广东省广州市第113中学2022-2023学年九年级上学期数学期末考试试卷（含答案与解析）

广州市第一一三中学2022〜2023学年第一学期期末考试

初三数学

（时间：120分钟满分：120分）

注意事项：

1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答。

2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项。

3.考试结束，由监考人员将试卷和答题卡一并收回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.）

1.下列事件中，属于不可能事件的是（）

A.购买1张体育彩票中奖B.从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球

C.汽车累积行驶10000km,从未出现故障D.从地面发射1枚导弹，未击中空中目标

2.用配方法解方程/+2%一1=0时，配方结果正确的是（）

A.（X+1）2=2B.（X+2）2=2C.（X+1）?=3D.(x+2)2=3

3.下列二次函数中，其图象对称轴为x=-2的是（）

B.y=-2^-2C.y=2（x-2）2D.y=(x+2)2

4.下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

5.如图，正方形ABOC的边长为2,反比例函数y=幺的图象过点A,则k的值是（）

X

A.2B.-2C.4D.-4

6.如图，PA、PB、分别切。。于A、B两点，ZPM00,则NC的度数为（）

B

A.40°B.140°C.70°D.80°

7.将抛物线y=2（x-4）2-1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的

解析式为（）

A.y=2x2+lB.y=2x2-3

Cy=2（x-8）2+lD.y=2（x-8）2-3

8.如图，将矩形ABC。绕点A顺时针旋转到矩形AQCTT的位置，若旋转角为20。，则N1为（）

A.110°B.120°C.150°D.160°

9.一个圆的半径为4,则该圆的内接正方形的边长为（）

A.2A/2B.3VIC.472D.572

10.如图，。。的半径为2,点C是圆上的一个动点，CALx轴，CBLy轴，垂足分别为A、B,。是熊的

中点，如果点C在圆上运动一周，那么点。运动过的路程长为（）

7171

A.—B.—C.兀D.2兀

42

二、填空题（本大题共6题，每小题3分，满分18分）

11.已知点P（2,-3）与点。（a,b）关于原点对称，则a+b=

12.在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的5个红球和若干白球，通过多次摸球试验后，发现摸到红

球的频率约为0.25,估计袋中白球有个.

13.如图所示，正比例函数^=%俨与反比例函数y=石的图象有一个交点（2,-1）,则这两个函数图象的

X

另一个交点坐标是

14.已知扇形的圆心角为120。，它所对弧长为20兀。"，则扇形的半径为.

15.若关于x的函数丫=1«2+2*-1与》轴仅有一个公共点，则实数k的值为—

16.如图是抛物线x=o?+6x+c(aw0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A(l,-3)与x轴的一个交点

为3(4,0),点A和点8均在直线上%=，心+〃(加/0)上①2。+匕=0;②抛物线与轴的另一个交点为

(-4,0)；③方程以2+区+°=一3有两个不相等的实数根；④a-b+c<4m+〃；⑤不等式

mx+n>ax2+bx+c的解集为1«4；上述五个结论中，其中正确的结论是填写序号即可

三、解答题(本大题共9小题，满分72分)

17.解方程：X2-6X+5=0.

18.如图，AB是。。的直径，弦CD_LA8于点E,OC=\Ocm,CD=\6cm,求4E的长.

△AOB的三个顶点均在格点上.

(1)画出XAOB绕点。顺时针旋转90°后得到的△4。四；

(2)求线段OA旋转到所扫过图形面积(结果保留兀).

20.已知二次函数y=o?+法的图象过点(2,0),(-1,6).

(1)求二次函数的关系式；

(2)写出它与x轴的两个交点及顶点坐标.

21.一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中红球有1个，若从

中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为:.

(1)请直接写出袋子中白球的个数.

(2)随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率.(请

结合树状图或列表解答)

22.某商场一月份的销售额为125万元，二月份的销售额下降了20%,商场从三月份起加强管理，改善经

营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了144万元.

(1)求二月份的销售额；

(2)求三、四月份销售额平均增长率.

23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+b的图象与反比例函数y=±(x<0)的图象交于点A

x

(-1,6),与x轴交于点B.点C是线段A8上一点，且△OCB与△OAB的面积比为1：2.

