重难点02 三角函数的图像与性质十五大题型-2022-2023学年高一数学下学期期末复习【重点·难点】（解析版）

重难点02三角函数的图像与性质十五大题型汇总

期末题型解读

满分技巧

技巧一.三角函数图像变换

(1)要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像;

(2)要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；(3)由

y=Asin口x的图像得至(Jy=Asin(6+口)的图象时，需平移的单位数应为号,而不是|口

技巧二求周期的三种方法

①利用周期函数的定义.f(x+T)=f(x);

②利用公式：y=Asin(G+。)和丫=人8$(DK+LJ)的最小正周期为含,y=tan("+□)的最小正周

期为言；

③利用图象.图象重复的X的长度.

技巧三.三角函数的单调性的规律方法

1.求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定.

2.求形如丫=人5吊（pEy=Acos（2+。）（其中，口＞0）的单调区间时,要视为一个

整体，通过解不等式求解.但如果口＜0,那么一定先借助诱导公式将O化为正数，防止把单调性弄错.

题型1三角函数的图像变换

【例题1]（2022春•云南•高一统考期末）为得到函数。=3sin（o+g）的图象，只要把□=3sin&h所

有的点（）

A.向左平行移动g个单位长度B.向右平行移动g个单位长度

C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度

【答案】C

【分析】由函数图像伸缩变换规律即可求得结果.

【详解】根据三角函数图象伸缩变换规律可知，

只需将3sinO向左平行移动g个单位长度后，即可得到O=3sin（。+9的图象.

故选：C

【变式1-11（2023秋・贵州黔西•高一统考期末）若函数0（。=cos，口（口=cos,

则函数0（。的图象经过怎样的变换可以得到函数0（。的图象（）

A.将横坐标缩短到原来的4音,再向左平跳个单位，纵坐标保持不变

B/镭坐标缩短到原来的;倍，再向右平移2个单位，纵坐标保持不变

C.先向右平曜个单位，再将横坐标缩短到原来的3音，纵坐标保持不变

D.先向右平跳个单位，再将横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标保持不变

【答案】B

【分析】根据三角函数图象的平移与伸缩变换，逐项分析变化过程即可得出答案.

【详解】对A,的图象横坐标缩短到原来的3若得到。=cos(2£7+》，

再向左平移居个单位，纵坐标保持不变得到〃=cos[(2(0+盘)+g=cos(20+g)=-cos(20+^

故A不正确；

对B,0(。的图象横坐标缩短到原来的3落得到。=cos(2D+》，

再向右平移联个单位，纵坐标保持不变得到〃=cos|(2(£7-J+g=cos(2/7+小=口⑪，故B正

确；

对C,0(。的图象先向右平移工个单位得到O=cosg=cos(0―J,

再将横坐标缩短到原来的熊,纵坐标保持不变得到□=cos(2。-3,故C不正确；

对D,0(。的图象先向右平鸳个单位得到O=cos1(〃-J+g=cos(0+9,

再将横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标保持不变得到£7=cosgO+9,故D错误.

故选：B

【变式1-2](2021春•西藏日喀则•高一校考期末)为得到函数口=cos(20+3的图像，只需将函数。=

sin2B)图像()

A.向左平移盘个长度单位B.向右平移盘个长度单位

C.向左平窿个长度单位D.向右平移!个长度单位

【答案】A

【分析】设出向左平移O个长度，利用诱导公式将余弦函数变为正弦函数，列出方程，求出答案.

【详解】□=cos(2/J+9=sin(20+g+，=sin(20+，

将函数。=sin2饰左平移6长度单位，得到。=sin(2〃+2口,

故2口=7，解得。=微，

O1Z

即向左平移居个长度单位.

故选：A

题型2由图像求解析式

【例题2】（2023秋•甘肃天水•高一统考期末）已知函数0（。）=LJcesl□□+。0,口>0,0<D<

，的部分图象如图所示，则口（-1）=.

y八

不1

-------0^4~~

【答案】2

【分析】先求得。（。的解析式，由此求得0（-1）.

【详解】由图可知□=2,□⑪=2cos（。。+D）,

r£7（0）=2cos£7=1（cos£7=

且仿&=2cos（知+O）=0，即,os（2+⑺=0，

由于0<D<\,所以£7=，贝（IcosQ0+9=0,

所以go+g=%i+?o=2%+ggz,

（U>0

依题意，n1„,SPO<Z27<n,

匕=而>1°

所以£7=/所以口（0=2cosg〃+9，

所以£7（-1）=2cos0=2.

