2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.2三角函数的概念一课一练含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE1第五章三角函数5.2三角函数的概念第1课时随意角的三角函数的定义考点1有关随意角的三角函数的定义的问题1.(2024·河南商丘九校高一上期末联考)若角α的终边上一点的坐标为(1,-1),则cosα等于()。A.1 B.-1 C.22 D.-答案:C解析:∵角α的终边上一点的坐标为(1,-1),此点与原点的距离r=12+(-1)2=2,∴cosα=2.(2024·青岛二中月考)已知角α的终边过点P(-4,3),则2sinα+tanα的值是()。A.-920 B.920 C.-25答案:B解析:∵角α的终边经过点P(-4,3),∴r=|OP|=5。∴sinα=35,cosα=-45,tanα=-34。∴2sinα+tanα=2×35+-33.(2024·陕西山阳中学高一上期末考试)点A(x,y)是60°角的终边与单位圆的交点,则yx的值为()A.3 B.-3 C.33 D.-答案:A解析:因为tan60°=3,所以yx=3,故选A4.(2024·山西太原外国语学校高一上第三次月考)若角α的终边过点P(2sin30°,-2cos30°),则sinα的值为()。A.12 B.-12 C.-32 答案:C解析:由题意得P(1,-3),它与原点的距离r=12+(-3)2=2,5.(2024·新疆兵团二中高三上其次次月考)已知点M13,a在函数y=log3x的图像上,且角θ的终边所在的直线过点M,则tanθ=(A.-13 B.±13 C.-3答案:C解析:因为点M13,a在函数y=log3x的图像上,所以a=log313=-1,即M13,-1,所以tan6.(2024·甘肃天水一中期末考试)已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与射线y=3x(x≥0)重合,则cosθ=。

答案:10解析:依据题意,在射线上取一点P(1,3),则x=1,y=3,r=12+32=10,所以cosθ=考点2三角函数值的符号问题7.(2024·吉林四平高一上期末联考)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是()。A.(-2,3] B.(-2,3)C.[-2,3) D.[-2,3]答案:A解析:由cosα≤0,sinα>0可知,角α的终边落在其次象限内或y轴的正半轴上,所以3a-9≤0,8.(2024·江西九江高一调考)给出下列各三角函数值:①sin(-100°);②cos(-220°);③tan(-10);④cosπ。其中符号为负的有()。A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案:D解析:因为-100°角是第三象限角,所以sin(-100°)<0;因为-220°角是其次象限角,所以cos(-220°)<0;因为-10∈-72π,-3π,所以角-10是其次象限角,所以tan(-10)<0;cosπ=-1<0。所以其中符号为负的有9.(2024·安徽太和中学高一下第一次教学质量检测)已知sinθcosθ<0,且|cosθ|=cosθ,则角θ是()。A.第一象限角 B.其次象限角C.第三象限角 D.第四象限角答案:D解析:由|cosθ|=cosθ,可知cosθ≥0,结合sinθcosθ<0,得sinθ<0,cosθ>0,所以角θ是第四象限角,故选D。10.(2024·河北唐山一中期末考试)当角α为其次象限角时,|sinα|sinα-cosA.1 B.0 C.2 D.-2答案:C解析:∵角α为其次象限角,∴sinα>0,cosα<0,∴|sinα|sinα-cosα11.(2024·北京朝阳区陈经纶中学高二期中)设0≤θ<2π,若sinθ<0且cos2θ<0,则θ的取值范围是。

答案:5解析:因为0≤θ<2π且sinθ<0,所以π<θ<2π。又因为cos2θ<0,所以2kπ+π2<2θ<2kπ+3π2,k∈Z,所以kπ+π4<θ<kπ+3π4,k∈Z。因为π<θ<2π,所以k=1,12.(2024·江西临川二中月考)已知角α满意sinα<0,且tanα>0。(1)求角α的集合;答案:由sinα<0,知角α的终边在第三、四象限或在y轴的非正半轴上。又tanα>0,所以角α的终边在第三象限,故角α的集合为α(2)试推断sinα2·cosα2·tan答案:由2kπ+π<α<2kπ+3π2,k∈得kπ+π2<α2<kπ+3π4,k当k=2m,m∈Z时,角α2的终边在其次象限,此时sinα2>0,cosα2所以sinα2·cosα2·tanα当k=2m+1,m∈Z时,角α2的终边在第四象限,此时sinα2<0,cosα2所以sinα2·cosα2·tan因此,sinα2·cosα2·tan考点3诱导公式的理解与简洁应用问题13.(2024·北京海淀科大附中高二期中)已知P(2,-3)是角θ的终边上一点,则tan(2π+θ)=()。A.32 B.23 C.-32 答案:C解析:tan(2π+θ)=tanθ=-3214.(2024·陕西西安一中月考)计算log2(4sin1110°)的结果是()。A.-1 B.0 C.1 D.2答案:C解析:因为1110°=3×360°+30°,所以1110°角的终边与30°角的终边相同,则sin1110°=sin30°=12,所以log2(4sin1110°)=log24×12=log22=115.(2024·太原二中单元测评)若角420°的终边上有一点(4,-a),则a的值是。

