高中数学题型全面归纳（学生版）：第三节圆的方程

第三节圆的方程

考纲解读

1.掌握确定圆的三个条件、圆的标准方程与一般方程.

2.能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，结合圆的几何性质

解与圆有关的问题.

命题趋势探究

高考中与圆有关的问题主要是圆的方程的求解，四种方程中标准方程是运用最广泛的，

因为它能反映圆的几何特征（圆心和半径），通常用待定系数法求圆的方程.

有关圆的考题，多在选择题、填空题中结合参数方程、极坐标的形式出现，重点考查标

准方程和一般方程，难度不大，有时也将圆融入圆锥曲线中作为解答题考查.

预测2019年高考本专题会主要考查：

（1）结合直线方程，用待定系数法求圆的方程.

（2）利用圆的几何性质求动点的轨迹方程.

知识点精讲

一、基本概念

平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆.

二、基本性质、定理与公式

1.圆的四种方程

（1）圆的标准方程：（x—a）2+（y—6）2=产，圆心坐标为色力），半径为r（r>0）

(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(Z)2+£2-4F>0),圆心坐标为

*3半径”y1D2+E2-4F

2

（3）圆的直径式方程：若4（内，必）,8（%2，%），则以线段AB为直径的圆的方程是

(x-玉)0-)+(y-y)(y-%)=o

(4)圆的参数方程：

x=rcos®

①一+丁2=t2(t>0)的参数方程为4(。为参数);

y=rsin0

…,fx=a+rcosO,.

②（x-0）92+（y-。）2=产（r>O）的参数方程为4（。为参数）.

y-b+rsind

注对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为

（a+rcosaO+rsin。）（8为参数，（a力）为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三

角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最

值.

2.点与圆的位置关系判断

（1）点—（%，%）与圆（x-a）2+（y-b）2="的位置关系:

①(x-a)2+(y-b)2>r2=点P在圆外；

②(x-a)?+(y-0)2=r2o点P在圆上；

@(x-a)2+(y-b)2<r2o点尸在圆内.

22

(2)点P(x0,y0)与圆x+y+Dx+Ey+F=0的位置关系：

①x：+y；+"o+EVo+尸>°o点尸在圆外；

②x：++Dx(}+Ey0+尸=。o点P在圆上；

③+y：+法。+Ey()+E<0o点尸在圆内.

题型归纳及思路提示

题型125求圆的方程

思路提示

(1)求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆

心坐标3步)和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点.因此，待定系数法是求

圆的方程常用的方法.

(2)用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂

直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等.

例9.17根据下列条件求圆的方程：

(1)AABC的三个顶点分别为4(-l,5),8(-2,-2),C(5,5),求其外接圆的方程；

(2)经过点4(6,5),B(0,1),且圆心在直线3x+10y+9=0上；

(3)经过点P(-2,4),Q(3,-1),且在x轴上截得的弦长等于6.

变式1在平面直角坐标系xO），中，曲线y=x2-6x+l与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C

的方程

例9.18（1）（2016•天津）已知圆。的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心

4^5

到直线2L），=0的距离为个一，则圆C的方程为.

（2）（2015•课标全国I）一个圆经过椭圆器+千=1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则

该圆的标准方程为.

变式1求与x轴相切，圆心在直线3x-），=0上，且被直线x-），=0截得的弦长为的圆的方

程

例9.19圆/+y?—2x—1=0关于直线2x・y+3=0对称的圆的方程是()

A.(x+3)2+(y—2)2=；B.(x—3)2+(y+2)2=；

C.(x+3)2+(y—2>=2D.(x—3)2+(y+2)2=2

变式1若不同两点PQ的坐标分别为，(a,份,(3-。,3-。),则线段2。的垂直平分线/的斜

率为,圆。一2>+(y—3>=1关于直线/对称的圆的方程为

题型126直线系方程和圆系方程

思路提示

求过两直线交点(两圆交点或直线与圆交点)的直线方程(圆系方程)一般不需求其交

点，而是利用它们的直线系方程(圆系方程).