故答案为：2

【变式2-1]（2023秋•黑龙江哈尔滨•高一哈尔滨市第六中学校校考期末）已知函数。（。=

using□+D）（n>o,n>o,-n<n<o）的部分图象如图所示，下列说法中错误的是（）

A.函数。的图象关于点（-金,（））对称

11TT

B.函数0（。的图象关于直线0=-旅对称

c.函数口（。在3T上单调递增

D.函数。（。在0,1的取值范围为[-6,73]

【答案】D

【分析】根据题图得〃=2,LJ=2,由O©=o可得口=-y,故=2sin。0一年），再逐项分

析即可.

【详解】由题意可得77=23=5=?一！=1解得。=2.

由2xg+Z7=£7TT（Z7GU）,得口=-y+£7TT（Z7GU）.

因为-TT<n<0,所以O=-y,所以=2sin（2Z7/）

O（-3=2sin2x（筌）*=。，所以函数4。的图象关于点（-对称，故A正确；

。（一9）=2sin2x（—詈）—g=-2,故函数。（。的图象关于直线〃=一?对称，故B正确；

□e时，[-2以，所以函数0（。）在]上单调递增，故C正确；

4ZoOO4Z

一■,TTrt_L,2n2nn-2n\r/V31

口E0,5时，2Z7-~~3,3，所以sin（2Z7-€[-1,另，

所以口（口）=2sin（20-€[-2,V3],故D错误.

故选:D.

【变式2-2]（2023春•四川成都•高一成都实外校考期末）已知函数。（。=Osin（nn+口（口>0,口>

0,IZJ|<TT）的部分图像如图所示.

（1）求0（。的解析式及对称中心；

（2）先将口（。的图像纵坐标缩短到原来的相，再向右平移喂个单位后得到。的图像，求函数口=

在口e/$上的单调减区间.

【答案】⑴0（。）=2sin（2U-9,对称中心为一）°），口€Z

⑵B'T

【分析】Q）由函数的图像的顶点坐标求出O,由周期求出口，由五点法作图求出中值，可得0（。）的解

析式，再利用三角函数的图像得出对称中心.

（2）由题意利用函数口=6in（O〃+。的图像变换规律，求得口（。的解析式，再利用余弦函数的单

调性得出结论.

【详解】（1）根据函数0（。=Ofein（DO+口<□>0,。>0,|O|<n）的部分图像,

—-c32Tt571Tt.

可rZ付t=1Z7=2,--—=—+-,□=2.

再根据五点法作图，2x羽+〃=£.・・。=一,

故有〃（O=2sin（2O-J）.

根据图像可得，（-g,0）是0（。）的图像的一个对称中心，

故函数的对称中心为（专一5，0）,£7eZ.

（2）先将£7（。的图像纵坐标缩短到原来的J可得。=sin（2。-"的图像，

再向右平移导个单位，得到O=sin卜（0-高=sin（2O-g）=-cos2B）图像,

即£7（。=-cos2Z7,v-2ZZ7n-n<2Z7<2ZZ7rc,UeZ,解彳导次-gWD<ZZTrr,Z7eZ,

可得0（。的减区间为On-T,On,OeZ,结合。e??，

可得0（0在2上的单调递减区间为丁?.

【变式2-3]（2022秋・云南昆明•高一统考期末）已知函数。=IMJJ□+口缶>0,口>。\0\<

（1）求函数0（。）的解析式和最小正周期；

（2）求函数口（。在R上的单调增区间.

【答案】⑴。（a）=3sin（2O+5；最小正周期。=n；

（2）[on-]On+!,Z7e乙

oo

【分析】（1）根据最大值可得A,根据周期可得3,根据五点作图法中的第三个关键点的横坐标可得（p；

（2）^2£7n-^<2£7+J<2On+^,£7eZ,求解即可.

262

【详解】（1）根据函数0（。=加（口口+0（o>o,o>o,I。<，在一个周期内的图象,

可得。=3,黄指=1+/..。=2

由五点作图法中的第三个关键点可知2x^+n=n+2Dn,D&Z,

D=-+2Oi,U&Z,又|。|□=-,

o•••Nb

所以£7（0=3sin（2。+9,它的最小正周期为£7=g=n.