答案:-43解析:由题意,得tan420°=-a4,即tan60°=-a4,解得a=-416.(2024·北京海淀育英学校高二期中)sin810°+tan765°+tan1125°+cos360°=。

答案:4解析:原式=sin(2×360°+90°)+tan(2×360°+45°)+tan(3×360°+45°)+cos(0°+360°)=sin90°+tan45°+tan45°+cos0°=4。17.(2024·江西鹰潭一中高一上月考)求下列各式的值:(1)cos25π3+tan-答案:因为cos25π3=cosπ3+8π=cosπtan-15π4=tan-4π+所以cos25π3+tan-15π4=1(2)sin420°cos750°+sin(-690°)cos(-660°)。答案:因为sin420°=sin(360°+60°)=sin60°=32cos750°=cos(2×360°+30°)=cos30°=32sin(-690°)=sin(-2×360°+30°)=sin30°=12cos(-660°)=cos(-2×360°+60°)=cos60°=12所以sin420°cos750°+sin(-690°)cos(-660°)=32×32+12×考点4随意角的三角函数的定义的应用问题18.(2024·山西高校附属中学高一下期中考试)假如点P(2sinθ,3cosθ)位于第四象限,那么角θ的终边所在的象限是()。A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限答案:B解析:因为点P(2sinθ,3cosθ)位于第四象限,所以2sinθ>0,3cosθ<0,可得sinθ>0,cosθ<0,所以角θ是其次象限角,故选B。19.(2024·山东烟台一中高一上期末考试)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且sinα>0,cosα≤0,则实数a的取值范围是。

答案:(-2,3] 解析:∵点(3a-9,a+2)在角α的终边上,sinα>0,cosα≤0,∴a+2>0,3a-20.(2024·江西临川一中月考)已知角α的终边上一点P(-3,y),y≠0,且sinα=24y,则tanα=答案:±15解析:由sinα=y(-3)2+y2=24y,得当y=5时,cosα=-3(-3)2+y2=-当y=-5时,cosα=-3(-3)2+y2=-21.(2024·银川一中单元检测)已知1|sinα|=-1sin(1)试推断角α是第几象限角;答案:∵1|sinα|=-1sin∴角α是第三或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上的角。由lgcosα有意义,可知cosα>0,∴角α是第一或第四象限角或终边在x轴的非负半轴上的角。综上,可知角α是第四象限角。(2)若角α的终边上有一点M35,m,且OM=1(O为坐标原点),求实数m的值及答案:∵OM=1,∴352+m2=1,解得m=±又α是第四象限角,故m<0,∴m=-45由正弦函数的定义,可知sinα=-451第2课时单位圆与三角函数线考点1单位圆与三角函数线的理解问题1.(2024·四川绵阳中学高一上月考)给出下列说法:①π6和5π6的正弦线长度相等;②π3和4π3的正切线相同;③其中正确说法的个数为()。A.1 B.2 C.3 D.0答案:C解析:π6和5π6的正弦线关于y轴对称,且长度相等,故①正确;π3和4π3两角的正切线相同,故②正确;π4和5π4的余弦线长度相等2.(2024·贵阳调考)若α=2π3,则α的终边与单位圆的交点P的坐标是()A.12,3C.-32,答案:B解析:设P(x,y),∵角α=2π3在其次象限,∴x=-12,y=1--1223.(2024·太原调考)下列四个说法中:①α肯定时,单位圆中的正弦线肯定;②单位圆中,有相同正弦线的角相等;③α和α+π有相同的正切线;④具有相同正切线的两个角的终边在同始终线上。不正确的说法的个数是。

