高中数学人教A版选修2-2（课时训练）：12 导数的计算

1.2导数的计算

1.2.1几个常用函数的导数

1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的

运算法则（一）

h预习导学i挑战自我，点点落实

［学习目标］

1.能根据定义求函数y=c（c为常数），y=x,y=尸也的导数.

2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.

［知识链接］

在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用

导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数

在某点处导数的方法，如何用定义求函数y=/U）的导数？

答（1）计算案，并化简；

⑵观察当Ax趋近于0时，空趋近于哪个定值；

（3）友趋近于的定值就是函数y=/（x）的导数.

［预习导引］

I.几个常用函数的导数

原函数导函数

yu）=c（c为常数）f(x)=0

Ax)=xf(x)=l

.*X)=%2fW=2x

1AX）=：f（”）=T

,*%)=正/⑴-2m

2.基本初等函数的导数公式

原函数导函数

/U）=c（c为常数）fW=Q

/U)=k(aGQ*)f（九）=退」

fix)=sinxf(x)=cosX

fix)=cosXf'(x)——sinx

7U)=Q'f(x)=a^\n_a(a>0,且aWl)

fix)=exf'。）=重

fi.X)=lOgaX/⑴―仙）肿＞°'且

«x)=ln尤fu)=7

要点一利用导数定义求函数的导数

例1用导数的定义求函数_/U）=2013/的导数.

,.2013(x+Ar)2—2013上

解于“)11叫x+Ax-x

2013[X2+2X-AX+(AJC)2]-2013X2

m

4026x9+20133)2

=驷--------瓦--------

=则)(4026x+2013Ax)

=4026x.

规律方法解答此类问题，应注意以下几条：

(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤.

⑵当Ar趋于0时，》Ax(kGR)、(△©"(〃GN*)等也趋于0.

(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用.

跟踪演练1用导数的定义求函数y=x2+or+//b为常数)的导数.

s,(x+Av)2+a(x+Ax)+/?—(x2+ar+/?)

解(=姻1)---------------a----------------------

x2+2x-Ax+(Ax)2+ar+6f-Ax+/?—x2—ar—/?

=则)-------------------a-------------------

2x-Ax+tz-Ax+(Ax)2

=Jin^(2x+a+Ax)=2x+a.

要点二利用导数公式求函数的导数

例2求下列函数的导数

⑴尸sin1；(2»=5七⑶尸，；(4)尸依；(5)y=log3龙.

解⑴旷=0；

(2)y'=(5A)Z=5'In5；

⑶y，=(x-3)/=-3x-4；

4y/x

(5)y,=(log3切二七

规律方法求简单函数的导函数的基本方法：

(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；

(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题

的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.

跟踪演练2求下列函数的导数：(l)y=%8；(2)y=g｝；(3)y=x\5；(4)y=log|x

解⑴旷=8/；

(2/=(如尹一枷12；

（4）V=-r=_jdn3'

xln3

要点三利用导数公式求曲线的切线方程

例3求过曲线3；=5吊》上点P值，§且与过这点的切线垂直的直线方程.

解•.•y=sinx,.\yr=cosx,

曲线在点尼，，处的切线斜率是：

,,71兀近

y|x=6=cos6=2-

2

，过点P且与切线垂直的直线的斜率为一力,

故所求的直线方程为y—3

即2%+小y-乎话=0.

规律方法导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率

乘积等于一1是解题的关键.

跟踪演练3已知点尸（一1,1）,点Q（2,4）是曲线上的两点，求与直线PQ平

行的曲线的切线方程.

解f=（X2）/=2x,设切点为M（xo,yo）,

1

则y|X=JW=2XO,

4—1

又的斜率为攵=干=1,而切线平行于产。，

.'.k=2xo=l,即无o=:,所以切点为朋（；，：）.

二所求的切线方程为y—1=x—3，即4x—4>-1=0.

1.已知yu）=f,则/（3）=（）

A.0B.lx

C.6D.9

答案C

解析V/(x)=x2,：.f(x)=2x,：.f(3)=6.

