:3+[=1（。>6>0）上一点尸向尤轴作垂线，垂足恰为左焦点

ab

月.又点A是椭圆与入轴正半轴的交点，点3是椭圆与y轴正半轴的交点，且A5//OP,

|4A|二加+班.

(I)求椭圆c的方程；

(II)在椭圆C中，求以点。(-2,1)为中点的弦MN所在的直线方程.

【考点】KL-.直线与椭圆的综合

【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题

【分析】(I)易求点尸坐标，由自户=左.，由斜率公式可得匕，c关系，进而可得a,c

关系，由|KA|=Ji6+括.关于a,c的方程，可求得c,进而可得a,b；

(II)故设直线MN的方程为>=左。+2)+1,代入椭圆方程，根据韦达定理即可求出.

【解答】解：(I)由题意知：P(-G—),A(a,O),B(O,b),

a

bh2hh2

故勉=-9,%=-2,BP解得6=C,

aacaac

又a+c=A/10+\/5,a~=b~+c~t

解得a==c=,

22

故椭圆c的方程为c：'+匕=1；

105

(II)因为点。(-2,1)在椭圆内，且显然直线MN的斜率存在，

故设直线MN的方程为了=左。+2)+1,M(x，%),N(%，y2),

代入椭圆方程得(2k2+l)x2+(8k2+4k)x+8/+8%-8=0,

故占+x,=-8'：软=-4,解得k=1,

故直线MN的方程为y=x+3.

【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线方程，考查计算能力，属

于中档题.

17.(15分)如图，三棱柱ABC-44G中，侧棱朋，平面ABC,AA8C为等腰直角三角

形，NA4c=90。，S.AB=AAl,E,F,G分别是CCrBC,A片的中点.

(I)求证：①FG//平面ACGA；②与尸，平面g1；

(II)求直线GF与平面AE尸所成角.

【考点】LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角

【专题】35：转化思想；49：综合法；5G：空间角

【分析】(I)①连接48,则ABX=G.连接A。，由歹，G分别是8C,A4的中

点，得GP//AC.即可；②只需证明A尸，旦尸，B[F工EF,即可证明用/，平面AE尸；

(II)以A为原点，建立空间直角坐标系，设AB=A4,=1,则A(0,0,0),E(0,1,1),

F(1,1,0),G(1,0,1).求出面AEF得法向量为〃=(无,Xz),由

c京即F,G£G〃亘可得直线G尸与平面"F所成角.

IFG|\n2

【解答】解：(I)证明：①如图1,连接A0,则A3ABl=G.

连接A。，

F,G分别是BC,A耳的中点，:.GFIIA.C.

且G尸c平面ACC]A，ACu平面ACC]A.

尸G//平面ACGA；

图1

②等腰直角三角形AABC中下为斜边的中点，

AF±BC

又直三棱柱A8C-A4G，.•.面48(7_1面88℃,

.•.就_L面C]B,..AFLB.F

222

设AB=A4.=1,:.BjE=EF=%,B、E=g,:.B^+EF=BtE,

:.BtF±EF

又AFEF=F,.•.耳尸_1_面4£尸.

解：(II)如图以A为原点，建立空间直角坐标系，设48=朋=1,则4(0,0,0),E(0,

1,J,F(1,10),G(1,oi).

设面AEF得法向量为“=(x,y,z),则/G=(0,-g,g)

nAE=y+—z=0

由<]2],可得〃=(i,—i,2).

nAF=-x-\--y=0

[22,

/“FGnA/3

cos<n,FG>=-------=——.

\FG\\n\2

直线GF与平面AEF所成角的正弦值为昱,

2

/.直线GF与平面所成角-.

3

【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行、垂直的判定及线面角的求法，属于中档题.

18.（15分）如图，平行四边形ABCD_L平面COE,AD=DC=DE=4,ZADC=60°,

AD±DE

（.I）求证：DE_L平面ABC。；

（II）求二面角C-AE-〃的余弦值的大小.

【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法

【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；5F：空间位置关系与距离；5G：空

间角

【分析】（I）过A作交DC于证明AHLQE,ADLDE,然后证明DE_L

平面ABCD；

（11）过。作6_14£）交40于加，过C作CN_LAE交相1于N,连接MN.说明NCNM

就是所求二面角的一个平面角.然后求解即可.

【解答】（本题满分15分）

证明：（I）过A作AH_LDC交DC于H.

平行四边形ABCD±平面CDE

r.AH_L平面C£>E

又DEu平面COE

A/7_L£）E'…①由已知A£>_LDE…②，AHAD=A...@

由①②③得，平面ABC。；...（7分）

解：（II）过C作CM_LA£>交"）于M,过C作CN_LAE交AE于N,

连接MN.

由（I）得DE_L平面A8CD,

又DEu平面ADE,

平面ADE_L平面ABCD.

CMLAE,

又CN垂直AE,且CMCN=C.

平面CMN,得角CNM就是所求二面角的一个平面角.

又CM=20,MN=近,

...（8分）

【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想

象能力以及计算能力.

19.（15分）抛物线丁=2px,p>0,歹为抛物线的焦点，A,8是抛物线上两点，线段

AB的中垂线交无轴于。（。,0）,«>0,m=\AF\+\BF\.

（I）证明：a是p,m的等差中项；

（II）若相=3p,/为平行于y轴的直线，其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值，求

直线/的方程.

【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合

【专题】38：对应思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】（/）根据IDA|=I。例得出a，"Z,2的关系得出