《数学》复习人教A（新高考）-第6节　正弦定理和余弦定理

第四章

第6节正弦定理和余弦定理知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实夯实基础回扣知识1知识梳理///////1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数一解两解一解一解无解3.三角形常用面积公式1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比. (

) (2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B. (

) (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素. (

) (4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形. (

)

解析(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比. (3)已知三角时，不可求三边. (4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC不一定为锐角三角形.×××√A3.在△ABC中，cosA＝cosB，则这个三角形的形状为____________________.

解析

因为在△ABC中，cosA＝cosB， 所以A＝B， 所以这个三角形为等腰三角形.等腰三角形解析因为a2＋b2－c2＝2abcosC，所以tanC＝1.CC所以AB＝BC.过点B作BD⊥AC，交AC于点D，6.(2019·浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上.

若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.在△BDC中，由正弦定理可得由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，可得cos∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin∠CBD＝sin[π－(∠C＋∠BDC)]＝sin(∠C＋∠BDC)＝sin∠C·cos∠BDC＋cos∠C·sin∠BDC考点分层突破题型剖析考点聚焦2所以B＝45°或135°，因为b<c，所以B<C，故B＝45°，所以A＝75°.考点一利用正、余弦定理解三角形///////师生共研75°解析由正弦定理及bsin2A＝asinB，得2sinBsinAcosA＝sinAsinB，D利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.感悟升华AB∵a＜c，∴A＜C，则C＝45°或C＝135°，则B＝105°或B＝15°.【训练1】(2)如图所示，在△ABC中，D是边AC上的点， 且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为________.【例2】(1)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是 (

) A.等腰直角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c， 从而△ABC为等腰三角形.

法二由正弦定理可得sinA＝2sinBcosC， 因此sin(B＋C)＝2sinBcosC， 即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，于是sin(B－C)＝0， 因此B－C＝0，即B＝C， 故△ABC为等腰三角形.考点二判断三角形的形状///////师生共研CBCD对于A，m＝2时，可得a∶b∶c＝3∶4∶1，可得b－a＝c，这样的三角形不存在，故A错误；对于B，m＝4时，可得a∶b∶c＝3∶4∶2，可得B为最大角，对于C，m＝6时，可得a∶b∶c＝3∶4∶3，可得a＝c，△ABC为等腰三角形，故C正确；对于D，m＝10时，可得a∶b∶c＝3∶4∶5，可得a2＋b2＝c2，△ABC为直角三角形，故D正确.可选BCD.1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.感悟升华又B∈(0，π)，所以sinB>0，所以sinC<sinBcosA，即sin(A＋B)<sinBcosA，所以sinAcosB<0，因为在三角形中sinA>0，所以cosB<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.A解析

∵tanA＋tanB＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)，∵tanA＋tanB＋tanC＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanC＝－tanC(1－tanAtanB)＋tanC＝tanAtanBtanC＞0，∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确；由acosA＝bcosB及正弦定理，可得sin2A＝sin2B，ACD∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错误；由bcosC＋ccosB＝b及正弦定理，可知sinBcosC＋sinCcosB＝sinB，∴sinA＝sinB，∴A＝B，则△ABC是等腰三角形，∴选项C正确；由已知和正弦定理，易知tanA＝tanB＝tanC，A＝B＝C，则△ABC是等边三角形，∴选项D正确.考点三和三角形面积有关的问题///////师生共研解

若选①，由于△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且btanA＝(2c－b)tanB，∴sinAcosB＝2sinCcosA－sinBcosA，即sin(A＋B)＝2sinCcosA，即sinC＝2sinCcosA.∵sinC≠0，化简可得2cos2A＋cosA＝1，解由(1)及余弦定理可得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc.

与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.感悟升华【训练3】(2020·北京卷)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

(1)a的值；解

(从条件①②中任选一个即可)在△ABC中，由余弦定理，得解得a＝8.在△ABC中，由正弦定理，可得又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5.【训练3】(2020·北京卷)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

(1)a的值；在△ABC中，由正弦定理，得∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，选条件②：sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有：a＝bcosC＋ccosB；b＝ccosA＋acosC；c＝acosB＋bcosA.注：以“a＝bcosC＋ccosB”为例，b，c在a上的射影分别为bcosC，ccosB，故名射影定理.证明

如图，在△ABC中，AD⊥BC，则bcosC＝CD，ccosB＝BD，故bcosC＋ccosB＝CD＋BD＝BC＝a，即a＝bcosC＋ccosB，同理可证b＝ccosA＋acosC，c＝acosB＋bcosA.射影定理的活用赏析【例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是(

) A.a＝2b B.b＝2a C.A＝2B D.B＝2A [通法]

法一因为sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC， 所以sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sin(A＋C)， 所以sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB， 即cosC(2sinB－sinA)＝0， 所以cosC＝0或2sinB＝sinA， 即C＝90°或2b＝a， 又△ABC为锐角三角形， 所以0°<C<90°， 故2b＝a.故选A.A法二由正弦定理和余弦定理得所以a2＋b2＝c2或2b＝a，又△ABC为锐角三角形，所以a2＋b2>c2，故2b＝a，故选A.

[优解]

由正弦定理及sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC得b＋2bcosC＝2acosC＋ccosA＝acosC＋(acosC＋ccosA)＝acosC＋b，即2bcosC＝acosC，又因为△ABC为锐角三角形，所以cosC≠0，则2b＝a.【例2】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccos

A，则B＝________.

即a2＋c2－b2＝ac，

[优解]

由射影定理得acosC＋ccosA＝b，射影定理和正、余弦定理一样实现了边角之间的转换，运用射影定理整体代入，大大简化了运算过程，取得了事半功倍的神奇效果.

思维升华课后巩固作业提升能力分层训练3解析

∵a2＝c2＋b2－2cbcosA，∴13＝c2＋9－2c×3×cos60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去).C∵b>a，∴B＝60°或120°.C所以AB＝3，AB因为B∈(0，π)，A因为0<A<π，

解析

因为A＋3C＝π，A＋B＋C＝π，AD所以a＝1，故C错误.又△ABC为锐角三角形，解析设BD＝x(x>0)，则AD＝3x，AC＝2－3x，BC＝2－x，易知cos∠ADC＝－cos∠BDC.0因为0＜sinB≤1，所以0＜b≤3，又因为b∈N*，故b只能取1，2，3.因为b＜a，因为b＜a，若b＝3，则sinB＝1，所以∠B＝90°，解

由题设及余弦定理，解

在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，＝sin(30°＋C)，而0°<C<30°，所以30°<30°＋C<60°，所以30°＋C＝45°，故C＝15°.解析

以BC的中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，可得B(－3，0)，C(3，0)，4sinB＝5sinC，可得4b＝5c，设A(m，n)，平方可得16(m2＋n2－6m＋9)＝25(m2＋n2＋6m＋9)，ACDa＝