工科数学分析 课件 8-1 二重积分的概念与性质

第八章重积分

第一节二重积分的概念与性质工科数学分析北京理工大学第二学期二重积分的概念与性质问题的提出二重积分的概念二重积分的存在性及几何意义二重积分的性质小结重积分引言在初等数学中，我们只会求规则体的体积，如正方体、长方体、球体、圆柱体、锥体等。清壽山石印章徐三庚刻

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Dimension:2.11"x0.84";56.61而对于一般曲顶柱体、曲底柱体的体积却没有办法，而规则体的体积公式大多数是由几何方法得来的，那么有没有一种方法可以计算一般曲顶、曲底柱体的体积，从而给出计算体积的一个统一方法？二重积分的学习就是为了解决这个问题。从物理学的角度出发，我们常常需要对待解问题做一些简化，如可以把一个薄板简化为一个二维区域，但如果薄板各处密度不同，如何计算薄板的质量？有时需要把一处浅水区域简化成平面区域，但由于水里矿物质等物质分布不均导致海水密度不同，已知密度函数如何求海水质量？所有这些问题在我们学习完二重积分就能解决了。正如我们在学习定积分概念时所强调的那样，积分实质上是对连续函数求和，是离散函数求和的极限。回忆一下我们使用定积分求曲边梯形面积的步骤，首先对积分区域划分，然后在每个小区间上任取一函数值与区间长度相乘，近似这一小段的面积，接着对这些小面积求和，最后使划分逐渐加密，对上一步得到的和式取极限，极限值就是定积分值。总而言之四步骤：分割、近似、求和、取极限。接下来我们所学的各类积分的定义都遵从这四步骤。不同之处在于积分区域不同，导致积分元不同，所以各类积分不同之处在于积分元，能区别开积分元，就能区别出各类积分，这一点需要大家在接下来的学习中慢慢体会。柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体１．曲顶柱体的体积一、问题的提出播放

求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．

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求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积方法：分割、近似、求和、取极限步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量二、二重积分的概念积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素对二重积分定义的说明：

在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为１、２、三、二重积分的存在性及几何意义二重积分存在的充分条件二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）四、二重积分的性质性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上特殊地则有性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）性质8性质8’解