宁夏长庆高级中学2024-2025学年高二数学上学期期中试题理

PAGEPAGE1宁夏长庆高级中学2024-2025学年高二数学上学期期中试题理第I卷一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求）1.命题“若，则”的逆否命题是()A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2.“”是“”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.命题“”的否定是()A．B．C．D．4.方程所表示的曲线形态是()A．B．C．D．5.已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．相切或相交6.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则()A．B．C．D．与斜交7.焦点在轴上，右焦点到短轴端点的距离为，到左顶点的距离为的椭圆的标准方程是()A．B．C．D．8.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是()A．B．C．D．9.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为()A．B．C．D．10.如图所示，，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在其次、四象限的公共点．若四边形是矩形，则的离心率是()A．B．C．D．11.在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是()A．B．C．D．12.已知，为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为()A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4个小题；每小题5分，共20分）13.过椭圆的焦点的弦中最短弦长是_____________．14.直线被抛物线截得的线段的中点坐标是________．15.如图，在三棱柱中，全部棱长均为，且底面，则点到平面的距离为________．16.已知点是平行四边形所在的平面外一点，假如，，．对于结论：①；②；③是平面的法向量；④∥.其中正确的是____________．三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.如图，斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点．(1)求该抛物线的标准方程和准线方程；(2)求线段的长．18.已知，．(1)若是的充分条件，求实数的取值范围；(2)若，为真命题，为假命题，求实数的取值范围．19.如图，正方体中，、分别为、的中点．选用合适的方法证明以下问题：(1)证明平面∥平面；(2)证明⊥面.20.设是圆上的动点，点是在轴上的投影，为上一点，且.(1)当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；(2)求过点且斜率为的直线被截得的线段的长度．21.如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，，分别是线段，的中点，(1)证明：；(2)推断并说明上是否存在点，使得∥平面.22.已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、.(1)若为等边三角形，求椭圆的方程；(2)若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于、两点，且，求直线的方程．

答案1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】A8.【答案】B9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】A12.【答案】D13.【答案】【解析】由椭圆的几何性质可知，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦长最短，弦长为＝＝.14.【答案】(3,2)【解析】设线段的端点为(x1，y1)，(x2，y2)，将y＝x－1代入y2＝4x，整理得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，∴＝＝＝2，∴所求点的坐标为(3,2)．15.【答案】21【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A32,12,0，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，则C1A＝32,12,-1，C则有C1A·n=32则所求距离为C1B1·n16.【答案】①②③【解析】由于AP·AB＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，AP·AD＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确．17.【答案】解(1)由焦点F(1,0)，得＝1，解得p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．直线l的方程为y＝(x－1)，与抛物线方程联立，得消去y，整理得4x2－17x＋4＝0，由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，所以线段AB的长为.18.【答案】解(1)由(x＋1)(x－5)≤0得－1≤x≤5，∵p是q的充分条件，∴解得m≥4.(2)当m＝5时，q：－4≤x≤6，依据已知，p，q一真一假，当p真q假时，无解；当p假q真时，解得－4≤x＜－1或5＜x≤6.综上，实数x的取值范围是[－4，－1)∪(5,6].【答案】给出用向量方法的证明，此题用空间几何的证明法则证明也可(1)建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，设平面A1BD的法向量为m＝(x，y，z)，∵DA1＝(2,0,2)，DB＝(2,2,0)，∴∴取m＝(－1,1,1)，同理平面B1CD1的法向量为n＝(－1,1,1)，∴m∥n，∴平面A1BD∥平面B1CD1；(2)∵M、N分别为AB、B1C的中点，∴MN＝(－1,1,1)，∴MN∥m，∴MN⊥面A1BD.20.【答案】(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xp，yp)，由已知，得x因为P在圆上，所以x2＋(54y)2即C的方程为x225＋(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝45(x－3)代入C的方程，得x225即x2－3x－8＝0.则Δ＝(－3)2＋32＝41>0，x1＋x2＝3，x1x2＝－8，所以线段AB的长为|AB|＝x＝1+1625x1-x221.【答案】∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，如图，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)．(1)不妨令P(0,0，t)，∴PF＝(1,1，－t)，DF＝(1，－1,0)，∴PF·DF＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，∴PF⊥DF，即PF⊥FD；(2)设平面PFD的法向量为n＝(x，y，z)，由n·PF=0,令z＝－1，解得x＝y＝t2，∴n＝t设点G的坐标为(0,0，m)，又E12,0,0，则EG要使EG∥平面PFD，只需EG·n＝0，即-12×t2＋0×t2＋m×1＝0，即解得m＝14t，从而满意AG＝14AP的点22.【答案】(1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b依据题意知，a＝2b，a2－b2＝1，解得a2＝43，b2＝13，故椭圆C的方程为x2(2)易求得椭圆C的方程为x22＋y当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．由y=kx-1,x22+y2=1,得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2