(1)求)和b的值;

(2)将AOBC绕点。逆时针旋转90。，得到AO夕C,判断点C'是否落在函数y='(4<0)的图象上，

x

并说明理由.

24.如图，在△ABC中，AB=AC,NBAC与NABC的角平分线相交于点E,AE的延长线交△ABC的外接

圆于点。，连接3D

(1)求证：NBAD=NDBC；

(2)证明：点8、E、C在以点。为圆心同一个圆上；

(3)若48=5,8c=8,求△ABC内心与外心之间的距离.

3

25.在平面直角坐标系xoy中，抛物线＞=0^+公+。的开口向上，且经过点A(0,—).

2

(1)求。的值；

(2)若此抛物线经过点8(2,-g),且与x轴相交于点E(乃，0),F(及，0).

①求。的值(用含。的代数式表示)；

②当E产的值最小时，求抛物线的解析式；

(3)若当0姿1,抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求人的值.

参考答案

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.)

1.下列事件中，属于不可能事件的是()

A.购买1张体育彩票中奖B.从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球

C.汽车累积行驶10000km,从未出现故障D.从地面发射1枚导弹，未击中空中目标

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用不可能事件的定义逐一判断即可；

【详解】解：A.购买1张体育彩票中奖是随机事件，不符合题意；

B.从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球，是不可能事件，符合题意；

C.汽车累积行驶10000km,从未出现故障，是随机事件，不符合题意；

D.从地面发射1枚导弹，未击中空中目标，是随机事件，不符合题意；

故选择：B

【点睛】本题主要考查不可能事件，随机事件的定义，正确地理解随机事件和不可能事件的定义是解题的

关键.

2.用配方法解方程/+2彳-1=0时，配方结果正确的是()

A.(X+1)2=2B.(x+2)2=2C.(X+1)2=3D.(X+2)2=3

【答案】A

【解析】

【分析】把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可.

【详解】解：•.•/+2%-1=0,

•"X?+2x+1=2，

(X+1)2=2.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了配方法在解一元二次方程中的应用，要熟练掌握.

3.下列二次函数中，其图象的对称轴为x=-2的是()

A.y=2x2-2B.y=-2^-2C.y=2(x-2)2D.y=(x+2)2

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数)=a(x/)2+/(〃，h,c为常数，存0)的性质逐项分析即可.

【详解】A.尸谓-2的对称轴是40,故该选项不正确，不符合题意；；

8.产-羽-2的对称轴是40,故该选项不正确，不符合题意；；

C.)=2(x-2)2的对称轴是户2,故该选项不正确，不符合题意；；

D.产(x+2)2的对称轴是k一2,故该选项正确，符合题意；；

故选D

【点睛】本题考查了二次函数产a(x/)2+无(a,4c为常数，"0)的性质，产a(x1)2+Z是抛物线的顶点

式，其顶点是"，外，对称轴是广〃.熟练掌握二次函数产a(x/)2+A的性质是解答本题的关键.

4.下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()

【答案】B

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形定义逐项识别即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原

来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称

能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.

【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

B>是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意.

故选B.

【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解

答本题的关键.

5.如图，正方形ABOC的边长为2,反比例函数>=幺的图象过点A,则k的值是（）

【答案】D

【解析】

【详解】解：因为图象在第二象限，

所以k<0,

根据反比例函数系数k的几何意义可知|k|=2x2=4,

所以k=-4.

故选D

6.如图，PA、PB、分别切。。于A、B两点，ZP=40°,则/C的度数为（）

A.40°B.140°C,70°D.80°

【答案】C

【解析】

【分析】连接OA,OB根据切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，即可求得/OAP,NOBP的度数,

根据四边形的内角和定理即可求的/AOB的度数，然后根据圆周角定理即可求解.

【详解】•••以是圆的切线，

A

，ZOAP=90,

同理NOBP=90°,

根据四边形内角和定理可得:

ZAOB=36Q-ZOAP-ZOBP-ZP=360-90-90-40=140,

ZACB」ZAO8=70。.

2

故选:C.

【点睛】考查切线的性质以及圆周角定理，连接圆心与切点是解题的关键.

