湘教版高中数学选择性必修第一册第1章数列１-１数列的概念练习含答案

第1章数列1.1数列的概念基础过关练题组一对数列相关概念的理解1.(多选)下面四个结论正确的是()A.数列1,2,3,4和数列1,3,4,2是相同的数列B.数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函数C.数列的图象是一系列孤立的点D.数列的项数是无限的2.下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是()A.1,13,132,B.sinπ13,sin2π13,sin3π13C.-1,-12,-13,-1D.1,2,3,4,…,303.(2022辽宁阜新期末)写出一个同时满足下列条件的数列{an}:①无穷数列;②递减数列;③每一项都是正数,则an=.

题组二数列的通项公式4.已知数列{an}的通项公式为an=1+(-1)n+12,n∈N+,A.1,0,1,0B.0,1,0,1C.12,0,15.(2022北京师大附中期中)数列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的一个通项公式是an=()A.19(10n-1)B.13(10C.131-1106.(2020山东临沂临沭第一中学开学考试)下图是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两点间的“短线”表示化学键,按图中结构,第n个图中化学键的个数为()A.6nB.5n+1C.5n-1D.4n+27.(2022安徽屯溪一中期中)已知数列1,12,21,13,22,31,14,23,32,A.第29项B.第30项C.第36项D.第37项题组三数列的递推公式8.(2022湖北荆州沙市中学期末)数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,n∈N+,都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5等于()A.259B.2516C.619.(2022山东济宁邹城期中)九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏,它由九个铁丝圆环相连成串,按一定规则移动圆环的次数,决定解开圆环的个数.在某种玩法中,用an表示解下n(n≤9,n∈N+)个圆环最少需要移动的次数,数列{an}满足a1=1,且an+1=2an-1,nA.7B.10C.16D.3110.(2022安徽宿州期中)分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科,它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.下图是按照,的分形规律生长成的一个树形图,则第10行的实心圆点的个数是()A.89B.55C.34D.14411.数列{an}满足an+1=11-an,a8=2,则a1题组四数列的单调性12.(2022天津宝坻期中)已知数列{an}满足an=13-an+2,n>8,an-7,n≤8,n∈N+,A.0,13B.0,1213.(2021江西南昌四校联盟联考)已知an=n-122n-123(n∈N+),则在数列{an}的前A.a1,a30B.a1,a9C.a10,a9D.a12,a1114.已知数列{an}的通项公式为an=nn2+130(n∈N+),且数列{an}从第n项起单调递减,则A.11B.12C.13D.不存在15.(2022四川射洪中学期中)若an=2n2+λn+3(其中λ为实常数),n∈N+,且数列{an}为单调递增数列,则实数λ的取值范围为.

16.已知an=9n(n+1)10n(n∈N+),则数列{an}中有没有最大项?如果有能力提升练题组一数列的通项公式及其应用1.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则此数列的第20项与第21项的和为()A.380B.410C.420D.4622.设an=1n+1+1n+2+1n+3+…+12n(n∈NA.12n+1C.12n+1+123.(多选)(2021河南八市重点高中联考)已知数列{an}的前4项依次为2,0,2,0,则数列{an}的通项公式可以为()A.an=2,n为奇数0,nC.an=2sinnπ2D.a4.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)、(2)、(3)、(4)为最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图案包含f(n)个小正方形,则f(6)=.

