2024-2025学年新教材高中数学第七章三角函数7.1.2蝗制及其与角度制的换算课时素养检测含解析新人教B版必修第三册

PAGE课时素养检测二弧度制及其与角度制的换算(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.转化为角度是 ()A.-300° B.-600°C.-900° D.-1200°【解析】选B.因为1rad,所以【补偿训练】把56°15'化为弧度是 ()A. B. C. D.【解析】选D.56°15'=56.25°=.2.与角QUOTEπ终边相同的角是 ()A.QUOTEπ B.2kπ-QUOTEπ(k∈Z)C.2kπ-QUOTEπ(k∈Z) D.(2k+1)π+QUOTEπ(k∈Z)【解析】选C.选项A中QUOTE=2π+QUOTEπ,与角QUOTEπ终边相同,故A项错;2kπ-QUOTEπ,k∈Z,当k=1时,得[0,2π)之间的角为QUOTEπ,故与QUOTEπ有相同的终边,B项错;2kπ-QUOTEπ,k∈Z,当k=2时,得[0,2π)之间的角为QUOTEπ,与QUOTEπ有相同的终边,故C项对;(2k+1)π+QUOTEπ,k∈Z,当k=0时,得[0,2π)之间的角为QUOTEπ,故D项错.【补偿训练】与30°角终边相同的角的集合是 ()A.QUOTEB.{α|α=2kπ+30°,k∈Z}C.{α|α=2k·360°+30°,k∈Z}D.QUOTE【解析】选D.与30°角终边相同的角α=k·360°+30°,k∈Z化为弧度制为α=2kπ+QUOTE,k∈Z.3.自行车的大链轮有88齿,小链轮有20齿,当大链轮转过一周时,小链轮转过 ()A.QUOTErad B.QUOTErad C.QUOTErad D.QUOTErad【解析】选B.由题意,当大链轮转过一周时,小链轮转过QUOTE周,QUOTE×2π=QUOTE.4.在不等圆中1rad的圆心角所对的 ()A.弦长相等B.弧长相等C.弦长等于所在圆的半径D.弧长等于所在圆的半径【解析】选D.依据弧度制的定义,因为1弧度的角就是弧长与半径之比等于1的角,所以1rad的圆心角所对的弧长等于所在圆的半径.【补偿训练】在半径不等的圆中,半径长的弦所对的圆心角 ()A.为1弧度B.各不相等,半径长则圆心角大C.各不相等,半径长则圆心角小D.都相等为QUOTE弧度【解析】选D.60°=QUOTE弧度.5.已知扇形的圆心角α=QUOTEπ,所对的弦长为4QUOTE,则弧长等于 ()A.QUOTEπ B.QUOTEπ C.QUOTEπ D.QUOTEπ【解析】选D.如图所示,∠AOB=α=QUOTEπ,AB=4QUOTE,过点O作OC⊥AB,C为垂足,延长OC交QUOTE于D,则∠AOD=∠BOD=QUOTE,AC=QUOTEAB=2QUOTE;在Rt△AOC中,r=AO=QUOTE=4,从而弧长为l=α·r=QUOTEπ.【补偿训练】圆弧长度等于它所在的圆的内接正三角形的边长,则它所对的圆心角的弧度数为 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.2【解题指南】先求出半径为r的圆的内接正三角形的边长,再依据弧长公式求圆心角.【解析】选C.如图,设圆的半径为r,圆心为O,圆的内接正三角形ABC的边长为a,在直角三角形ODC中,∠OCD=30°,所以CD=OCcos30°=QUOTEOC,所以a=2×QUOTEr=QUOTEr,代入弧长公式得QUOTEr=αr,所以α=QUOTE.6.(多选题)若QUOTE=2kπ+QUOTE(k∈Z),则QUOTE的终边不行能在 ()A.第一象限 B.第四象限C.x轴上 D.y轴上【解析】选ABC.因为QUOTE=2kπ+QUOTE(k∈Z),所以α=6kπ+π(k∈Z),所以QUOTE=3kπ+QUOTE(k∈Z).当k为奇数时,QUOTE的终边在y轴的非正半轴上;当k为偶数时,QUOTE的终边在y轴的非负半轴上.综上,QUOTE的终边在y轴上.二、填空题(每小题4分,共8分)7.如图所示,图中马路弯道处QUOTE的弧长l=.(精确到1m).

【解析】依据弧长公式,l=αR=QUOTE×45≈47(m).答案:47m【补偿训练】在单位圆中,面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为.

【解析】由题意可得S=QUOTElr⇒1=QUOTEl×1⇒l=2⇒α=QUOTE=2.答案:28.在扇形中,已知半径为8,弧长为12,则圆心角是弧度,扇形面积是.

【解析】|α|=QUOTE=QUOTE=QUOTErad,S=QUOTEl·r=QUOTE×12×8=48.答案:QUOTE48【补偿训练】如图,扇形AOB的面积是1,它的弧长是2,则扇形的圆心角α的弧度数为;弦AB的长为.

【解析】由扇形面积公式S=QUOTElr,又α=QUOTE,可得S=QUOTE·QUOTE,所以α=2,易得r=1,结合图像知AB=2rsinQUOTE=2sin1.答案:22sin1三、解答题(每小题14分,共28分)9.(1)把310°化成弧度.(2)把QUOTErad化成角度.(3)已知α=15°,β=QUOTE,γ=1,θ=105°,φ=QUOTE,试比较α,β,γ,θ,φ的大小.【解析】(1)310°=QUOTE×310=QUOTErad.(2)QUOTErad=QUOTE°=75°.(3)方法一(化为弧度):α=15°=15×QUOTE=QUOTE.θ=105°=105×QUOTE=QUOTE.明显QUOTE<QUOTE<1<QUOTE.故α<β<γ<θ=φ.方法二(化为角度):β=QUOTE=QUOTE×QUOTE°=18°,γ=1≈57.30°,φ=QUOTE×QUOTE°=105°.明显,15°<18°<57.30°<105°.故α<β<γ<θ=φ.【补偿训练】把下列各角化成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式,并指出是第几象限角?(1)-1725°.(2)QUOTE.【解析】(1)因为-1725°=-5×360°+75°,所以-1725°=-10π+QUOTE.所以-1725°角与QUOTE角的终边相同.又因为QUOTE是第一象限角,所以-1725°是第一象限角.(2)因为QUOTE=20π+QUOTE,所以QUOTE角与QUOTE角的终边相同.又因为QUOTE是第三象限角,所以QUOTE是第三象限角.10.x轴正半轴上一点A绕原点按逆时针方向做匀速圆周运动,已知点A每分钟转过θ角(0<θ≤π),经过2min到达第三象限,经过14min回到原来的位置,那么θ