2.函数/U)=5，则(3)等于()

A.坐B.0

_LD勺

Cc2而D.:

答案A

解析•"(x)=g)'=赤，⑶=赤=*-

3.设正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线/,则直线/的倾

斜角的范围是()

兀］「3兀、

A.［o,4M彳,可B.[0,7i)

「兀3兀一-兀1「兀3兀

C.4,TD.o,au5T

答案A

解析,..(sin九)'=cosx,ki=cosx,，一iWkWl,

.「c兀］「3兀、

•.a/G0,aU彳，71I.

4.曲线y=^在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为

答案.

解析=(力'=ex,.".k=e2,

二曲线在点(2,e?)处的切线方程为y—e2=e2(x—2),

即y=e2》一e?.当尤=0时，y=~e2,当y=0时，x=l.

22

"'-SA=^X1x|—e|=1e.

1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和

运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.

2.有些函数可先化简再应用公式求导.

如求y=1—2sin?1'的导数.因为y=1—2sin2^=cosx,

所以y'=(cosx)'=—sinx.

3.对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.

一、基础达标

1.下列结论中正确的个数为（）

119

①y=ln2,则y'=］；②y=9,则孱3=一3；③y=2L则y'=2vln2；④

y=log2x,贝Uy'

A.0B.1

C.2D.3

答案D

解析①y=ln2为常数，所以y'=0.①错.②③④正确.

2.过曲线＞=:上一点P的切线的斜率为-4,则点P的坐标为（）

A.g2）B.J，2）或

（T-2）

C（T-2）D,&-2）

答案B

解析y'=（：），=—^=—4,尤=土;，故选B.

3.已知兀r）=K,若（一1）=-4,则a的值等于（）

A.4B.-4

C.5D.-5

答案A

解析/(%)=西「|，f(―l)=a(—l)a-l=—4,a=4.

4.函数凡r）=/的斜率等于1的切线有（）

A.1条B.2条

C.3条D.不确定

答案B

解析（x）=3/，设切点为（xo,>,（））,则3x3=1,得xo=土坐，即在点G尊，乎）

和点（一坐，一害）处有斜率为1的切线.

9

5.曲线在点M（3,3）处的切线方程是.

答案x+y—6=0

9

解析''y'.'.y'\x=3=—l,

二过点（3,3）的斜率为一1的切线方程为：

y-3=-（x-3）即x+y-6=0.

6.若曲线>=》一；在点（。，。一3处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为

18,则“=.

答案64

113

解析・.・y=x-・•・〈=_/一£，

・••曲线在点（d〃一,处的切线斜率攵=-%一方,

、、113

,切线方程为y—a~2=~2a~2^x~'

31

令x=0得y=/a—]；令y=0得x=3a.

•..该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

。1c3191,0.

]=不巧=18,..a=64.

7.求下列函数的导数：

⑴产海；（2）y=+；（3）y=-2sin,一2cos»

(4)y=log2X2—logw.

解(A，=(H>=闻’1=23十・

(2)y=(%)'=(%一4)'=-4X"4-1=-4x~5=

(3)：y=-2sin，(l—2cos尊

=2sin42cos号-l)=2sin5cos5=sinx,

二•y'=(sinx)r=cosx.

(4)Vy=log2X2-10g2X=10g2X,

"=(log2X)z=1厅

二、能力提升

8.已知直线＞=丘是曲线了=^的切线，则实数Z的值为（）

A.-B.-

e

C.—eD.e

答案D

yo=kxo

yo=exo

{k=cxo.

••exo-cxo,xo9••xo—1,・・Z=e.

TT

9.曲线y=lnx在x=a处的切线倾斜角为a，则a=.

答案1

解析y'=p'-y'k=a=^=l,.*.a=l.

10.点尸是曲线y=e'上任意一点，则点P到直线y=x的最小距离为

答案坐

解析

根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=e，相切于点(xo,yo),该切点即为

与y=x距离最近的点，如图.则在点(xo,泗)处的切线斜率为1,即y'|x=1w=

1.

力'=(力'=e\

/.exo=L得xo=O,代入＞=以得yo=l,即P(0,l).利用点到直线的距离公式

得距离为乎.

11.已知«x)=cosx,g(x)=x,求适合/'(x)+g'(x)W0的X的值.

解v/x)=cosx,g(x)=%，

'.f'(x)=(cos»=—sinx,g'(x)=x'=1,

由f(x)+g'(x)W0,得一sinx+lWO,

即sinx21,但sinxG[—l,l],

..sinx~1»♦♦•V=2ATI+/,ZGZ.