7.将抛物线y=2(x-4)2-1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的

解析式为()

A.B.y—2x2-3

C.y=2(x-8)2+1D.y=2(x-8)2-3

【答案】A

【解析】

【分析】根据二次函数平移的规律”上加下减，左加右减''的原则即可得到平移后函数解析式.

【详解】解：抛物线y=2(x-4)2-1先向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为y=2(x-4+4)

2-1,g|Jy-Zv2-I,再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y=2x2-1+2,即＞=2^+1；

故选：A.

【点睛】本题考查的是二次函数图象平移变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.并用规律求

函数解析式是解题的关键.

8.如图，将矩形4BCO绕点A顺时针旋转到矩形的位置，若旋转角为20。，则N1为()

A.110°B,120°C.150°D.160°

【答案】A

【解析】

【详解】设C77与交于点E,如图所示：

D

Cf

・・,旋转角为20。，

・・・/。4。=20。，

・・・N8A£）'=90°-NZM£>'=70。.

,//衣4。+/5+/阻7+/。=360。，

.・・/8££>'=360。-70。-90。-900=110。，

.•.Zl=ZBEDx=110o.

故选：A.

9.一个圆的半径为4,则该圆的内接正方形的边长为（）

A.2&B.3亚C.472D.5拉

【答案】C

【解析】

【分析】根据正方形的性质得出

【详解】如图，圆的半径为4,AB=BC,结合勾股定理，进而即可求解.

:四边形ABCD是正方形，/B=90°,

，AC是圆的直径，

；.AC=2X4=8,

'.'AB^B^AC2,AB=BC,

：.2AB2=M,解得：A8=4夜，

故选C.

【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论，勾股定理以及正方形的性质，掌握圆周角定理的推论是解题的

关键.

10.如图，。。的半径为2,点C是圆上的一个动点，CAJ_x轴，C8J_y轴，垂足分别为A、B,D是四的

中点，如果点C在圆上运动一周，那么点。运动过的路程长为（）

42

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可知，四边形0AC8是矩形，D为AB的中点，连接0C,可知D点是矩形的对角线的交点，

那么当C点绕圆0旋转一周时，D点也会以0D长为半径旋转一周，D点的轨迹是一个以。为圆心，以0D长

为半径的圆，计算圆的周长即可.

•.•。为AB中点，

.•.点。在AC上，SLOD=^OC,

：。0的半径为2,

如果点C在圆上运动一周，那么点。运动轨迹是一个半径为1圆，

点D运动过的路程长为2兀♦1=2兀，

故选：D.

【点睛】本题考查了动点问题，解决本题的关键是能够判断出D点的运动轨迹是一个半径为1的圆.

二、填空题(本大题共6题，每小题3分，满分18分)

11.已知点P(2,-3)与点Q(a,b)关于原点对称，贝！J”+6=.

【答案】1

【解析】

【分析】根据两点关于原点对称，横纵坐标分别互为相反数计算即可.

【详解】解：点P（2,-3）与点。（a,。）关于原点对称，

a=-2,6=3,

a+b=-2+3=1,

故答案为：L

【点睛】本题考查了坐标系中两点关于原点对称的计算，代数式的值，熟练掌握两点关于原点对称时坐标

之间的关系是解题的关键.

12.在一个不透明袋子中有除颜色外均相同的5个红球和若干白球，通过多次摸球试验后，发现摸到红

球的频率约为0.25,估计袋中白球有个.

【答案】15

【解析】

【分析】根据摸到红球的频率约为0.25,用5除以0.25得到总球数，再计算求解即可.

【详解】解：••・摸到红球的频率约为0.25,

...不透明的袋子中一共有球为：5+0.25=20（个），

故估计袋子中的白球有：20-5=15（个），

故答案为：15

【点睛】本题主要考查用频率估计概率及应用，解题的关键是明确频率估计概率的意义.

13.如图所示，正比例函数y与反比例函数y=&的图象有一个交点（2,-1）,则这两个函数图象的

另一个交点坐标是

【答案】（-2,1）

【解析】

【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可.

【详解】解：:•正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，

.•.两函数的交点关于原点对称，

•.•一个交点的坐标是（2,—1）,

,另一个交点的坐标是（一2,1）.

【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，学生掌握函数的对称性是解题的关键.

