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第七节斯托克斯公式与旋度工科数学分析北京理工大学第二学期斯托克斯（Stokes）公式与旋度斯托克斯公式(Kelvin–Stokestheorem,thefundamentaltheoremforcurls,curltheorem)简单的应用物理意义

–环流量（环量-Circulation）与旋度（Curl）

小结一、斯托克斯(Stokes)公式斯托克斯公式

是有向曲面的正向边界曲线右手法则证明如图思路曲面积分二重积分曲线积分121根椐格林公式平面有向曲线2空间有向曲线同理可证故有结论成立.另一种形式便于记忆形式Stokes公式的实质:

表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.斯托克斯公式格林公式特殊情形二、简单的应用解按斯托克斯公式,有解则即空间曲线积分与路径无关的条件斯托克斯公式的应用：空间曲线积分与路径无关的条件．问题：空间曲线积分在什么条件下与路径无关？注意：空间曲线积分与路径无关相当于沿任意闭曲线的曲线积分为零．用定积分表示为例3

验证曲线积分与路线无关,并求被积表达式的原函数解对于显然有取如图,从沿平行于x轴的直线到

所以曲线积分与路线无关.现在求原函数:再沿平行于y

轴的直线到最后沿平行于z轴的直线到

于是为原点,则得若取为任意点,则为一

任意常数.其中是一个常数.若取三、物理意义---环流量与旋度1.环流量的定义:利用Stokes公式,有2.旋度的定义类似于由向量场的通量可引出向量场在一点的通量密度（即散度）一样，由向量场沿一闭曲线的环流量可引出向量场在一点的环量密度或旋度。旋度表示三维向量场对某一点

附近的微元造成的旋转程度，

其刻画了向量场在这一点的

旋转性质。Calculus-JamesStewart/Bookshelves/Calculus/Calculus_(OpenStax)/16%3A_Vector_Calculus/16.07%3A_Stokes_Theorem

斯托克斯公式的又一种形式其中斯托克斯公式的向量形式其中Stokes公式的物理解释:解由力学知道点的线速度为由此可看出旋度与旋转角速度的关系.四、小结斯托克

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