(I)直线系方程：若直线人：A/+gy+G=0与直线/2：4工+82丁+。2=0相交于

点P,则过点P的直线系方程为：

4(A/+B[y+C])+%?(A,x+B,y+C?)=0(4+4；¥0)

简记为:M+弘=。(若+若n0)

当470时，简记为：/j+〃2=o(不含4)

(2)圆系方程：若圆G：x2+)'+Rx+E],+6=0与圆

。2：/+V+。2%+七2丁+工=0相交于A,B两点，则过A.B两点的圆系方程为：

x~+y~+D[X+E]_y+£+4(x~+)/+D、x+E2y+)=0(A-1)

简记为：C,+AC2=0(A^-l),不含。2

当A=-l时，该圆系退化为公共弦所在直线(根轴)

X

I:(D,-D2)+(E(-E2)y+Fi-F2=0

注与圆C共根轴/的圆系C/:。+刀=0

例9.20(1)设直线4:x—y+l=0与直线4：2x+y+2=0相交于点P,求过点P且与直

线&：2尤一3y-1=0平行的直线乙的方程.

(2)求圆心在直线3x+4y—l=0上且过两圆/+y2-x+y-2=0与V+y2=5

的交点的圆的方程.

变式1过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x—4y+l=0的交点且面积最小的圆的方程

是_________

变式2(1)设直线乙：x—y=O与直线4：x+y—4=0相交于点P,求过点P且与直线

h：3x+4.y+5=0垂直的直线)的方程.

(2)已知圆C:X?+丁-2x-4y-m=0,若直线/:x+y—2=0与圆C相交于A,8

两点，且Q4LO3(。为坐标原点)，求，〃的值和以A8为直径的圆的方程.

题型127与圆有关的轨迹问题

思路提示

要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x,y的等量关系,根据题目条件,

直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在.

例9.21（2016•天津模拟）设定点软一3,4）,动点及在圆V+/=4上运动，以。伙为两

边作平行四边形，姒W,求点尸的轨迹.

变式1在A43C中，若A6=2,AC=垃BC,则SMBC的最大值为

例9.22如图9-11所示，已知P(4,0)是圆/+丁=36内的一点，A,B是圆上两动点，且满

足NAP8=90°,求矩形AP8。的顶点。的轨迹方程

图9/1

变式1已知圆V+y2=4上一定点42,0),8(1,1)为圆内的一定点，P,。为圆上的动点.

(1)求线段AP中点”的轨迹方程；

(2)若NPBQ=90°,求线段PQ中点N的轨迹.

变式2已知点尸(0,5)及圆C:x2+y2+4x-i2y+24=0

(1)直线/过P且被圆C截得的线段长|A81=4百，求/的方程;

(2)求过点尸的圆C的动弦的中点M的轨迹方程.

题型128用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件

思路提示

方程/+/+瓜+4+尸=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0,故在解决圆

的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件.在圆的一般方程中，圆心为

f-—1,半径「=!」。2+£2-4人

1222

例9.23方程%?+y?+。工+2。）,，+2〃+。-1=0表示圆，则a的取值范围是（）

D2

A.(-co,-2)Bvr0C.(-2,0)VI

评注对于用二元二次方程表示圆的方程的充要条件的不等式不需要记忆,只需通过配方,

然后让右边大于零即可

变式1方程/+：/+4蛆-2y+4根=0表示圆的方程的充要条件是（）

A.meB.me(1,-KX))

C.加D.mGju(l,+°o)

变式2若圆/+；/+(/-1h+2分一。=0关于直线x—y+l=O对称，则实数。的值为

题型129点与圆的位置关系判断

思路提示

在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外

还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约.

例9.24若点A(l,l)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则实数a的取值范围是()

A.(-l,l)B.(O,1)C.(-.oo,-l)U(l,+oo)D.{-1,1}

评注判断点与圆的位置关系的代数方法为

22

若点P(x0,y0)在圆上，则((-a)?+(y0-b)=r；

若点P(x0,y0)在圆外则(％—a)?+(%—少>产;

若点「(公,九)在圆内，则(与一。)2+(九一份2〈产.