5.已知数列{an}的通项公式是an=9n(1)判断98101是不是数列{an}中的项(2)试判断数列{an}中的各项是否都在区间(0,1)内;(3)试判断在区间13,23内是否有数列{an}中的项.若有,是第几项?题组二数列的递推公式及其应用6.(2022浙江金华期末)在数列{an}中,a1=1,a2=2,a3n+2=an+2,a3n+1=a3n=an,则a2021=()A.7B.8C.9D.107.雪花曲线因其形状类似雪花而得名,它的产生与雪花类似,由等边三角形开始,把三角形的每一条边三等分,并以每一条边三等分后的中段为边,向外作新的等边三角形,但要去掉与原三角形叠合的边,接着对每一个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程,即以每条边三等分后的中段为边向外作新的等边三角形[图(2)、(3)、(4)是等边三角形(1)经过第一次、第二次、第三次变化所得的雪花曲线].若按照上述规律,一个边长为3的等边三角形,经过四次变化得到的雪花曲线的周长是()A.1433B.C.2569D.8.(2022山东济南实验中学期中)数学上有很多著名的猜想,角谷猜想就是其中之一,一般指冰雹猜想,它是指一个正整数,如果是奇数就乘3再加1,如果是偶数就除以2,这样经过若干次数,最终回到1.对任意正整数a0,记按照上述规则实施第n次运算的结果为an(n∈N),则使a7=1的a0的所有可能取值的个数为()A.3B.4C.5D.6题组三数列的单调性9.(2020浙江浙南名校联盟期中联考)已知数列{an}对任意的n∈N+都有an+1<an+an+22,且a1+a2+A.数列{an+1-an}为单调递减数列,且a5>1B.数列{an+1-an}为单调递增数列,且a5>1C.数列{an+1-an}为单调递减数列,且a5<1D.数列{an+1-an}为单调递增数列,且a5<110.(2022北京四中期中)已知数列{an}满足∀m,n∈N+,am+n=am·an,且a1=23.(1)a4=;

(2)数列{n2·an}的最大项为第项.