答案:1解析:依据三角函数线的学问可知①③④正确。②不正确,因为有相同正弦线的角不肯定相等,可能相差2π的整数倍,故不正确的说法的个数为1。4.(2024·西安调考)若角α的正弦线的长度为12,且方向与y轴的正方向相反,则sinα=答案:-1考点2利用单位圆中的三角函数线比较大小问题5.(2024·东北三校联考)若α是第一象限角,则sinα+cosα的值与1的大小关系是()。A.sinα+cosα>1 B.sinα+cosα=1C.sinα+cosα<1 D.不能确定答案:A解析:如图,角α的终边与单位圆交于P点,过P作PM⊥x轴于M点,由三角形两边之和大于第三边可知sinα+cosα>1。故选A。6.(2024·广西北海调考)已知sinα>sinβ,那么下列说法成立的是()。A.若α,β是第一象限角,则cosα>cosβB.若α,β是其次象限角,则tanα>tanβC.若α,β是第三象限角,则cosα>cosβD.若α,β是第四象限角,则tanα>tanβ答案:D解析:分别在四个象限内作出满意sinα>sinβ的两个角α,β,再作出要比较的余弦线或正切线。通过图形易得选D。7.(2024·山东临沂模拟二校联考)假如π4<α<π2,那么下列不等式成立的是(A.sinα<cosα<tanαB.tanα<sinα<cosαC.cosα<sinα<tanαD.cosα<tanα<sinα答案:C解析:如图所示,在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT,很简洁地视察出OM<MP<AT,即cosα<sinα<tanα。8.(2024·广东广州其次中学高一上期末)sin2π5,cos6π5,tan2π5从小到大的排列依次答案:cos6π5<sin2π5<tan2π解析:由图可知,cos6π5<0,tan2π5>0,sin2π5>0。因为|MP|<|AT|,所以sin2π5<tan2π5。故cos6π考点3利用单位圆中三角函数线解三角不等式9.(2024·武汉模块统考)使sinx≤cosx成立的x的一个取值区间是()。A.-3π4,C.-π4答案:A解析:如图,画出三角函数线sinx=MP,cosx=OM,由于sin-3π4=cos-3π4,sinπ4=cosπ4,为使sinx≤cosx成立,则由图可得-10.(2024·南京模拟)函数y=sinx+cosx-答案:x解析:由题意得sin利用单位圆中的三角函数线得2解得x211.(2024·南昌一中测试)完成下列题目。(1)在0到2π内,求使sinα>12的角α的取值范围答案:解:如图所示,作直线y=12与以原点为圆心的单位圆交于P1,P2在0到2π内,OP1,OP2分别是角π6,5π6的终边,当角α的终边OP由OP1逆时针旋转至OP2时,恒有sinα>12;当OP由OP2逆时针旋转到OP1时,恒有sinα<12,∴在0到2π范围内使sinα>12的角α(2)在随意角范围内,求使sinα>12的角α答案:把(1)中情形推广到随意角范围,可得使sinα>12的角α的取值范围是2kπ+π612.(2024·西安一中测试)求下列函数的定义域:(1)y=2cosx答案:由题意,可得2cosx-1≥0,∴cosx≥12,如图(1)所示x在阴影处活动,才能满意题意,∴x∈-π3+2kπ∴该函数的定义域为-π3+2kπ(2)y=lg(3-4sin2x)。答案:由题意,可得3-4sin2x>0,∴sin2x<34∴-32<sinx<32,如图∴x∈-π3+2kπ,π3+2kπ∪2π3+2∴该函数的定义域为kπ-π3,考点4单位圆与三角函数线的综合应用问题13.(2024·宁波调考)设M=sinθ+cosθ,-1<M<1,则角θ是第象限角。

