高中数学第八章第1节《基本立体图形》提高训练题 57(含答案解析)

第八章第1节《基本立体图形》提高训练题（57）

一、单项选择题（本大题共9小题，共45.0分）

1.正三棱锥P-ABC中，己知点E在PA上，PA,PB,PC两两垂直，PA=4,PE=3EA,正三棱锥

P-ABC的外接球为球。，过E点作球。的截面a,则a截球。所得截面面积的最小值为（）

A.itB.2TTC.3TTD.4TT

2.如图，正方体4BCD-4B1GD1的棱长为1,线段41cl上有两个动点E,F,且EF=点则下列

结论错误的是（）

A.BD1CE

B.EF〃平面ABCD

C.三棱锥E-F8C的体积为定值

D.ABEF的面积与ACEF的面积相等

3.如图，正方体ABCO-4B1C也的棱长为1,E,尸分别为线段&Bi，CG上两个动点且EF=也则

下列结论中正确的是（）

A.存在某个位置E,F,使BE1O尸

B.存在某个位置E,F,使EF〃平面&BCD1

C.三棱锥Bi-BEF的体积为定值

D.4AEF的面积与4BEF的面积相等

4.己知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高的值为

（）

A.3V3B.V3C.2V6D.2V3

5.四面体A8C。的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3,AC=2^3,BD=展,则

该球的表面积为（）

A.147rB.157rC.167rD.18兀

6.若四面体的三视图如图所示，则以下判断中，正确的是（）

A.该四面体的所有对棱都互相垂直

B.该四面体恰有三个面是直角三角形

C.该四面体中，棱与面互相垂直的恰有两对

D.该四面体中，面与面互相垂直的恰有四对

7.两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是球面

面积的则这两个圆锥的体积之比为（）

16

A.2:1B,5:2C.1:4D.3:1

8.在正方体ZBCD-&B1GD1中，异面直线昆。与&G所成的角为（）

A.60°B,45°C.30°D.90°

9.甲烷（CHQ的分子结构模型如图所示。四个氢原子构成正四面体的四个顶点，碳原子位于正四面

体中心，贝IJC-H键之间的键角的正切值为（）

A.—V3

B.-2V2

C.-2V3

D.—3>/2

二、多项选择题（本大题共1小题，共5.0分）

10.如图，四面体0ABe的三条棱。4OB,OC两两垂直，04=08=2,OC=3,。为四面体0ABe

外一点.给出下列命题，其中真命题的序号是

A.不存在点。，使四面体48CD有三个面是直角三角形

B.不存在点。，使四面体ABC。是正三棱锥

C.存在点使CO与AB垂直并且相等

D.存在无数个点O,使点。在四面体ABC。的外接球面上

三、填空题（本大题共18小题，共90.0分）

11.在平面内，若一三角形的面积为S,周长为C,则它的内切圆的半径r=篙那么在空间中，若一

三棱锥的体积为匕表面积为5,利用类比推理的方法，可得此三棱锥的内切球（球面与三棱锥

的各个面均相切）的半径R=.

12.将一个边长为2的正三角形绕它的一边旋转一周，所得旋转体的表面积为.

13.如图，在四面体48CD中，AB=CD=AD=BD=3,AC=BC=4,用平行于4B,CD的平

面截此四面体，得到截面四边形EFG”，则F”的最小值为.

14.已知正四面体P—HBC的棱长为2,。为PA的中点，E,尸分别是线段4B,PC（含端点）边上的

动点，则OE+DF的最小值为.

15.正方体ABC。一&占GA的棱长为1,P为BC的中点，。为线段CG上的动点，过点A,P,Q

的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是―（写出所有正确命题的编号）。

①当0<CQ<；时，S为四边形②当。（？=泄，S为等腰梯形

③当CQ=：时，S与65的交点R满足C/=|④当CQ=1时，S的面积为日

16.已知三棱锥P—A8C外接球的表面积为100兀，P41平面ABC,PA=4,^BAC=30°,则该三

棱锥体积的最大值为.

17.在直三棱柱4BC-41B1G中，^BAC=90"且AB=百，BBr=4,其外接球的表面积为28乃,

则2L4BC的面积为.

