人教A版新教材高中数学第二册第二册第六章章末复习

第六章章末复习

『知识系统整合』

几何表示

平面向量的概念字母表示

坐标表示

平

面

向

量

及

其

应

用

余弦定理、

正弦定理

应用

已知两边及其中一边的

应用举例对角，求其他边和角

『规律方法收藏』

1.本章我们学习的向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段的

起点位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量.数学中的向量指的是自由向量,

根据需要可以进行平移.

2.共线向量条件和平面向量基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进

一步研究向量正交分解和用坐标表示向量的基础.

3.向量的数量积是一个数，当两个向量的夹角是锐角或零角时，它们的数量积为正数；当

两个向量的夹角为钝角或180。角时，它们的数量积为负数；当两个向量的夹角是90。时，它

们的数量积等于0.零向量与任何向量的数量积等于0.

通过向量的数量积，可以计算向量的长度(模卜平面内两点间的距离、两个向量的夹角，判

断相应的两条直线是否垂直.

4.平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题，要注意“三部曲”；用向量解决物理

问题，体现了数学建模的要求，要根据题意结合物理意义作出图形，转化为数学问题，再通

过向量运算使问题解决.

5.正、余弦定理将三角形边和角的关系进行量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供

了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余

弦定理完成证明，求值问题.

(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解.

(2)解三角形与其他知识交汇问题，可以运用三角形的基础知识，正、余弦定理、三角形的

面积公式与三角恒等变换，通过等价转化构造方程及函数求解.

6.学习本章要注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进

行横向类比.

7.向量是数形结合的载体.在本章学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；

另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题.同

时，向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范

围和手段.

『学科思想培优』

一、向量的线性运算

向量的线性运算包含向量及其坐标运算的加法、减法、数乘，向量的加法遵循三角形法则和

平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加法满足交换律、结合律，数乘向

量满足分配律，向量的线性运算也叫向量的初等运算，它们的运算法则在形式上很像实数加

减法与乘法满足的运算法则，但在具体含义上是不同的.不过由于它们在形式上相类似，因

此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中都可以使用.如

果ei,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量。，有且只有一

对实数九，九2，使a=%1为+%202.

DC

『典例U如图，梯形/BCD中，AB//CD,点N分别是8C的中点，且工苏=总

AD

设E=ei，Ai=e2,以｛ei，4｝为基底表示向量虎，前,Mk.

『典例2」已知线段的端点为N(x,5),5(-2,y),直线N3上的点C(l,l),且凶丁尸

求x,y的值.

二、向量的数量积运算

向量的数量积运算是本章的核心，由于向量数量积的运算及其性质涵盖向量的长度、角度以

及不等式等，因此它的应用也最为广泛.利用向量的数量积可以求长度、也可判断直线与直

线之间的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向量的坐标运算将代数中的有关函数、不

等式等知识融合在一起.

『典例3』在△CM2中，0^=a,0^=b,是边上的高，若力)=讪则实数%

等于

（十一〃）•〃（〃一〃）〃

A.B.

\a-b\|«—6|2

（〃一4）4（〃一』）"

C.D.

|«—6|2\a-b\

『典例4」平面内有向量9=(1,7),仍=(5,1),9=(2』)，点M为直线。尸上的一动点.

(1)当扇•林取最小值时，求丽勺坐标;

(2)在(1)的条件下，求cosZAMB的值.

三、向量的应用

向量的应用是多方面的，但由于我们所学的知识范围较窄，因此我们目前的应用主要限于平

面几何以及用来探讨函数、三角函数的性质等方面，当然还有在物理方面的应用.

『典例5』在中，港•就=0,|卷=12,|此|=15,/为线段3C的垂直平分线，I

与8C交于点。，£为/上异于。的任意一点.

⑴求布•费的值；

(2)判断港•国的值是否为一个常数，并说明理由.

『典例6』平面向量。=(小，-1),6=@，孚)，若存在不同时为。的实数人和/,使x

=。+仁-3)力，y=~ka+tbf且*_1>,试求函数关系式左=人。.

『典例7」已知△ZBC中，4(2,4),5(-1,-2),C(4,3),边上的高为4D

⑴求证：AB±AC；

⑵求点D和向量T)的坐标;

(3)设求cos。；

⑷求证：AD2=BDCD.

『典例8』在△4BC中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量朋=(a+c,6)与

向量”=(“一c,a)互相垂直.

⑴求角C；

⑵求siiL4+siiiB的取值范围.

四、数形结合思想

向量本身既有大小，又有方向，可以用几何法表示，而向量又有良好的运算性质一坐标运

算，可把向量与数联系起来，这样向量具备了“数"与“形''的两方面特征.两条直线平行、垂

直，三点共线等几何问题，可通过向量的坐标运算这种代数手段实现证明，还可利用向量的

数量积处理线段的长度、角度等问题.

『典例9」已知向量。与6不共线，且同=例加，则下列结论正确的是()

A.向量a+b与a—5垂直

B.向量a—6与a垂直

C.向量与“垂直

D.向量a+b与a—5共线

『典例10』已知向量份=(2,0),向量比=(2,2),向量第=(娘cosa,Musina),则向量次

与

向量份的夹角的取值范围为()

八兀715兀

A.B.