12.已知抛物线y=f,直线》一》—2=0,求抛物线上的点到直线的最短距离.

解根据题意可知与直线x—y—2=0平行的抛物线y=/的切线，对应的切点到

直线x—y—2=0的距离最短，设切点坐标为(xo,xo),则y'|x=xo=2xo=l,

所以xo=今所以切点坐标为(；，；),

切点到直线x—y—2=0的距离

1-1-2

,2427^r2

"=蛆=8，

所以抛物线上的点到直线九一y—2=0的最短距离为平.

三'探究与创新

13.设力(x)=sinx,fi(x)=fro(x),i(x),—,■+©)=/'心)，〃金N,

试求力014(X).

解/i(x)=(sinx)'=cosx,

fi(x)=(cosx)'=—sinJC,

力(x)=(_sinx)'=—cosx,

户(x)=(—cosx)'=sinx,

,方(x)=(sinx)'=/i(x),

f6(X)=f2(X),",

fn+4(x)=fn(x),可知周期为4,

.".f2oi4(x)=fi(x)=—sinx.

1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

尹预习导学餐挑战自我，点点落实___________________________________________________________

［学习目标］

1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.

2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的

导数.

3.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导.

［知识链接］

前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做

起题来比用导数的定义显得格外轻松.我们己经会求加)=5和g(x)=1.05x等基

本初等函数的导数，那么怎样求/U)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？

答利用导数的运算法则.

［预习导引］

1.导数运算法则

法则语言叙述

两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或

[/(X)±g(x)]'=f'(x)±/(x)

差)

两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函

[/u>ga)r=♦⑶云制+心)火’a)

数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数

_f(x)g(x)一./)，(x)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘

S(x)WO)

[g(X)F上分母的导数，再除以分母的平方

2.复合函数的求导法则

复合函数一般地，对于两个函数和"=g(x),如果通过变量〃，y可以表示成x的函数,

的概念那么称这个函数为y=A")和"=g(x)的复合函数，记作y=/l?(x))

复合函数y=Xg(x))的导数和函数“=g(x)的导数间的关系为="•"

复合函数的求导法则

即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积

尹课堂讲义i重点难点，个个击破___________________________________________________________

要点一利用导数的运算法则求函数的导数

例1求下列函数的导数：

(1)产丁一微+3；

(2)y=(f+l)(x—1)；

(3)y=3v-lgx.

解(l)y'=(炉)'一(2x)'+3'=3f—2.

(2)'/y=(x2+l)(x—l)=x3—A2+X—1,

.'.y'=。3)'—(x2)'+无，-1'=3x2—2x+1.

(3)函数y=3*—Igx是函数7U)=3x与函数g(x)=]gx的差.由导数公式表分别得

出了'(x)=3*ln3,g'(》)=舟而，利用函数差的求导法则可得

(3，-lgx)'=f(x)-g'(x)=3'ln3-^o.

规律方法本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系

基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转

化为较易求导的结构形式再求导数.

跟踪演练1求下列函数的导数：

(l)y=5—4/；(2)y=+xcosx；

(3)y=ev-lnx；(4)y=lgx-^.

解⑴旷=-12^；

(2)y'=(3f+xcosx)'=6x+cos%—xsinx；

(3)y，=&+e，lnx；

,1,2

⑷丁=xln1。+/

要点二求复合函数的导数

例2求下列函数的导数：

(l)y=ln(x+2)；

(2)y=(l+sinx)2；

解(l)y=lna,“=x+2

••y'x—y'u-u'x=(ln")，.(x+2)，=7+2,

(2)y=i?,u=1+sinx,

.'.yx'=yu'-ux=(〃2)'・(l+sinx)，

=2M-COSX=2COSx(l+sinx).

规律方法应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：

(1)中间变量的选取应是基本函数结构.

(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导.

(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导.

(4)善于把一■部分表达式作为一■个整体.

(5)最后要把中间变量换成自变量的函数.熟练后，就不必再写中间步骤.

跟踪演练2(l)y=e^+1；

⑵y=(g2)2.

解(l)y=e",“=2x+l,

：.y'x=y'u-u'x=(ew)/•(2x+l)/=2e,,=2e2-v+l.