反之也成立.

变式1点A(1,O)在圆/-2ax+a2+3“-3=0上，则〃的值为

变式2过占尸(1,2)可以向圆x2+y2+2x—4y+&-2=0引两条切线，则k的范围是()

A.(-oo,7)B.(0,7)C.(3,7)D.(5,+oo)

题型30与圆有关的最值问题

思路提示

解决此类问题，应综合运用方程消元法、几何意义法、参数方程法等各种思想和方法求

解，才能做到灵活、高效.

例9.25已知实数x,y满足方程Y+/2一©+1=0

(1)求上的最大值和最小值；

x

(2)求y-x的最大值和最小值；

(3)求Y+V的最大值和最小值

评注涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解.一般地：

(1)形如〃=2二2的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.

x—a

(2)形如f=+的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

(3)形如m=(工一。)2+()，一加2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平

方的最值问题

例9.26(2017北京文)己知点p在圆/+丁=1上，点A的坐标为(一2,0),。为原点，则

AO-AP的最大值为.

变式1若圆一+(y—l)2=1上任意一点(x,y)都使不等式x+y—m20恒成立，则实数小的

取值范围是()

A.(-)x),l-B.[1—V2,+co)C.(―oo,~\/2—1]D.(―<x>,V2+1]

变式2若圆■?+(y-1猿=1上任意一点(小)都使不等式J(X-2)2+/一3―。恒成立,

则实数巾的取值范围是()

A.(-so,!—B.[1-A/^,+CO)C.(-OO,VS-1]D.(—℃,Vs+1]

题型131数形结合思想的应用

思路提示

研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像.在此过程中，

尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误.

例9.26（2017新课标HI理）在矩形ABC。中，AB=1,AO=2,动点P在以点C为圆心且与

8D相切的圆上，若丽=4而+〃击，则4+〃的最大值为（）

A.3B.2V2C.>/5D.2

变式1方程x=表示的曲线是（）

A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆

例9.27直线y=x与曲线了=";2有且仅有一个公共点，则人的取值范围是（）

A.{-V2,V2）B.^[-1<ZJ<1^/?=-V2}

C.{fe|-l<Z?<l}D,j/?|Z?>V2}

变式1当曲线y=1+的二%^与直线y=A(x-2)+4有两个相异交点时，实数Z的取值范

围是()

A.2+00533

B.D.

112n4354

变式2若直线y=x+b与曲线y=3—后二7有公共点，则人的取值范围是()

A.[-1,1+272]B.[1-2V2,1+2V2]C.[1-272,3]D.[l-V2,3]

变式3设集合A=<(x,y)f«(x-2)2+y2<m2,x,yeR>,

B=x+y<2m+\,x,yG/?},若4口8不0,则实数机的取值范围是

最有效训练题40(限时45分钟)

1.若直线产质与圆/+：/—4x+3=0的两个交点关于直线x+尹氏。对称，则()

A.k=l,b=-2B.k=l,b=2C.k=-l,b=2D.k=-l,b=-2

2.若点(4小1,3〃+2)不在圆(x+l)2+(y-2)2=25的外部，则”的取值范围是()

A卜手用B(-U)C弋,*

r2v21

3.设椭圆j+A=l(a>/?>0)的离心率为e=上，右焦点为尸(c,O),方程

a'b'2

G?+Z?X-C=O的两个实根分别为X]和W，则点尸(%,X2)()

A.必在圆J?+y2=2内B.必在圆J?+y2=2上

C.必在圆V+y2=2外D.以上三种情形都有可能

4.已知圆，+/=4,过点A(4,0)作圆的割线4BC,则弦BC中点的轨迹方程是()

A.(x-l)2+y2=[Kx<g)

B.(x-l)2+y2=4(0<x<l)

C.(x—2)2+y2=4(_]«X<£]

D.(x-2)2+y2=4(0<x<1)

5.已知两点A(-1,0),8(0,2),点P是圆(x—1尸+V=i上任意一点，则APAB面积的最大值

与最小值分别是()

A.2,-(4-V5)B.-(4+75),-(4-75)

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