答案:二、四解析:当θ为第一象限角时,sinθ>0,cosθ>0,则sinθ+cosθ>1。当θ为第三象限角时,sinθ<0,cosθ<0,则sinθ+cosθ<-1。故θ为其次或四象限角。14.(2024·东北师大附中检测)已知α∈0,π2(1)sinα<α<tanα;答案:证明:如图所示,设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),过P作PM⊥Ox、PN⊥Oy,M,N分别为垂足,∴|MP|=y=sinα,|OM|=x=cosα,过A作AT⊥x轴,交OP于T,则tanα=AT。S△OPA=12sinα,S扇形AOP=12α,S△OAT=12tanα,S△OPA<S扇形AOP<S△OAT,从而sinα<α(2)1<sinα+cosα<π2答案:在△OMP中,|OM|+|MP|>|OP|,∴sinα+cosα>1。∵S△OAP=12|OA|·|MP|=12y=12sinα,S△OBP=12|OB|·|NP|=12x=12cosα,S扇形OAB=14π×12=π4。又∵S△OAP+∴12sinα+12cosα<π4,即sinα+cosα∴1<sinα+cosα<π2第3课时同角三角函数的基本关系(1)考点1平方关系的理解及简洁应用问题1.(2024·江西上高其次中学高一上期末)若α为第三象限角,则cosα1-sin2αA.3 B.-3 C.1 D.-1答案:B解析:∵α为第三象限角,∴cosα<0,sinα<0,∴原式=-cosαcosα-2.(2024·安徽滁州高一上期末)已知sinα=55,则sin4α-cos4α的值为()A.-35 B.-C.15 D.答案:A解析:sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-(1-sin2α)=2sin2α-1=2×552-1=-3.(2024·青岛二中高一月考)若sinθ=m-3m+5,cosθ=4-2mmA.0 B.8C.0或8 D.3答案:C解析:∵sin2θ+cos2θ=1,∴m-3m+52+4-2mm+52=1,整理得4.(2024·厦门调考)若1+sinθsin2θ+cosθcos2θ=0成立,则角θA.其次、三、四象限角 B.第一、二、三象限角C.第一、二、四象限角 D.第一、三、四象限角答案:C解析:由于1+sinθsin2θ+cosθcos2θ=0,且1-sin2θ-cos2θ=0,所以sinθ≤0,cos5.(2024·山西大同高一调考)使1-cosα1+cosα=cos答案:{α|2kπ-π<α<2kπ,k∈Z}解析:由题意知1-cosα1+cosα=(1-cosα)2sin2α=1-cos6.(2024·南京模拟)化简:2cos2α答案:1解析:原式=cos2α+co考点2函数关系的理解及简洁应用问题7.(2024·武汉模块统考)化简cosθ1+cosθ-cosθ1A.-2tan2C.-2tanθ 答案:A解析:原式=cosθ-cos2θ-8.(2024·南昌调考)tanx+1tanxsin2xA.tanx B.sinx C.cosx D.1答案:A解析:tanx+1tanxsin2x=sinxcosx+cosxsinx·sin9.(2024·合肥调研)假如tanθ=2,那么1+sinθcosθ的值是()。A.73 B.75 C.54答案:B解析:1+sinθcosθ=sin2θ+cos2θ10.(2024·河南周口高一上期末抽测调研)已知tanα=-12,则1+2sinαcos答案:-1解析:1+2sinαcosαsin2α-cos2α=11.(2024·深圳中学高一月考)已知f(tanx)=1cos2x,则f(-答案:4解析:f(tanx)=1cos2x=sin2x+cos2xcos2x=tan2x考点3利用同角三角函数的基本关系化简问题12.(2024·湖北恩施高一上月考)若α为其次象限角,化简tanα·1sin2αA.1 B.2 C.-1 D.1答案:C解析:tanα·1sin2α-1=tanα·1-sin2αsin2α=所以原式=sinαcosα·13.(2024·衡水中学高一月考)若β∈[0,2π),且1-cos2β+1-sin2β=sinβA.0,π2C.π,3π2答案:B解析:∵1-cos2β+1-sin2β=|sinβ|+|cosβ|=sinβ-cosβ,∴sinβ≥0且cosβ≤0。又14.(2024·北京四中单元检测)化简:1-cos答案:2解析:原式=(1-cos=1+cos2α-sin2α1+co15.(2024·广州调考)化简:sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β=。