⑵法一,.•>=(5—2)2=x—45+4,

：.y'=x'—(4也)，+4Z

112

=1-4X^-^=1—F.

法—令u=yj'x-2,

贝ijyj=2（小一2）・（5-2）'=

2g2）鼠-。）=1一表

要点三导数的应用

例3求过点（1,一1）与曲线式》）=V一2%相切的直线方程.

解设P（x（）,yo）为切点，则切线斜率为

k=f（xo）=3x6—2

故切线方程为y—yo=（3X6—2）（x—xo）①

（xo,"）在曲线上，，〃尸向一2x（）②

又；（1,—1）在切线上，

.,.将②式和（］,—1）代入①式得

-1一（向-2ro）=（3xB-2）（1-xo）.

解得xo=1或xo=一2.

故所求的切线方程为y+l=Ll或y+l=—永x—l）.

即x—y—2=Q或5x+4y—1=0.

规律方法（1,—1）虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该

点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解.

t—1

跟踪演练3已知某运动着的物体的运动方程为s⑺=干+2户（位移单位：m,

时间单位：s）,求f=3s时物体的瞬时速度.

解⑺=^^+2-=}-/+2产=;—}+2尸，

0）=-"+2$+"

・"（3）=力1京2+12=芳323，

即物体在，=3s时的瞬时速度为3若23m/s.

F当堂检测J当堂训练，体验成功

1.下列结论不正确的是（）

A.若y=3,则>'=0

B.若人幻=3尤+1,则/(1)=3

C.若丁=一m+x,则y'

D.若y=sinx+cosx,则y'=cosx+sin九

答案D

解析利用求导公式和导数的加、减运算法则求解.D,Vy=sinx+cosx,

".y'=(sinx)'+(cosx)'=cos%—sinx.

2.函数^=高的导数是()

—sinx+xsinx

A.

(LX)2

B.

xsin尤一sinx-cosx

(If?

cosx-sinx+xsin无

c

(LX)2

D.

cosx-sinx+xsinx

\—x

答案c

的士U,(cosx\,(-sinA-)(l-x)-cosx\-1)

解析y=L—J=---------f---------

cosx-sinx+xsinx

(1—X)2-

Y

3.曲线y=壬在点(一1,一1)处的切线方程为()

A.y=2x+1B.y=2x—1

C.y=-2x~3D.y=-2x+2

答案A

物垢..,[(X+2)-MX+2)'2

解析•'=正?=(7+2?)

_2

•'-k=yk=-i=(_]+2)2=2,

二切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+l.

4.直线是曲线y=lnx(x>0)的一条切线，则实数b=.

答案In2-1

解析设切点为(xo,"),

..,=1.1=1

•y、.,广怎)，

/.xo=2,/.yo=ln2,In2=^X2+/?,.*./?=ln2—1.

课堂小结

求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法

则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算

法则，联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适

当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、

瞬时速度等问题.

尹分层训练解疑纠偏，训练检测

一、基础达标

1.设y=-2e，sinx,则等于()

A.—2e^cosxB.—2evsinx

C.2cAsinxD.-2ev(sinx+cos

幻

答案D

解析yf=­Zle^sinx+e'cosx)=­2ev(sinx+cosx).

x2+/

当函数(。>在%处的导数为时，那么

2.y=--A.-0)=xo0xo=()

A.aB.±a

C.—aD.a2

答案B

岳匚，2

解R析+=1—/=一Ix-x—9^一+a)x1—cr,

由JCB一屋=0得xo=±a

x~\~1

3.设曲线y==在点(3,2)处的切线与直线分+)，+1=0垂直，则a等于()

A.2B.2

C.-2D.—2

答案D

解析\'y='~r—1+r,

x—1x—1

・/2.___1

**y-&_])2・・・y卜=3-2,

/e—4=2,即Q=-2.

4.已知曲线y=T在点尸处的切线斜率为Z,则当攵=3时的P点坐标为()

A.(-2,-8)-1)或(1,1)

C.(2,8)D.(一今-1)

答案B

解析y'=3/,,:k=3,/.3X2=3,/.X=±1,

则P点坐标为(一1,一1)或(1,1).

5.设函数火x)=g(x)+N,曲线y=g(x)在点(1,g(l))处的切线方程为y=2x+l,

则曲线y=_Ax)在点(1,_/0))处切线的斜率为.