11.已知数列{an}满足an=1+1a+2(n-1)(n∈N+,a∈R(1)若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N+,都有an≤a6成立,求实数a的取值范围.答案与分层梯度式解析基础过关练1.BC2.C3.答案1n2(4.A解法一:由an=1+(-1)n+12,n∈N+,可得a1=1,a2=0,a3=1,a解法二:因为当n∈N+且n为奇数时,1+(-1)n+1=2,当n∈N+且n为偶数时,1+(-1)n+1=0,所以数列{an}的奇数项的值为1,偶数项的值为0,故该数列的前4项依次为1,0,1,0.5.C数列9,99,999,9999,…的一个通项公式是bn=10n-1,则数列0.9,0.99,0.999,0.9999,…的一个通项公式是cn=110n×(10n-1)=1-110n,则数列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的一个通项公式是a6.B题图中化学键的个数依次为6,11,16,…,后一个图中的化学键的个数总比前一个图中的化学键的个数多5,则第n个图中有(5n+1)个化学键.故选B.7.A数列中分母与分子之和为2的有一个,为3的有两个,为4的有三个,……,故18出现在和为9的那组,即第八组,且为该组的第一个数,前七组共有1+2+3+…+7=28个数,故18是第29个数,即第29项.故选8.C当n=2时,a1a2=22;当n=3时,a1a2a3=32;当n=4时,a1a2a3a4=42;当n=5时,a1a2a3a4a5=52,则a3=a1a2a3a1a2=3222=94,a5=a1a9.C由题意知a5=2a4+2=2(2a3-1)+2=4(2a2+2)=8(2a1-1)+8=16a1=16.故选C.10.C设第n行实心圆点的个数为an,由题图可得,a1=0,a2=1,a3=1,a4=2,a5=3,a6=5,……,则an=an-2+an-1(n≥3),故a7=a5+a6=8,a8=a6+a7=13,a9=a7+a8=21,a10=a8+a9=34.故选C.11.答案1解析由已知得an+1=11-an=11-11-an-1=1-1an-1=1-111-an-2=an-2,所以a812.C由题意可得0<a<1,13.Dan=n-122n-123=1+123-122n-123,当n≤11时,数列{an}递减,且an<1;当n≥12时,数列{an}递减,且an14.A解法一:∵an=nn2+130,∴an+1∴an+1-an=n+1n=-n由数列{an}从第n项起单调递减可得an+1-an<0,即-n2-n+130<0,n∈N+,解得n>521-12或n<-1-521∵22<521<23,∴10.5<521-1∴n≥11,∴a11>a12>a13>…,即从第11项起,{an}单调递减,∴n的最小值为11.解法二:设f(x)=xx则f(x)=1x+130x,x+130x≥2130,当且仅当x=130时等号成立,则当x=130时,x+130x取得最小值,此时f(x)取得最大值,又∵11<130<12,a11=11112+130>a12=12122+13015.答案(-6,+∞)解析若数列{an}为单调递增数列,则an+1>an,即2(n+1)2+λ(n+1)+3>2n2+λn+3,整理得λ>-(4n+2),∵n≥1,∴-(4n+2)≤-6,故λ>-6.16.解析解法一:由an=9n(n+1)10n(n∈N+)得,an+1-an=9n+1当n<8时,an+1-an>0,即an+1>an,即{an}在n<8时单调递增;当n=8时,an+1-an=0,即an+1=an,即a8=a9;当n>8时,an+1-an<0,即an+1<an,即{an}在n>8时单调递减.所以数列{an}的最大项是第8项或第9项,即a8=a9=99解法二:设an为最大项,则an≥an-1,a即9n(n+1)10又因为n∈N+,所以n=8或n=9.故{an}的最大项为a8=a9=99能力提升练1.C由已知可得该数列的偶数项的通项公式a2n=2n2,∴a20=a2×10=2×102=200,奇数项的通项公式a2n-1=2n(n-1),∴a21=a2×11-1=2×11×10=220,∴a20+a21=200+220=420,故选C.2.D∵an=1n+1+1n+2+1n∴an+1=1n+2+1n+3+…+12∴an+1-an=12n+1+12n+2-1n3.ABC对于A,∵an=2,n为奇数,0,n为偶数,∴a1=2,a2=0,a3=2,a4对于B,∵an=1+(-1)n+1,∴a1=1+(-1)2=2,a2=1+(-1)3=0,a3=1+(-1)4=2,a4=1+(-1)5=0,故B正确;对于C,∵an=2sinnπ2,∴a1=2sinπ2=2,a2=2sin2π2=0,a3=2sin3对于D,∵an=21-(-1)n2,∴a1=21-(-1)2=2,a2=21-(-1)22=1,a3=21-(-14.答案61信息提取①四个对称图形;②f(1)=1,f(2)=1+3+1,f(3)=1+3+5+3+1,f(4)=1+3+5+7+5+3+1.数学建模本题以小正方形的个数变化为背景构建“数列模型”.前四个图案中小正方形的个数分别是1,5,13,25,排成一列形成一个数列,从而把实际问题抽象成数列问题,再探索规律,总结出f(n).解析由题图得,f(1)=1,f(2)=1+3+1=2×1+3=2×(2-1)2+3,f(3)=1+3+5+3+1=2×(1+3)+5=2×(3-1)2+5,f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×(1+3+5)+7=2×(4-1)2+7,故f(n)=2(n-1)2+2n-1=2n(n-1)+1.当n=6时,f(6)=2×6×5+1=61.5.解析(1)由题可得an=9n2-9n+2令3n-23n+1=98因为1003不是正整数,所以98101不是数列{an}(2)由(1)可得an=3n-23n+1因为n∈N+,所以0<33n+1<1,所以所以数列{an}中的各项都在区间(0,1)内.(3)在区间13,23内有数列{a令13<an<23,得13<3即3n+1<9n-6,又因为n∈N+,所以n=2.故区间13,23内有且仅有一个数列{an}中的项,是第2项,且a6.D∵a3n+2=an+2,a3n+1=a3n=an,∴a2021=a3×673+2=a673+2=a3×224+1+2=a224+2=a3×74+2+2=a74+4=a3×24+2+4=a24+6=a8+6=a2+8,∵a2=2,∴a2021=a2+8=10.故选D.7.C设雪花曲线的边长分别为a1,a2,a3,a4,a5,边数分别为b1,b2,b3,b4,b5,周长为Sn(n=1,2,3,4,5),由题图可得,a2=a1×13=1,a3=13a2=13,a4=13a3=19,a5=13a4=127,b1=3,b2=3×4,b3=3×4×4,b4=3×4×4×4,b5=3×4×4×4×4,则S1=9,S2=12,S3=16,S4=648.D由题意知,∀n∈N+,an=3由a7=1,得a6=2,∴a5=4,∴a4=1或a4=8.①当a4=1时,a3=2,∴a2=4,∴a1=1或a1=8,∴a0=2或a0=16.②当a4=8时,a3=16,∴a2=5或a2=32.当a2=5时,a1=10,此时a0=3或a0=20;当a2=32时,a1=64,此时a0=21或a0=128.综上,满足条件的a0的值共有6个.故选D.9.D∵数列{an}对任意的n∈N+都