18.已知三棱锥P-48C的所有棱长都相等，现沿PA,PB,PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一

个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2乃，则三棱锥P-ABC的内切球的体积为

19.过球。表面上一点A引三条长度相等的弦AB,AC,AD,且两两夹角都为60。，若球半径为七

则4BCD的面积为.

20.正四面体ABC。的棱长为2,则所有与A,B,C,。距离相等的平面截这个四面体所得截面的

面积之和为.

21.在棱长为8的正方体空盒内，有4个半径为r的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某

一顶点的三个面相切，另有一个半径为R的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正

方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则大球半径R的最小值是.

22.已知三棱锥P-4BC中，P4=6,48=AC=2b,BC=6,P4平面ABC,则此三棱锥P—ABC

的外接球的表面积为.

23.已知边长为2b的菱形ABCD中，^BAD=60°,沿对角线8。折成二面角4一80-C的大小为

120。的四面体，则四面体的外接球的表面积为.

24.如果一个圆锥的侧面积与其底面积之比是5：3,那么该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为

25.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为.

26.有下列四个命题：

①垂直于同一条直线的两条直线平行；

②垂直于同一条直线的两个平面平行；

③垂直于同一平面的两个平面平行；

④垂直于同一平面的两条直线平行.

其中正确的命题有（填写所有正确命题的编号）.

27.已知点。是。4BC所在平面外一点，点。到点A,B,C的距离都为2,且D4,DB,DC两两垂直，若

动点尸到定点A的距离为1,点M为线段PC的中点，则线段8M的最大值是.

28.设正三棱锥/…川的高为〃，且此棱锥的内切球的半径A,H7/3则，小______.

rvV

四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）

29.以一个正多面体每条棱的中点为顶点，可以得到一个多面体，且该多面体是由一种或一种以上

的正多边形构成的.现以棱长为1的正四面体每条棱的中点为顶点，形成一个多面体，则该正

多面体的表面积为以新形成的多面体的棱的中点为顶点，又可以形成一个多面体，则

该多面体的表面积为_（2）_.

五、解答题（本大题共1小题，共12.0分）

30.如图，正方体4BCD—4B1QD1的棱长为2,E,F,M分别是。祖，好劣和AB的中点.

（1）求证：MD1〃平面BEFD；

(2)求点4到平面BEFD的距离.

【答案与解析】

1.答案：C

解析：

本题主要考查了球的性质、球截面的性质以及两两垂直的三棱锥外接球半径的求法，本题属于中档

题.

熟悉相关的立体模型以及几何性质是解决本题的关键，根据题意可得三棱锥外接球的直径为所在正

方体的体对角线，再根据当0E垂直截面a时，截面圆半径最小，最后带入数据运算即可.

解：三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线，

R=2V3.过。作H为垂足，

OH=2V2.在舟中，OH=2a,HE=1,：.OE=3,

当0E垂直截面a时，截面圆半径最小，

r2=R2-0E2=(2国产-32=3.S=nr2=3兀，

故选C.

2.答案：D

解析：

本题考查了空间线面位置关系的判断和棱锥的体积计算，属于中档题.

根据BD，平面441GC可判断A,根据E/7/AC可判断B,求出三角形CEF和三角形BEF的面积和三

棱锥4一BE尸的体积即可判断C,D.

解：对于4,连接AC,则BD1AC,

在正方体力BCD—AiBiCiDi中，AAt1底面ABCD,

BDu底面ABCD,所以BC1AAlt

ACnAAX=A,AC,44]u平面441clc,

•••BD，平面A41clC,又CEu平面AACC,

•••BD1CE,故A正确；

对于8,,:ACHA\C»即EF〃4C,

又EFC平面ABCD,ACu平面ABCD,

EF〃平面4BCD,故B正确；

1111

对于C,S&CEF=--EF•CCX=Jx-x1=-,

点B到平面CEF的距离d等于B到平面44C1C的距离，所以d=匏。=争

^E-FBC=^B-CEF=［、X曰=故C正确；

对于。，连接Z1B,GB,则AaBCi是边长为我的等边三角形，

B到EF的距离为=冬而C到EF的距离为阴=1,

.,.△CEF的面积与ABEF的面积不相等，故。错误.

故选。.

3.答案：B

解析：

本题考查空间线线和线面的位置关系的判断，以及棱锥体积的求法和点到三角形的面积的关系，考

查运算能力和推理能力，属于中档题.