°,4A912.

5兀71兀5兀

,D.

C.122_12'12.

『典例11」如图，A,8是海面上位于东西方向相距5（3+小）海里的两个观测点.现位于

A点北偏东45°,B点北偏西60。的。点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60。且与

B点相距2M海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船

到达。点需要多长时间？

★参*考*答*案★

『学科思想培优』

一、向量的线性运算

「典例1」

解•:就=02,且2^=匕.••力=笈2.

AD

'：Ai+Bt+cb+Dk=Q,

:.BC=一一ct)一DA=一A^-\-DC-\-At)=ei-\-(k-1)名.

又：痰+肪+或+m=0,

且肪=T虎,At4—^At),

：.Mk=一晶一/一曲=-9t）+成+显=斗工2,

「典例2」

解由磔3|=2内'?|,可得

-

又^^=(1一乂1-5),2JB?=2(l+2,l-j；)=(6,2-2y),

11%=6,x=—5,

①当/?=2分？时，有解得-

—4=2—2》,)=3.

1—x——6,x=7,

②当，^=一2庭时，有—4=—2+2》,解得

尸一L

x=~5x=7,

由①②可知或

了=3尸一L

二、向量的数量积运算

「典例3」

『解析」・：疝=派,・•・历一次=2（仍一次），仍=丸彷+（1一丸）次=劝+（1—0”,

又用是A8边上的高，：.obAi=0,即祖•（份—次）=0,『（1—以+劝』。―"）=0.

整理可得2（〃一力）2=（。-bya,即.

『答案』B

「典例4J

解⑴设血=（x,＞）,•.•点朋■在直线O尸上,

向量成与海共线，又改=(2,1).

・••尤x]—y*2=0,即x=2y,；♦=(2y,y).

又就=次一成，次=(1,7),.•.就=(1-2弘7一了).

同理诵=仍一血=(5_2y,1_了).

于是就•林=(l_2y)(5_2y)+(7-y)(l-y)=5y2_20y+12.

2Q

可知当>=再=2时，就•就有最小值一8,此时而=(4,2).

(2)当况f=(4,2),即y=2时，

有症=(一3,5),磁=(1,一1),丽尸用，丽尸卷

3)xl+5x(—1)=—8.

,,扁硒-84V17

cosNAMB=r-i———irn.

加I丽I取他17

三、向量的应用

『典例5J

解⑴：益•就=0,：.AB±AC.

又|港|=12,|比|=15,二冠|=9.

由已知可得历=；(港+就)，&=戏一公,

.,.历.国■(京+(力—=g(Z§2—^2)=/[44—81)=与

(2)命•屈的值为一个常数.

理由：为线段BC的垂直平分线，/与BC交于点。，E为/上异于。的任意一点,

：.Dici=0,故港•厘=诞+曲国=4)•屈+应•费=乃曰=昼.

r典例6j

解由a=(S，—1),Z>=Q,当得

a•方=0,|M=2,网=1,

由x_Ly,得X•尸『〃+(»—3)〃』•(一左〃+仍)=0,

即一ka2-\-tab—k(t2—3)〃必+，仁—3)62—0,

—4k+t3—,3t=0,左=；(户一3。，

即左=/⑺，

『典例7J

解⑴证明:港=(-1,-2)-(2,4)=(-3,-6),

次=(4,3)—(2,4)=(2,-1).

•.,成前=-3x2+(—6)x(-1)=0,：.AB±AC.

(2)设。点坐标为(x,y),则助＞=(x—2,y—4),此=(5,5).

•：AD±BC,.,.Z5-JBt=5(x-2)+5(y-4)=0.©

又筋=(无+1,y+2),而炭)与此共线，

.,.5(x+l)-5(y+2)=0,②

联立①②解得x=T，y=|.故。点坐标为&|).

二劝WB1-4)=(1,一!).

血锭3义5+6乂53#5

⑶局法至2+阪小+52—10-

(4)证明：•.•历=仔—|),筋=(|,|),虎=&

•••I初2=|,的="图+卷=毕,或=y(£)2+(A当

A\At)\^=\Bb[\Db\,即力O2=80.CD

『典例8」

解(1)由已知可得，(Q+C)(Q—c)+b(b—〃)=0=/+62—c2=qb,

222

「a+b~c1廿…「7i

cos、2ab=5所以

(2)由。=$得4+5=半，

..D..Q兀八..2兀/27r.

SIIL4十sinn=SIIL4十ZI=SIIL4十sin-ycos^—cos-ysinn

,八，2兀兀一兀5兀1

由，<-<sin

0<Zv-377o<^4+7oFo=>2o

所以siiL4+sin5的取值范围是4].

四、数形结合思想

『典例9」

『解析』如图所示，作流=。，Ot=b,以。/和0c为邻边作口04BC.

由于同=步快0,则四边形CM8C是菱形.所以必有NCLO8.

又因为。+分=仍，a~b=ck,所以(a+8)_L(a—6).

『答案』A

『典例10』

『解析』如图，向量成的终点N在以点C(2,2)为圆心、半径为吸的圆上,

OAI,O/2是圆的两条切线，切点分别为4,A2.

在Rtz\OC4中，|能=2吸，河1|=