高等数学 试卷及答案 卷1_第1页
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文档简介

第6页共6页试卷一一、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．已知函数，则.2.设是椭圆,其周长为,则.3．设，则.4．级数是条件收敛、绝对收敛,还是发散？条件收敛.5．展开成的幂级数为,.6.设为上半球面，则.7.微分方程满足的特解为.8.曲线在处的一个单位切向量为答案不唯一.9.交换积分次序.10.设是以为周期的函数,其傅立叶级数的和函数记为，则.二、计算题：（本大题共6小题，每小题10分，共60分）11.求函数的极值，并指出是极大值还是极小值.解：由解得驻点为，又所以故函数在取得极小值，极小值为12.求由曲面与曲面所围立体的体积.解：设两曲面所围立体空间区域为，13.求微分方程的通解.解：先求对应齐次方程的通解.特征方程，特征根故齐次方程通解为设非齐次方程特解为得设解得取所以非齐次方程的特解为原方程的通解为14.其中是曲线上由点到点沿顺时针方向的一段弧.解：补充直线记由格林公式.所以15.计算曲面积分，其中为曲面的上侧.解：补充平面取下侧，记围成的闭区域为.而，故16.求幂级数的收敛域及和函数.解：，所以收敛半径而时，幂级数为,发散.时，幂级数为,收敛.故幂级数的收敛域为.设，则两边积分得又故三、证明题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分）17.设级数收敛，且正项级数收敛，证明级数收敛.证明：设级数的部分和为，它的和为.由级数收敛，有，所以.由收敛数列的局部有界性，当时，由正项级数收敛有，当时，,有，由正项级数比较审敛法知收敛，所以,由正项级数比较审敛法知级数收敛.18.设函数由方程

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