解：可设EBi=?n,CF=n,

可得胆2+1+(1—n)2=、，即〃?心+(］—n)2=£过c作CH〃BE,交C［D］于H,

若BE1DF,可得CH1DF,即有nm=1,这与m,n小于1矛盾，

故A不成立；

连接E”，可得EH〃/1］。1，连接尸H,若FH//CD］,

即有C1"=C1F,即m=l-n,可得徵=包＜1成立，

4

此时平面七尸/^尸“平面人避。］,可推出EF〃平面A18CD1，故B成立；

由VB\-BEF=VE-B\BF=|/iSAB1SF=i/ix1x1x1=J/i,,h为E至1J平面BC\的距离，

力在变化，可得三棱锥Bi-BE尸的体积在变化，故C错误；

由4到直线E尸的距离和B到直线E尸的距离不相等，

可得尸的面积与ABEF的面积不相等，故。错误.

故选&

解析：解：以正六棱柱的最大对角面作截面，如图.设球心为0,正六棱柱的上下底面中心分别为01，

。2,则。是。1，。2的中点.设正六棱柱的底面边长为“，高为2/2,则a2+F=9.正六棱柱的体积

为U=6xfa2x2h=373(9一则片=373(9-3/i2).

得极值点h=不难知道这个极值点是极大值点，也是最大值点.故当正六棱柱的体积最大，其

高为2g.

故选：D.

根据正六棱柱和球的对称性，球心。必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点，作出过正六棱柱的

对角面的轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、高和球的半径的关系，在这个关系下求函数取得最

值的条件即可求出所要求的量.

本题是在空间几何体、导数的应用交汇处命制，解题的关键是建立正六棱柱体积的函数关系式.

5.答案：A

解析：

本题考查球的表面积公式，考查空间想象能力，属于中档题.

根据等腰三角形的性质，确定底面的外心位置，再确定圆心位置即可求解.

解：由题意，作出四面体ABC。的示意图，如图所示：

c

取AC的中点为E,连接BE,DE.

•:AB=BC=CD=DA=3,BE1AC,DE1AC,:.AC平面DBE.

又AC=2百，DE=VXD2-AE2=V9^3=V6）同理BE=n，故△DBE为等边三角形.

根据等腰三角形的性质，可知A/IBC的外心用在直线BE上，令ME=x,

则有BM2=（逐一X）2=4M2=（⑹2+M，解得x=f,故8"=乎.

记四面体ABCD的球心为点。，•••△4BC的外心为M,可知。"_L平面ABC.

取BC的中点H,连接。H,

vDH1BC,乂AC_L平面DBE,AC1DH,DH1平面ABC,.♦.点O在平面BED中，

令四面体ABCD的外接球半径为R,OM=h,

22

则有R2=0B2_BM2+0M2=呼）+九2=0D2=（DH-OM）+HM=（半一h）+的，

解得/!=gR2=j

4乙

故该球的表面积为S=4TTR-=4TTX：UTT.

故选A.

6.答案：C

解析：

本题考查空间几何体的三视图，及空间中线线、线面、面面位置关系的判断，

几何体还原是关键，考查空间想象能力，属于基础题.

解：根据三视图知，该四面体是如图1所示的三棱锥，在三棱锥P-ABC中，PAABC,BC1

侧面PAB,C选项正确；

其中PB与AC不垂直，A选项错误；四个面都是直角三角形，8选项错误；

面与面互相垂直的有三对，分别是平面PACJ■平面48C,平面PAB1平面ABC,平面P4B_1_平

面PBC,。选项错误，

故选C.

7.答案：D

解析：

本题考查了圆锥的体积计算，球与内接旋转体的关系，属于基础题.

设球半径为r,则根据圆锥底面与球面积的关系得出圆锥的底面半径，根据勾股定理求出球心到圆锥

底面的距离，得到两圆锥的高度.

解：设球的半径为R,圆锥底面的半径为r,则兀八=三x4TTR2=陋!，

164

.：r=^R.

2

•••球心到圆锥底面的距离为VR2一*=*

・•・圆锥的高分别为？和:.

••.两个圆锥的体积比为争f=3：1.

故选D.

8.答案：A

解析：

本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运

算求解能力，考查数形结合思想，是基础题.

连结4D,C[D,A[D“B\C,则ND4G是异面直线&G与B1C所成角（或所成角的补角），由此能求

出异面直线与BiC所成角.

