3.1.1椭圆的标准方程（解析版）

3.1.1椭圆的标准方程同步练习基础巩固基础巩固一、单选题1．已知，动点C满足，则点C的轨迹是（）A．椭圆 B．直线C．线段 D．点【答案】C【分析】由，作出判断即可．【详解】因为，所以，知点C的轨迹是线段AB．故选：C.2．P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（

）A．1 B．3 C．5 D．9【答案】A【分析】首先将椭圆方程化成标准形式，进而得出椭圆长半轴长，再根据椭圆定义即可求解.【详解】解：对椭圆方程变形得，易知椭圆长半轴的长为4，由椭圆的定义可得,又，故.故选：A.3．椭圆上点到上焦点的距离为4，则点到下焦点的距离为（

）A．6 B．3 C．4 D．2【答案】A【分析】根据椭圆方程求出，再根据椭圆的定义计算可得；【详解】解：椭圆，所以，即，设上焦点为，下焦点为，则，因为，所以，即点到下焦点的距离为；故选：A4．动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为（

）A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．不能确定【答案】A【分析】根据椭圆的定义，即可得答案.【详解】由题意可得，根据椭圆定义可得，P点的轨迹为椭圆，故选：A5．过点且与有相同焦点的椭圆方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据已知方程求出焦点即为所求椭圆焦点，设出所求椭圆方程，代入，解方程组即可.【详解】由知，焦点为，，即，.设所求椭圆方程为，则，解得，故所求椭圆方程为.故选：A.6．椭圆的焦距是（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】先把方程整理成标准形式，进而可求半焦距的值，即可得结果.【详解】因为椭圆可化为，可得，所以焦距为2，故选：A.7．焦点在轴上，且，的椭圆的标准方程为（

）A． B．或C．或 D．【答案】D【分析】根据椭圆标准方程的定义求解即可.【详解】由于，，且焦点在轴上，故椭圆的标准方程为.故选：D.8．若方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得，解之即可得解.【详解】解：因为方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，所以，解得，所以实数的取值范围为.故选：C.9．已知椭圆的右焦点为，则正数的值是（

）A．3 B．4 C．9 D．21【答案】A【分析】由直接可得.【详解】由题知，所以，因为，所以.故选：A10．椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点，若，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合椭圆的知识确定正确选项.【详解】的周长为.故选：A二、填空题11．已知椭圆的两个焦点分别为，，过点作直线交椭圆于A，B两点，则三角形的周长为．【答案】20【分析】根据椭圆方程求得，由此求得三角形的周长.【详解】依题意椭圆方程为，所以，所以三角形的周长为.故答案为：12．椭圆上一点P与它的一个焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离等于.【答案】14【分析】设左、右焦点为,利用椭圆的定义即得解.【详解】设左、右焦点为,设，由题得因为，所以.所以点P与另一个焦点的距离等于14.故答案为：1413．已知A、B为坐标平面上的两个定点，且|AB|＝2，动点P到A、B两点距离之和为常数2，则点P的轨迹是．【答案】线段【分析】结合椭圆的定义判断．【详解】∵|AB|＝2，而动点P到A、B两点距离之和为也是2，∵2＝2，故点P的轨迹不是椭圆，∴是线段AB．故答案为：线段．14．下列命题是真命题的是.(将所有真命题的序号都填上)①已知定点，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；③到定点的距离相等的点的轨迹为椭圆.【答案】②【分析】根据椭圆的定义，以及垂直平分线的性质，逐项判定，即可求解.【详解】①中，因为，可得，因为，所以点的轨迹不存在；②中，因为，所以点P的轨迹是线段；③中，由定点的距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线，即.故答案为：②15．若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，则实数m的值为．【答案】5【分析】由题意，根据椭圆方程中即可求解.【详解】解：因为椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，所以，且，所以实数m的值为5.故答案为：5.三、解答题16．已知椭圆的焦距是6，椭圆上的某点到两个焦点的距离的和等于10，求椭圆的标准方程．【答案】或【分析】根据焦距求出，根据椭圆的定义求出，根据求出，再讨论焦点位置可得椭圆的标准方程.【详解】因为，，所以，，所以．当焦点在轴上时，得椭圆的标准方程为；当焦点在轴上时，得椭圆的标准方程为．17．求下列椭圆的焦点坐标：(1)(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】将椭圆的方程化为标准方程，确定的取值，根据即可求出c，再确定焦点的位置，从而写出焦点坐标.(1)椭圆的标准方程为，，，∴c＝，由于椭圆的焦点坐标在轴上，椭圆的焦点坐标为；(2)椭圆的标准方程为，，，∴c＝，由于椭圆的焦点坐标在轴上，椭圆的焦点坐标为；(3)将方程化为标准方程是，，，∴c＝，由于椭圆的焦点坐标在轴上，椭圆的焦点坐标为；(4)将方程化为标准方程是，，，，由于椭圆的焦点坐标在轴上，椭圆的焦点坐标为.18．求满足下列条件的椭圆的标准方程.(1)，，焦点在y轴上；(2)，.(3)经过点，两点；(4)与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点.【答案】(1)；(2)或(3)(4)【分析】（1）（2）根据已知条件，结合求出和，再根据焦点位置写出椭圆标准方程；（3）根据题意，分析可得所求椭圆的焦点在x轴上，以及可求得的值，然后写出椭圆的标准方程；（4）求出椭圆的两个焦点坐标，由焦点坐标以及椭圆过可计算出，根据椭圆的标准方程写出即可.【详解】（1）因为，，所以，因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：；（2）因为，，所以，因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：或.（3）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，所以，所以椭圆的标准方程为.（4）设椭圆的两个焦点为F1，F2，且焦点在x轴上因为，所以，故设椭圆方程为由题意得，解得或(舍去)所以椭圆的标准方程为.19．设m为实数，若方程表示焦点在y轴上的椭圆，求m的取值范围．【答案】【分析】根据椭圆标准方程得不等关系后可求得范围．【详解】由题意，解得．能力进阶能力进阶20．分别写出满足下列条件的动点的轨迹方程：(1)点到点、的距离之和为10；(2)点到点、的距离之和为12；(3)点到点、的距离之和为8．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据椭圆的定义可求出结果；（2）根据椭圆的定义可求出结果；（2）可知动点的轨迹是线段.【详解】（1）因为，所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，这里，，即，，所以，所以动点的轨迹方程为.（2）因为，所以动点