答案4

解析依题意得了'(x)=g'(x)+2x,

/⑴=g，(l)+2=4.

6.已知|x)=¥+34'(0),则/(1)=.

答案1

解析由于/（0）是一常数，所以，a）=f+3/'（0）,

令x=0,则f(0)=0,

"⑴=12+3/(0)=1.

7.求下列函数的导数：

(l)y=(2r2+3)(3x-l)；

小.xx

(2)y=x—sin]cos,

解⑴法一y'=(2?+3)'(3x-l)4-(2x2+3)(3x-l)/=4x(3x—1)+3(2/+3)

=18%2—4x4-9.

法二Vy=(2x2+3)(3x-l)=6x3-2x2+9x-3,

.'.y'=(6x3—2x2+9x—3)z=18/—4x+9.

小、一

(2).y=x—si.nx5cosX/=x—]1si.nx,

.".y1=x'-(gsinj，=]一/cosx.

二、能力提升

8.曲线产一；2短：4在点端'0)处的切线的斜率为()

A--2B.1

C.一乎D.乎

答案B

物,_cosx(sin元+cosx)—sinx(cosx-sin%)_______1______

，(sinx+cosx)2(sinx+cosx)2'

曲线在点陪，o）处的切线的斜率为g.

4

9.已知点尸在曲线m•上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取

值范围是（）

Knn

A.[0,4)B.耳,2)

C.刍y]D.传，兀)

答案D

vr

解析>'=一百4e看=一彘/4存e7,设/=e'£（°，+8），则y'At

尸+2r+1

——7-,"：t+^2,：.y'G[—1,0）,aS[普，兀）.

r+y+2

10.(2013•江西)设函数;(x)在(0,+8)内可导，且4ex)=x+e\则/(1)=.

答案2

解析令则x=lnf,所以函数为〃)=lnf+f,即«x)=lnx+x,所以/'(x)

=:+1，即/'(1)=；+1=2.

11.求过点(2,0)且与曲线y=V相切的直线方程.

解点(2,0)不在曲线>=好上，可令切点坐标为(加，意).由题意，所求直线方程

的斜率Z=®^=y'|x=xo=3x8,即0=3x6,解得x()=0或xo=3.

xo—2,犬()-2

当xo=O时，得切点坐标是(0,0),斜率上=0,则所求直线方程是y=0；

当xo=3时，得切点坐标是(3,27),斜率％=27,

则所求直线方程是y—27=27(x—3),

即27x—y—54=0.

综上，所求的直线方程为y=0或27x—y—54=0.

12.已知曲线大x)：%3一?》，过点A(0』6)作曲线_/U)的切线，求曲线的切线方程.

解设切点为(xo,yo),

则由导数定义得切线的斜率％=/'(xo)=3焉一3,

二切线方程为J=(3A8—3)x+16,

又切点(xo,yo)在切线上，

.,.yo=3(而一l)xo+16,

即蛭-3xo=3(x6—l)xo+16,

解得xo=-2,

二切线方程为9x—>1+16=0.

三、探究与创新

13.设函数1x)=ax-&曲线y=/(x)在点(2,犬2))处的切线方程为7x—4y—12

=0.

(1)求/U)的解析式；

(2)证明：曲线y=Ax)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形

的面积为定值，并求此定值.

7

(1)解由7x—4y—12=0得了=甲：一3.

当尤=2时，y=1,.*.y(2)=1,①

b

又，(x)=a+9,

7

■-f(2)=4，②

Jb1

2a—5=]

由①，②得＜/[

a+吼工

卜十44'

解之得J[a=\.

3

故儿¥)=》一..

(2)证明设P(xo,泗)为曲线上任一点，由y'=1+5知

曲线在点P(xo,加)处的切线方程为

y—yo=(l+^(%—xo),

即＞一1°_£|=11+高(》一.).

令尤=0得y=—从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0,一§.

令y=x得y=x=2xo,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2xo,2xo).

所以点P(xo,泗)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为g—3\2xo\=

6.

故曲线y=/（x）上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定

值，此定值为6.

1.2导数的计算

1.2.1几个常用函数的导数

1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的

运算法则（一）

?预习导学J挑战自我，点点落实

［学习目标］

1.能根据定义求函数y=c（c为常数），y=x,>=/,y=也的导数.