解：连结为。，JD,如图所示，

A]D〃BiC,•・・4。4忑1是异面直线&Ci与殳。所成角（或所成角的补角）,

vA1D=A1C1=DC],

・，・Z,C1A1D=60°,

••・异面直线41cl与BiC所成角为60。.

故选A.

9.答案：B

解析：

本题考查棱锥的结构特征，考查转化思想，空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题.

正四面体是正方体中的特殊图形，本题可以利用正方体的有关长度，以及余弦定理知识和同角三角

函数的关系解答，即可得到.

解：如图，

设正四面体的棱长为a,

则BE=苧ax|=?

AE=Ja2-(y«)2=条,4。=B。=x：=¥a,

-1

41+4i

cosZ.AOB=6—=—，

所以sinNAOB=\/1cu«2Z.4OZ?=-，

2\/2

所以tanN.AOB——-2v/2,

所以C-H键之间的键角的正切值为-2企.

故选用

10.答案：CD

解析：

本题主要考查了棱锥的结构特征，同时考查了空间想象能力，转化与划归的思想，以及构造法的运

用，属于中档题.

对于①可构造四棱锥CAB。与四面体OA8C一样进行判定；对于②，使4B=AD=BD,此时存在

点。，使四面体ABC力是正三棱锥；对于③取CD=48,AD=BD,此时CD垂直面ABD,即存在

点Q,使CO与AB垂直并且相等，对于④先找到四面体0ABe的内接球的球心尸，使半径为r,只

需PD=r,可判定④的真假.

解：•••四面体0ABe的三条棱OA,OB,0C两两垂直，。4=0B=2,0C=3,

•••AC=BC=VH,AB=2>/2,

当四棱锥C4BO与四面体0ABe一样时，

即取C。=3,AD=BD=2,

此时点。，使四面体ABC。有三个面是直角三角形，

故4不正确；

使4B=40=BD,此时存在点。，使四面体ABC。是正三棱锥，

故B不正确；

取CZ)=AB,AD=BD,此时CO垂直面480,

即存在点D,使CD与AB垂直并且相等，

故C正确；

先找到四面体0A8C的内接球的球心P,

使半径为广，只需PD=r即可，

•・.存在无数个点D,使点。在四面体ABCD的外接球面上，

故。正确.

故选CD.

11.答案：y

解析：

本题考查的知识点是类比推理、棱锥的结构特征，在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比

时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质

类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质.

解：设三棱锥的四个面积分别为：Si，S2,S3,S4.

由于内切球到各面的距离等于内切球的半径

...V=IS1XR+IS2XR+IS3XR+IS4XR=ISXR,

•••内切球半径R=手

故答案为芥

12.答案：4■百兀

解析：

旋转体是两个圆锥，求得圆锥的底面半径为R与母线长，代入圆锥的侧面积公式计算可得答案.

本题考查了旋转体的表面积，判断旋转体的形状，求相关几何量（旋转半径，母线）的数据是关键.

解：将边长为2的正三角形绕着它的一边旋转一周所形成的旋转体是两个圆锥，

圆锥的底面半径为R=2x/=遮，母线长为2,

••・旋转体的表面积S=2xS圆锥侧面=2xyrxV3x2=4V3TT.

故答案为：4V3TT.

13.答案：运

2

解析:

本题考查了四面体48co中的对称性来证明四边形是矩形.同时考查了动点的问题以及灵活性的运

用，属于中档题.

由直线A3平行于平面EFGH,且平面A8C交平面EFGH于HG,所以同理EF〃4B,FG〃C0,

EH//CD,所以FG〃EH,EF〃HG.四边形EFG”为平行四边形.又AD=BD,AC=BC的对称性,

可知4BLCD.从而四边形EFG4为矩形.利用勾股定理求出解析式，然后求最值即可.

解：•••直线〃平面EFG”，且平面ABCn平面EFGH=HG,

•••HG//AB,

同理：EF//AB,FG//CD,EH//CD,所以：FG〃EH,EF//HG.

故四边形EFGH为平行四边形.

取AB中点为。，/连接CO,DO,

又•：AD=BD,AC=BC,

•••AB1DO,AB1CO,

vDOHCO=0,COu平面COD,DOu平面COD,

•••AB1平面COD,

vCDu平面COD,

：.AB1CD.