14.已知扇形的圆心角为120。，它所对弧长为20兀57,则扇形的半径为

【答案】30cm.

【解析】

【分析】根据扇形弧长公式代入计算即可解决.

【详解】根据题意得

r=30cm,

故答案为30c〃?.

【点睛】本题考查了扇形弧长公式的应用，解决本题的关键是熟练掌握扇形弧长公式.

15.若关于x的函数丫=1«2+2*-1与》轴仅有一个公共点，则实数k的值为一

【答案】0或或0

【解析】

【详解】由于没有交待是二次函数，故应分两种情况：

当k=0时，函数y=2x-l是一次函数，与X轴仅有一个公共点.

当块)时，函数y=kx?+2x-l是二次函数，若函数与X轴仅有一个公共点，则依2+2%一1=0有两个

相等的实数根，即△=22-4永・(-1)=0,

解得：k=-l，

故答案为：。或-1.

16.如图是抛物线M=ar2+bx+c(a*0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A(l,-3)与x轴的一个交点

为8(4,0),点A和点8均在直线上%=，加+〃(加工①上①2。+人=0;②抛物线与轴的另一个交点为

(-4,0)；③方程o?+bx+c=—3有两个不相等的实数根；④a-b+c<4m+n；⑤不等式

mx+n>cvc+bx+c的解集为1«4；上述五个结论中，其中正确的结论是填写序号即可

【答案】①⑤

【解析】

【分析】根据抛物线的顶点坐标即可确定抛物线的对称轴即可得到2。+人=0即可判断①；根据抛物线的开

口方向以及与），轴的交点情况即可判断②；根据抛物线的对称轴结合已知的与X轴的一个交点即可判断③;

分别求出当工=-1时弘=a-b+c<0,当x=4时，乂=4m+〃=0,即可判断④；利用图象法即可判断

⑤.

【详解】解：•••抛物线的顶点坐标为A（l,-3）,

.•.抛物线的对称轴为直线x=--=1,

2a

2a+b—0<故①正确；

•.•抛物线对称轴为直线x=l,与x轴的一个交点为（4,0）,

...抛物线与x轴的另一个交点为（-2,0）,故②错误；

••,抛物线顶点坐标为（1,-3）,

由函数图象可知，抛物线与直线丁=-3有一个交点，

方程依2+/+。=—3有两个相等的实数根，故③不正确；

•..抛物线与x轴的另一个交点为（-2,0）

，当户一1时，J,=a-b+c<0,

•••点A和点B均在直线必=如+〃（加/0）上，

二当x=4时，y2=4m+n=0,

a—b+c<Am+n,故错误；

•••不等式〃认+〃>奴2+区+c的解集即为一次函数图象在抛物线图象上方时X的取值范围，

.,.不等式mx+n>ax2+bx+c的解集为K<4,故正确；

故答案为：①⑤.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数与一次函数图象综合等等，熟知二次函数图象的

性质是解题的关键.

三、解答题（本大题共9小题，满分72分）

17.解方程：X2-6x+5=0.

【答案】玉=1,无2=5

【解析】

［分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可.

【详解】解：X2-6%+5=0.

（x-l）（x-5）=0,

x-1=0或x-5=0,

&=1,%2=5.

【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键.

18.如图，AB是。。的直径，弦。，4B于点E,OC=\Ocm,CD=\6cm,求AE的长.

【答案】AE=\6cm.

【解析】

【分析】根据垂径定理，计算出CE的长度，再根据勾股定理计算0E的长度，两者相加即可解决问题.

详解】:弦CDLAB于点E,CD=T6cm,

CE=gCD=8cm.

在RtZiOCE中，OC=10。小CE=8cm,

•*-OE=y/0C2-CE2=V102-82=6（cm）.

.\AE=AO+OE=10+6=16(cm).

【点睛】本题考查了圆中计算问题，解决本题的关键是：①熟练掌握垂径定理及其推论，②熟练掌握勾股

定理.

19.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AO8的三个顶点均在格点上.

（1）画出△AOB绕点。顺时针旋转90°后得到的△4。用；

（2）求线段OA旋转到所扫过的图形面积（结果保留n）.