2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.

［知识链接］

在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用

导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数

在某点处导数的方法，如何用定义求函数y=«r）的导数？

答（1）计算会，并化简；

⑵观察当1趋近于0时，言趋近于哪个定值；

（3）都趋近于的定值就是函数y=/（x）的导数.

［预习导引］

1.几个常用函数的导数

原函数导函数

式x）=c（c为常数）f'(x)=0

於)="rw=i

f

1A%)=♦U)=2x

人工）=（

网=疝f

2.基本初等函数的导数公式

原函数导函数

凡r）=c（c为常数）f«=0

_/U)=f(aWQ*)f(x)=ax£!

J(x)=smxf(x)=cosX

/(x)=cosxf'(x)=_sin_x

7(x)=〃f'(x)=d'lna(a>0,且aWl)

力>)=^f(x)=e

y(x)=iog«x，（无）一二胖＞°,且a"】）

Xx)=lnx/(x)=}

守课堂讲义I重点难点，个个击破_____________________________________________

要点一利用导数定义求函数的导数

例1用导数的定义求函数1x）=2013/的导数.

2013。+以)2—2013』

解/a）=L瓯

2O13[X2+2X-Z\X+(AA02]-2013%2

=驷&

4026x・Ax+2013(4x)2

=则(4026x+2013Ax)

=4026x.

规律方法解答此类问题，应注意以下几条：

(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤.

⑵当Ax趋于0时，取5伙WR)、(Ax)"(〃GN*)等也趋于0.

(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用.

跟踪演练1用导数的定义求函数>=<+依+双。，〃为常数)的导数.

„,(x+^x)1+a(x+^x)+b—(x1+ax+b)

解)=1^—一一七-------

f+irAx+lAxy+ar+aAx+Z?—%2一以一〃

=如-------------------a-------------------

2X-Z\X+(2-AX+(AX)2

=如&

=]in^(2x+a+Ar)=2x+a.

要点二利用导数公式求函数的导数

例2求下列函数的导数

(1)尸sin$(2)y=5'；⑶尸土；(4»=蛇；(5)y=log3X.

解(l)y'=0；

(2)y'=(5、)'=5vln5；

(3)y'=(x3)z=-3x-4；

(5》=(log3x)，=焉

规律方法求简单函数的导函数的基本方法：

(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；

(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题

的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.

跟踪演练2求下列函数的导数：(l)y=x\(2)y=(g)；(3)y=x\&；(4)y=log|x.

解（i）y'=8/；

要点三利用导数公式求曲线的切线方程

例3求过曲线〉=511尢上点§且与过这点的切线垂直的直线方程.

解Vy=sinx,/.y,=cosx,

曲线在点端，0处的切线斜率是:

,I冗兀也

y户［COS12.

2

过点P且与切线垂直的直线的斜率为一而

故所求的直线方程为

即2x+小y-乎一鼻=0.

规律方法导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率

乘积等于一1是解题的关键.

跟踪演练3已知点P(—l,l),点Q(2,4)是曲线上的两点，求与直线PQ平

行的曲线y=f的切线方程.

解,->>=(，)'—2x,设切点为M(xo,yo),

则y'|x=xo=2xo,

4—1

又：尸。的斜率为4=干=1,而切线平行于PQ,

.'.k=2xo=\,即xo=5，所以切点为

二所求的切线方程为y—(=x—即4x—4y—l=0.

歹当堂检测:当堂训练，体验成功

1.已知_/U)=f，则/(3)=()

A.0

C.6

答案C

解析V/x)=x2,：.f(x)=2x,：.f(3)=6.

2.函数yu)=5，则/'(3)等于()

°，2y1x

答案A

解析（x）=（也）'=2也，•"⑶=

3.设正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线/,则直线/的倾

斜角的范围是（）

兀］「3兀、

A.0,aU了,可B.［0,兀）

c:

J|_4'

答案A

解析：（sin九）'=cosx,ki=cosx,二一iWhWl,

.「c兀］「3兀A

•.a/G0,aUI，71I.

4.曲线y=^在点（2,e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为

答案上

解析=(ex)/=e%,：.k=e2,

二曲线在点(2,e?)处的切线方程为y—e2=e2(x—2),

即y=e2x—e?.当尤=0时，j?=—e2,当y=0时，x=l.