•••四边形EFG”为矩形.

设BF：BD=BG：BC=FG：CD=x,(0<x<1)

FG=3x,BG=4x,CG=4—4x,

又丝一生他方4-4X_HG

乂BC-4B‘改向4-3'

则HG=3(1-X)

所以HF=J9%2+9(1-x)2=3(x一/+1

所以当x=HF取到最小值为这

22

故答案为这

2

14.答案:V3

解析:

本题考查了多面体上的最短距离，属于中档题.

将正四面体沿PB剪开，则PBAC为一菱形,则当E,D,尸三点共线且与BA垂直时，DE+DF最小.

解：将正四面体沿P8剪开，则尸B4C为一菱形，则当E,D,F三点共线且与BA垂直时，。E+DF最

小.

•••PA=2,则DE=DF=3，则DE+DF=b，

2

故答案为V5.

15.答案：①②④

解析：

本题考查了正方体的性质、线面面面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理、相似三角

形的性质、菱形面积计算公式，

考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题.

解：如图所示，

②当CQ=：时，即。为CG中点，此时可得PQ〃4D「AP=QDy=Jl+：=与，

故可得截面4PQ5为等腰梯形，故②正确；

①由上图当点。向C移动时，满足0<CQ<；,只需在上取点M满足4M〃PQ,

即可得截面为四边形APQM,故①正确；

③当CQ=（时，如图，

延长至N,使OIN=T，连接AN交45于S,连接NQ交GD1于K,连接SR,

可证4N〃PQ,由△NRDLAQRC],可得C[R：%R=CQDXN=1：2,

故可得GR=],故③不正确；

④当CQ=1时，。与G重合，取公。1的中点F,连接AF,可证PCJ/4F,且PC】=4F,

可知截面为APCi尸为菱形，故其面积为:4G•PF=&=争故④正确.

综上可得：只有①②④正确.

故答案为①②④.

16.答案：14+7百

解析：

本题考查了简单组合体及其结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积和球的表面积和

体积.

利用球的表面积得外接球的半径为5,再利用三棱锥的外接球的结构特征结合棱锥的体积公式计算

得结论.

解：因为三棱锥P-4BC外接球的表面积为100兀，所以三棱锥P—ABC外接球的半径为5.

如图：

p

O是三棱锥P-ABC的外接球球心，则。4=5.

取PA的中点E,因为P4=4,所以E4=2.

设01是4ABe的外心，连接。。1，则。。i_L平面ABC.

因为P4_L平面4BC,所以OOig^PA，即。。1=2.

在RM0401中，A。1=yJOA2-00f=京,

因此4。1=B。1=CO1=VH.

BC

在44BC中,2.40,,因此BC=京,

ACsin3（「

所以401BC是边长为VH，其高0m=亨x万=亭

因为PA_L平面ABC,PA=4,8C为定值，所以当ZMBC的高为0通+01。时,

该三棱锥的体积最大，最大为!x|xVnx(V21+^)x4=14+7V3.

故答案为14+7遍.

17.答案：也

2

解析：

本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

根据题意，可将棱柱ABC-&B1G补成长方体，长方体的对角线即为球的直径，从而可求球的表面

积.

解：直三棱柱4BC-4B1G的侧棱垂直于底面，/.BAC=90。且4B=遮，BB1=4,

•••可将棱柱4BC-/L41B1C1补成长方体，长方体的对角线即为球的直径，设为2R

由球。的表面积为28兀可得28兀=4TTR2,R=小.

由ZB2+4C2+BB/=(2R)2,可得AC=3,

则ZL4BC的面积为工ABx/lC=-xV3x3=—.

222

故答案为亚1

2

18.答案：逛7T

9

解析：

本题主要考查球的表面积的求法，考查等积法的运用，考查三棱锥的体积公式的运用，考查运算能

力，属于中档题.

根据平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长，再根据棱长求出高，设内切球半径为「，连接三棱锥

的四个顶点得到四个小三棱锥的体积相等，然后根据等积法计算得到半径「，再由球的表面积公式计

算即可得到.