13

【答案】（1）见解析（2），兀

4

【解析】

【分析】（1）找出A,8绕点。顺时针旋转90°后的对应点A,⑸，然后顺次连接即可;

（2）首先计算出。4长，然后利用扇形面积求出结果.

【小问1详解】

如图△AOBi即为所作图形;

【点睛】本题考查利用旋转变换作图以及扇形面积，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的

关键.

20.已知二次函数y=o?+"的图象过点(2,0),(-1,6).

(1)求二次函数的关系式；

(2)写出它与x轴的两个交点及顶点坐标.

【答案】(1)y=2x2-4x

⑵与x轴的两个交点坐标分别是：(0,0),(2,0)；顶点坐标是(1,-2)

【解析】

【分析】(1)把点(2,0),(-1,6)代入二次函数丫=依2+宝，得出关于“、b的二元一次方程组，求得

。、6即可；

(2)将(1)中解析式转化为两点式或顶点式，即可求得抛物线与x轴的交点坐标和顶点坐标.

【小问1详解】

解:把点(2,0),(-1,6)代入二次函数y=ax?+bx,

4。+2。=0

得《

a—b=6

a=2

解得《

b=-4

2

因此二次函数的关系式y=2x-4x;

【小问2详解】

解：Vy=lx1-4x=2x（J^-2）,

该抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（0,0）,（2,0）.

y=2Y-4x=2（x-1）2-2,

二次函数y=2f-4x的顶点坐标（1,-2）.

【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，熟练掌握

待定系数法是解本题的关键.

21.一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中红球有1个，若从

2

中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为

（1）请直接写出袋子中白球的个数.

（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率.（请

结合树状图或列表解答）

【答案】（1）袋子中白球有2个；（2）

9

【解析】

【分析】（1）设袋子中白球有x个，根据概率公式列方程解方程即可求得答案；

（2）根据题意画出树状图，求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公

式即可求得答案.

【详解】解：（1）设袋子中白球有x个，

x2

根据题意得：——=一，

x+13

解得：x=2,

经检验，产2是原分式方程的解，

袋子中白球有2个；

（2）画树状图得：

白白打白白红白白红

:共有9种等可能结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况,

5

•••两次都摸到相同颜色的小球的概率为:9-

22.某商场一月份的销售额为125万元，二月份的销售额下降了20%,商场从三月份起加强管理，改善经

营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了144万元.

(1)求二月份的销售额；

(2)求三、四月份销售额平均增长率.

【答案】(1)100万元

(2)20%

【解析】

【分析】(1)利用二月份的销售额=一月份的销售额x(l-20%),即可求出结论；

(2)设三、四月份销售额的平均增长率为x,利用四月份的销售额=二月份的销售额x(l+平均增长率)

2,即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

【小问1详解】

解：125x(1-20%)=125x80%=100(万元).

答：二月份的销售额为100万元.

【小问2详解】

设三、四月份销售额的平均增长率为x,

依题意得：100(1+x)2=144,

解得：玉=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意，舍去).

答：三、四月份销售额的平均增长率为20%.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数丫=-x+力的图象与反比例函数丫=幺(x<0)的图象交于点A

X

(-1,6),与入轴交于点8.点C是线段A8上一点，且AOCB与AOAB的面积比为1：2.

(1)求左和b的值;

(2)将△08C绕点。逆时针旋转90。，得到△。夕C,判断点C是否落在函数y=K(&<0)的图象上，

x

并说明理由.

【答案】(1)k=-6,b=5

(2)点C在函数>=七(k<0)的图象上，证明见解析

X

【解析】

k

【分析】(1)将A(T,6)代入y=-x+6可求出b的值；将A(—1,6)代入y=一可求出人的值；

x

(2)由一次函数的解析式求出B点坐标为(5,0).根据AOCB与△。钻的面积比为1:2,得出C为中

点,利用中点坐标公式求出。点坐标为(2,3).过点C作CD_Lx轴，垂足为£>,过点C'作C'ELx轴，

垂足为E.根据A4S证明△COEwAOCD,得出OE=8=3,CE=OD=2,又C在第二象限，得出

C'(-3,2),进而判断点C，是落在函数y=--的图象上.

