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第五节第二类曲面积分工科数学分析北京理工大学第二学期第二类曲面积分(对坐标的曲面积分)基本概念概念的引入概念及性质计算法两类曲面积分之间的联系小结一、基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧流量问题---与力沿曲线所做的功和曲线的方向有关一样，流量与曲面的侧有关。曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面其上任一点Ｐ如果在曲面Ｓ的一侧连续移动而不越边界，则不能移到Ｓ的另一侧去。即假定ｎ是曲面Ｓ某一侧的法向量，当点Ｐ沿Ｓ上任意闭曲线连续移动又回到点Ｐ时，相应地，法向量也回到原来的方向。双侧曲面的特征：莫比乌斯带典型单侧曲面:播放莫比乌斯带典型单侧曲面:典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.我们这里讨论的都是双侧曲面。通常规定其外侧（即外法线所指的一侧）为正侧，记作，其内侧（即内法线所指的一侧）为负侧，记作。对于封闭曲面Ｓ，对于不封闭曲面，tn二、概念的引入实例:流向曲面一侧的流量.可以证明即流体的速度不随时间变化即流体的密度不随时间变化1.分割则该点流速为.单位法向量为.2.求和3.取极限三、概念及性质被积函数积分曲面类似可定义存在条件:组合形式:物理意义:流体流向曲面指定一侧的流量性质:有向性注意：由于第二类曲面积分涉及到方向性，故积分的对称性也和第一类曲面积分不同。四、计算法1.分别计算法一投,二代,三定号如果∑是母线平行于z轴的柱面，则∑在xOy平面上的投影区域为一条曲线，因此dS在xOy平面上的投影区域的面积为零，故如果曲面不是上述曲面，可以将其分成几块再进行计算。如果∑是母线平行于x轴的柱面，则注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.如果∑是母线平行于y轴的柱面，则解2.统一计算法统一计算法是先将对不同坐标的第二类曲面积分化成对相同坐标的曲面积分，然后再化成二重积分计算。解五、两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系向量形式解利用极坐标变换,有积分区域六、小结1.对坐标曲面积分的物理意义2.对坐标曲面积分的计算时应注意以

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