解：设△ABC的边长为a,因为外接圆半径为2e，贝UOC=275x^=75,

a=2V6x当=36,所以P。=VPC2-0C2=V18—6=2痘,即三棱锥的高为h=2w,

设内切球的半径为r,则4x：xrxSAABC=；xhxSMBC，解得r=1h=在，

3J42

所以内切球的体积为V=-7rr;l=追m

32

故答案为逛7r.

2

19.答案：巫R2

3

解析：解：法1,由条件A-BCD是正四面体，△BCD是正三角形，4,B,C,。为球上四点，

将正三棱锥4-BCD补充成一个正方体AGBH-FDEC如图4,

则正三棱锥4-BCO和正方体-FDEC有共同的外接球，ABCO的边长就是正方体面的对角线,

设正方体AGBH-FDEC的棱长为a,则正方体外接球半径R满足：

a2+a2+a2=(2/?)2,解得。2="2,j9fWBC2=a2+a2=1/?2,

△BCD的面积S=-BCxBDsin60°=-x-R2x—=—R2.

22323

法2,由条件4一BCD是正四面体，△BC。是正三角形，A,B,C,。为球上四点,

球心0在正四面体中心如图5,设BC=a,CO的中点，

为E,0]为过点8,C,。截面圆圆心，则截面圆半径r=01B==2x更（1=立a，

13323

正四面体力—BCD的高40]=Ja2—弓■a）2=学内

.••截面BC。与球心的距离d=。。1=ya-R,在Rt△BOO1

中，（苧研=/?2一（半。一灯，解得0=^/?.

BCD的面积为S=-BCxBDsin60°=-x（―7?）2x—=—R2.

法1,将正三棱锥4一8。。补充成一个正方体468//-?。后。，说明正三棱锥A—BCD和正方体

4GBH-FDEC有共同的外接球，设正方体力GBH-FDEC的棱长为“，求推出与正方体外接球半径R

的关系，然后求解ABC。的面积.

法2,由条件A-BCD是正四面体，△BCD是正三角形，A,B,C,。为球上四点，球心。在正四面

体中心如图5,设BC=a,CD的中点为£,01为过点B,C,。截面圆圆心，求出截面圆半径，正

四面体4-BCO的高.然后求解△BCD的面积.

本题考查空间几何体的位置关系的应用，三角形底面积的求法，点线面距离的求法，考查空间想象

能力以及计算能力.

20.答案：V3+3

解析：解：设E、F、G分别为A8、AC,4。的中点，连结EEFG、GE,

则4EFG是三棱锥4-BCO的中截面，

可得平面EFG〃平面BCD,点、A到平面EFG的距离等于平面EFG与平面38之间的距离，

；.4、B、C、力到平面EFG的距离相等，即平面EFG是到四面体4BC。四个顶点距离相等的一个平

面；

正四面体ABCQ中，象AEFG这样的三角形截面共有4个.

••・正四面体ABCD的棱长为2,可得EF=FG=GE=1,

EFG是边长为1的正三角形，可得SAEFG=工EF•FG-s讥60。=—;

LAHrvj24

取C。、BC的中点H、/,连结G，、HI、IE,

,:El、GH分别是AABC、△力。C的中位线，

EI——AC>GH--AC>得El乜GH‘

•••四边形EG"/为平行四边形；

AC=BDS.ACBD,E1--AC,H1--BD,

Xv122

EI=HIS.EI1HI,

••・四边形EGm为正方形，其边长为=1,

由此可得正方形EGH/的面积7GH/=1；

•••BC的中点/在平面EG”/内，•••B、C两点到平面EG，/的距离相等；

同理可得。、C两点到平面EGH/的距离相等，且A、B两点到平面EGH/的距离相等；

•••力、B、C、。到平面EGH/的距离相等，

••・平面EG"/是到四面体ABCD四个顶点距离相等的一个平面，

且正四面体ABCO中，象四边形EGm这样的正方形截面共有3个，

因此，所有满足条件的正四面体的截面面积之和等于4SAEFG+3S£CH；=4X—+3X1=73+3.

故答案为：V34-3.

根据题意知到正四面体ABCD四个顶点距离相等的截面分为两类：

一类是由同一顶点出发的三条棱的中点构成的三角形截面，这样的截面有4个；

另一类是与一组相对的棱平行，且经过其它棱的中点的四边形截面，这样的截面有3个；

作出示意图，求出所有满足条件的截面面积之和即可.

本题考查了正四面体的性质、点到平面距离的定义、三角形面积与四边形形面积的求法等知识，是

难题.