X

【小问1详解】

解：将A(-l,6)代入y=-x+Z?,

得，6=1+8，

「.。=5,

将A(—l,6)代入y=&,

X

k

得，6=工

解得，k=-6,

故所求人和人的值分别为一6,5；

【小问2详解】

点C是落在函数y=的图象上.理由如下：

x

•.•y=-x+5,

.,.y=0时，一x+5=0，解得x=5,

•••8(5,0).

­.-NOCB与的面积比为1:2,

为A3中点，

；4—1,6),8(5,0),

C(2,3).

如图，过点。作CD，x轴，垂足为O,过点C'作C'E_Lx轴，垂足为E.

将AOBC绕点。逆时针旋转90°,得到△08C,

:.OC'=OC,OB'=OB=5,ZCOC=90°.

NCOE=ZOCD=90°-ZCOD.

在△COE与AOCD中，

ZC'OE=ZOCD

<ZC'EO^ZODC,

OC'=oc

..△COEwAOCTXAAS),

:.OE=CD=3,CE=OD=2,

•••C在第二象限，

.♦C(-3,2),

点。是落在函数y=的图象上.

x

【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，线段中点坐标公式，全等三角形的判定

与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，都是基础知识，需熟练掌握.

24.如图，在△ABC中，AB=AC,NBAC与NA8C的角平分线相交于点E,AE的延长线交△ABC的外接

圆于点。，连接8D

(1)求证：NBAD=NDBC；

(2)证明：点8、E、C在以点。为圆心的同一个圆上；

(3)若AB=5,BC=8,求△ABC内心与外心之间的距离.

【答案】(1)见解析(2)见解析

⑶-

2

【解析】

【分析】(I)根据同弧所对的圆周角相等，可得N2=NZ汨C,再由AO平分/B4C,得N1：：N2,从

而证明结论；

(2)由8£>=C。，得BD=CD,再根据NBED=N1+Z3，ZDBE=N4+NDBC,得ZDBE=/BEO,

从而有BD=DE，即可证明；

(3)由题意知E为内心，。为AABC外心，设=OH=x-3,则BO?=B/T+。”2,可求出

B。的长，再根据勾股定理求出8□的长，而从而得出答案.

【小问1详解】

解：证明：：仞平分NB4C,

，N1=N2，

又•.•N2=ZD8C,

：.ZBAD=ZDBC；

【小问2详解】

解：证明：•.•AB=AC,AO平分NB4C,

BD=CD<

连接CD,

BD=CD,

・・・8石平分/ABE，

.・.N3=N4,

•/ZBED=Z1+Z3,ZDBE=/4+/DBC,

:.ZDBE=ZJSEO,

BD—DE，

/.BD=DE=DC,

•••点8、E、C在以点。为圆心的同一个圆上;

【小问3详解】

解：如图：

BD=DC,ZABD=ZACD=90°,AD^AD,

:.Rt4AB*RtAACD(HL),

:.AB=AC>

AH=AH,ZBAH=ZCAH,

：^ABH^ACH(SAS),

：.BH=CH,

：.BH=-BC=4

2

:.ZAHB=ZAHC=90°,

:.AD±BC,

在RSAB"中，AH=3,

在RtABHO中,设BO=x,OH=x-3>

^ABO2=BH2+OH2，

即x2=16+(x-3)2,

25

解得：x=

6

25

即BO=——,

6

•.•AO为直径，

:.ZABD=90°,

在RsABD中，

BD=^AD2-AB2=—,

3

“20

..DE——,

3

八厂20255

/.OE=---------=-,

362

•.•E为AABC角平分线的交点，

r.E为内心，

:.OE为AABC内心与外心之间的距离，

AABC内心与外心之间的距离为°.

2

【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，三角形的内心和外心的性质，圆的定义，勾股定理

等知识，解题的关键是利用(2)中证明结论8D=D石是解决问题(3)的关键.

3

25.在平面直角坐标系wy中，抛物线yua^+fov+c的开口向上，且经过点A(0,-).

2

(1)求。的值；

(2)若此抛物线经过点B(2,-1),且与x轴相交于点ECxi,0),F(X2,0).

①求6的值(用含。的代数式表示)；

②当E产的值最小时，求抛物线的解析式；

(3)若当0SE1,抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求6的值.

3

【答案】(1)c=-

2

,3

(2)①一2。-1,@y=x~-3xH—