22

•'-5A=^X1x|—e|=^e.

课堂小结

1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和

运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.

2.有些函数可先化简再应用公式求导.

如求y=l—2si若的导数.因为）­=1—2sin21=cosx,

所以y'=（cosx）'=—sinx.

3.对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.

尹分层训练解疑纠偏，训练检测

一、基础达标

1.下列结论中正确的个数为（）

119

①y=ln2,则=2；②y=/，则>'1=3=一或；③y=2L则；/=2vln2；④

y=log以，则旷=焉.

A.0B.1

C.2D.3

答案D

解析①y=ln2为常数，所以y'=0.①错.②③④正确.

2.过曲线>=:上一点尸的切线的斜率为-4,则点P的坐标为（）

A.&2）B.&2）或

C.(T—2)D.&-2)

答案B

解析y'=(；)=—^=-4,x=±1,故选B.

3.已知九x）=K,若/'（一1）=-4,则a的值等于（）

A.4B.-4

C.5D.-5

答案A

解析/'(x)=aKf(—l)=a(—l)fl'=-4,a=4.

4.函数段)=炉的斜率等于1的切线有()

A.1条B.2条

C.3条D.不确定

答案B

解析：/'(x)=3f,设切点为(xo,yo),则3xS=l,得次=土坐即在点(当，平)

和点(—坐，—平)处有斜率为1的切线.

9

5.曲线在点M(3,3)处的切线方程是.

答案x+y—6=0

9

解析•・»=—/..・/|工=3=—1,

・・・过点(3,3)的斜率为一1的切线方程为：

y—3=一(九一3)即x+y-6=0.

6.若曲线在点(。，。一目处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为

18,则。=.

答案64

113

解析\'y=x-y・•・〈=一＞一,

・••曲线在点(a,4—；)处的切线斜率4=—%一方，

113

・二切线方程为,_〃_/=_呼_2(九一。).

3

-

令x=0得y2令y=0得x=3a.

..•该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

13191

S=5・3%a—5=7叼=此/.a=64.

7.求下列函数的导数:

⑴产洞(2)y=$；(3)y=-2sin2cos》

(4)y=log2X2—logzx.

解(3=你?)'=(用'=需一1=1"一,=十.

5炉

=2sin32cos号-"XX

=2sin5cosy=sinx,

*.y'=(sinx)'=cosx.

(4)*/y=logzx2-log2X=1og2X,

=(10gw),=*？

二、能力提升

8.已知直线＞=区是曲线丁=^的切线，则实数%的值为（）

A.!_1

eB.e

C.一eD.e

答案D

yo=kxo

yo=exo

{k=cxo.

••exo=exo'Xo,••xo=1,・・Z=e.

TT

9.曲线y=lnx在x=a处的切线倾斜角为a，则a=.

答案1

解析y'=；,­"-)>'|x=a=：=l,：.a=l.

4Cl

10.点尸是曲线y=e，t上任意一点，则点P到直线y=1x的最小距离为

答案坐

解析

根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=ex相切于点(次，刈)，该切点即为

与^=%距离最近的点，如图.则在点(xo,州)处的切线斜率为1,即y'卜=尤0=

1.

''y'=e)'=eS

/.exo=l,得xo=O,代入y=H得yo=l,即尸(0,1).利用点到直线的距离公式

得距离为乎.

11.已知«x)=cosx,g(x)=x,求适合/(x)+g'(尢)<0的X的值.

解:於)=COSX,g(x)=x,

:・f(x)=(cosx)'=—sinx,g'(x)=xr=1,

由f'(x)+g'(x)W0,得一sinx+1W0,

即sin121,但sinx^[—1,1],

兀

/.sinx=1,.'.x—2kn+^,%ez.

12.已知抛物线y=f,直线x-y—2=0,求抛物线上的点到直线的最短距离.

解根据题意可知与直线无一y—2=0平行的抛物线的切线，对应的切点到

直线x—y—2=0的距离最短，设切点坐标为(x(),xB),则y'|x=xo=2xo=l,

所以xo=；,所以切点坐标为(g,；),

切点到直线x—y—2=0的距离

1-1-2

,2427^r