21.答案：|

解析：

本题考查简单组合体及其结构特征，考查空间想象能力和推理运算能力，属于综合题.

此四个小球的球心。1，。2，。3，。4,恰好是一个正方形的四个顶点，而大球球心。在过正方形。1。2。3。4

的中心％且与此正方形所在平面垂直的直线上，显然。-。1。2。3。4为一正四棱锥，其侧棱为R+r,

计算可得R的值.

解：由题意，正方体盒内四个小球最大时，易知r=g=2,

即四个小球相切，且与正方体侧面相切，

1，3,4

显然大球此时最小，大球球心。与四个小球球心。02,。。构成一个四棱锥，

V。1。2=2r=4,侧棱。。1=R+2,

设正方形。1。2。3。4的中心名，

•••高0%="无-0商=J(R+2)2-(2/)2，

将。为向两端延长交上底面与H,交下底面与K,则

HK=0H+OHi+=R+OH】+r=8,

故R+J(R+2/一(2&)2+2=8，解得R=|.

故答案为,.

H

22.答案：84TT

解析:

本题考查了球的表面积，求出球的半径是关键，即可求得表面积，属于中档题.

设的外心为。1，过01作OQ_L平面A8C,取PA的中点作0Mlp4与。。［相交于点。，则

。为外接球的球心.

解：设AABC的外心为01，过。1作()0J平面ABC,

取PA的中点M,作0M1P4与。。1相交于点。，

则。为外接球的球心.

_AB2+AC2-BC2_12+12-36_1

2AB-AC=22^3-2^3=孩'

因为。＜4＜兀，所以A=空，

卬.萼二二=2/-r=26

因为siiM，

~2~

所以R=0A=7丫2+32=V21»

所以S=47IR2=84TT.

故答案为847r.

23.答案：287r

解析：

本题考查三棱锥的外接球，以及球的表面积公式，属于较难题.

先找出外接球的球心，然后根据线面关系，计算出外接球的半径，最后计算外接球表面积即可.

如图1,取BD的中点E,连接力E,CE.

因为四边形力BCD是菱形，所以AEJLBD,4c在平面ZBD上的投影为4E,所以4C1BD,

所以平面ACEJL平面BCD,

易得外接球的球心在平面ACE内，

如图2,在CE上取点G,使CG=2GE,过点G作。垂直CE,

过点E作，2垂直于AC.设，1与6交于点0,

连接。4贝i」04=0C,则。为球心.

易得0G1CD,OE垂直平分4C,

其中CG=2GE=2/CEA=120°,

所以。G=GE-tan60°=g，

所以R=OC=OA=y/7,

即外接球的表面积为28兀,

故答案为287r.

24.答案：I

解析：

本题考查了旋转体(圆柱、圆锥、圆台、球)及其结构特征，由题意得翳=|,贝〃=|r,圆锥的母线

与底面所成角的正弦值为=与且，即可得出结果.

解：设底面半径为「，母线长为/,

由题意得注=［则/=%

nr233

圆锥的母线与底面所成角的正弦值为寺=牛=J1-(|)2=g,

故答案为g.

25.答案：逝

3

解析：

本题考查了圆锥的侧面展开图，圆锥的结构特征，圆锥的体积计算，属于基础题.依据展开图与圆锥

的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长，求出圆锥的高，得出体积.

解：设圆锥的底面半径为r,母线长为/,

则匕兀7r尸解得r=l，I=2,

・•・圆锥的高九=y/l2—r2=V3,

圆锥的体积u=工兀产八=逝.

33

故答案为巨.

3

26.答案：②④

解析：解：如图在正方体ABC。一AB'C'D'中，

对于①，AB1BB',BC1BB',AB、BC不平行，故错；

对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确;

对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；

对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确.

故答案为：②④

利用正方体中的线面、面面、线线位置关系进行判定.，

本题考查了空间线面位置关系，需要熟练掌握定理与判定，区别空间与平面定理处理的条件，属于

基础题.

27.答案：V6+|

解析：

本题考查立体几何的三棱锥以及球的特征，构造正方体解题是本题的关键，属于中档题.

解：构造棱长为2的正方体，如下图，N为AC的中点，

由于P为以A为球心，1为半径的球面上,

当PC与球4相切时8M