答案:1解析:原式=sin2α(1-sin2β)+sin2β+cos2αcos2β=sin2αcos2β+cos2αcos2β+sin2β=cos2β+sin2β=1。16.(2024·杭州二中测试)若π2<α<π,化简cosα1答案:解:因为π2<α<π,所以cosα=-1-sin2α,sinα=1-cos2α,所以原式=cosα17.(2024·东北师大附中测试)已知tanθ=1-aa(0<a<1),化简:si答案:解:∵tanθ=1-aa,∴tan2θ=sin2θ∵sin2θ+cos2θ=1,∴a=cos2θ。∴sin2θa+cosθ+sin2考点4利用同角三角函数的基本关系求值问题18.(2024·西南高校附中单元检测)已知α是其次象限角,sinα=513,则cosα=()A.-1213 B.-513 C.513答案:A解析:因为α是其次象限角,所以cosα<0,故cosα=-1-sin2α19.(2024·山西高校附属中学高一上月考)已知tanα=3,求下列各式的值:(1)4sinα答案:∵tanα=3,∴cosα≠0。原式的分子、分母同除以cosα,得原式=4tanα-13tanα(2)sin答案:原式的分子、分母同除以cos2α,得原式=tan2α-2tan(3)34sin2α+12cos2答案:原式=34sin2α+120.(2024·广东阳江一中单元测评)已知2cos2α+3cosαsinα-3sin2α=1,α∈-3π2(1)tanα;答案:2cos2α+3cosαsinα-3sin2α=2cos2α即4tan2α-3tanα-1=0,解得tanα=-14或tanα=1∵α∈-3π2,-π,∴α∴tanα<0,∴tanα=-14(2)2sinα答案:原式=2tanα-3第4课时同角三角函数的基本关系(2)考点1公式(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα的应用问题1.(2024·北大附中月考)已知cosα-sinα=-12,则sinαcosα的值为()A.38 B.±38 C.34 答案:A解析:由已知得(cosα-sinα)2=sin2α+cos2α-2sinαcosα=1-2sinαcosα=14,解得sinαcosα=38,故选2.(2024·四川成都树德中学期末考试)已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=59,则sinθcosθ的值为()A.23 B.-23 C.13 答案:A解析:由sin4θ+cos4θ=59,得(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=59,∴sin2θcos2θ=29。∵θ是第三象限角,∴sinθ<0,cosθ<0,∴sinθcosθ3.(2024·山西孝义高一上期末)若sinα+cosα=1,则sinnα+cosnα(n∈Z)的值为。

答案:1解析:∵sinα+cosα=1,∴(sinα+cosα)2=1。又∵sin2α+cos2α=1,∴sinαcosα=0,∴sinα=0或cosα=0。当sinα=0时,cosα=1,此时有sinnα+cosnα=1;当cosα=0时,sinα=1,此时也有sinnα+cosnα=1。∴sinnα+cosnα=1。4.(2024·太原调考)已知θ∈(0,2π),且sinθ,cosθ是方程x2-kx+k+1=0的两个实数根,则实数k=,θ=。

答案:-1π或3π2解析:依题意有sinθ+cosθ=k,①sinθcosθ=k+1。②又∵(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,∴k2-2k-3=0,解得k=3或k=-1。∵|sinθcosθ|=|k+1|≤1,∴k=-1。代入①②,得sin解得sinθ=0,cosθ=-1或sinθ=5.(2024·福建福州三中高一月考)若0<α<π2,则1-2sinα2答案:2cosα解析:原式=cosα2-sinα22+cosα2+sinα22=cosα2-sinα2+cosα2+sinα2,∵α∈0,6.(2024·黄冈中学单元检测)已知关于x的方程2x2-(3+1)x+2m=0的两根为sinθ和cosθ(θ∈(0,π)),求:(1)m的值;答案:由一元二次方程根与系数的关系可知,sinθ+cosθ=3+12,①sinθcosθ=m将①式平方,得1+2sinθcosθ=2+3所以sinθcosθ=34,代入②得m=3(2)sinθ1-1答案:sinθ1-1tanθ+cosθ1-tanθ=si(3)方程的两根及此时θ的值。答案:由(1)得m=34,所以原方程化为2x2-(3+1)x+32=0,解得x1=32,x2所以sinθ=又因为θ∈(0,π),所以θ=π3或π考点2三角形内同角三角函数关系式的应用问题7.(2024·贵州遵义第四中学高一期末)已知角A是△ABC的一个内角,若sinA+cosA=713,则tanA等于()A.1213 B.712 C.-512 答案:D解析:利用sin2A+cos2A=1,可得sinAcosA=-60169可知A为钝角。解方程组sinAcosA=-60169,8.(2024·湖南师大附中月考)若△ABC的内角A满意sinAcosA=-18,则cosA-sinA的值为()A.-32 B.±32 C. -52答案:C解析:∵A为三角形的一个内角,且sinAcosA=-18,∴A为钝角,∴cosA-sinA<0,∴cosA-sinA=-(cosA-sinA)9.(2024·济南调考)若sinA=45,且A是三角形的一个内角,则5sinA+8答案:6或-3解析:∵sinA=45>0,∴A当A为锐角时,cosA=1-sin2A=35当A为钝角时,cosA=-1-sin2A=-35,∴综上,5sinA+815cosA-710.(2024·深圳中学单元测试)已知在△ABC中,sinA+cosA=15(1)求sinAcosA的值;答案:∵sinA+cosA=15两边平方,得1+2sinAcosA=125,∴sinAcosA=-12(2)推断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形;答案:由sinAcosA=-1225<0,且0<A可知cosA<0,∴A为钝角,∴△ABC是钝角三角形。(3)求tanA的值。答案:∵(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA=1+2425=49又∵