（2）令2%-上2。+岸20rl+2OeZ,

NON

可得。公On+崇£7eZ,

故函数0（。的递增区间为g,On+1,Oe乙

【变式2-4]（2023秋•浙江杭州•高一杭州四中校考期末）如图所示，点M,N是函数0（。）=

2sin（£7£7+D）（0＞0,＜，的图象与x轴的交点，点P在M,N之间的图象上运动，若。（一1,0）,

且当△口的面积最大时,□□工□□,则下列说法不正确的是（）

A.0（0）=V2

B.0（。的图象关于直线0=5对称

C.0（。的单调增区间为[—1+8Z71+8a（Z7eZ）

D.卬，Q€[-1+町1+8Z7]（Z7GZ）,均有＞口5+：6

【答案】C

【分析】根据题意求出aa从而求得此函数表达式，再运用三角函数相关知识对各选项逐一分析即可.

【详解】因为当△口。中）面积最大时，。在最高点，所以％=2,

又OZ71口口,由函数Z7（。=2sin（Z7Z7+。的对称性质知，△口。。为等腰直角三角形，

所以在R3LJLJLJ^,|LJEJ\=2□口=2x2=4,

所以今==4,0=8,即需=8,又口＞0,所以。=」,

因为函数0（。=2sin（；〃+经过〃（一1,0）,则0（—1）=2sin（-；+O）=0,

所以一占+口=Dr（DeZ）,即。=5+式0红），又因为|。!＜]，所以取。=：.

所以函数表达式为。（O=2sinG£7+

对于A,0（0）=2sin（。=2x]=低，故A正确；

对于B,0(5)=2sin仁+，=2sin停)=-2取得函数最小值所以0(。的图象关于直线。=5对称，

故B正确；

对于C,£7+<2/^n+^(£7eZ),解得8。—3WZ7w8Z7+1(〃eZ),

所以£7(。)的单调增区间为[-3+80,1+Z),故C错误；

对于D,由C选项分析以及题意可知函数图象在[-1+8&1+8D\(JJwZ)区间上为以由上方单调递增部

分，

结合图象可知，此部分图象上凸，满足wa，4e[-1+8a1+8a(OeZ),均有

口(%上)之吟+产,故口正确

故选：C

题型3选图像问题

【例题3](2022秋•云南昆明•高一统考期末)函数。=器的部分图像大致为()

【答案】B

【分析】先判断函数的奇偶性，再利用特殊值排除可得答案.

【详解】因为=落，所以口(一。=哥£=窑=0(。，

即函数为偶函数，排除C,D;

因为0(0)=1,所以排除A;

故选：B.

【变式3-1]（2023秋・河北石家庄•高一统考期末）函数0（。=潦T的图象大致是（）

ln（/_/+21

【答案】c

【分析】先判断函数奇偶性，排除A、D选项，再根据0（0）排除B选项，即可得结果.

【详解】函数0（0=否定义域为R,且0（-0=瑞=曲=£7（。，

所以0（。为偶函数，排除A、D选项；

因为0（0）=3w0,所以排除B,

故选：C.

【变式3-2]（2021秋•四川成都•高一四川省成都市新都一中校联考期末）函数口=*：薪,口€

[-2口2。]的图象大致是（）

【答案】A

【分析】根据奇偶性判断CD,取特殊值判断AB.

【详解】令0（。=送塔3,□&[一2&2a,0（—。=/哆=-Z7（Z7）,即函数为奇函数，

其图象关于原点对称，故CD错误；

u.3£7

5sm—

哨=<0,故B错误;

故选：A

【变式3-3]（2022秋・广东广州•高一广州六中校考期末）函数0（。=考鉴的图象大致为（）

COSL_/।/

【答案】A

【分析】由函数的奇偶性质可知函数为偶函数，再结合。=亨时函数的符号即可得答案.

【详解】解：由题知函数的定义域为。，关于原点对称，口1一口==与哈=,所以函

COS（—Z_/）+2C0SZ_J+2

数为偶函数，其图像关于a由对称，故^除B,D,当。=年时，口⑥==7>0,故SE除C,得

A为正确选项.

故选：A

【变式3-4]（2021浙江•高一期末）函数O=OfeinZ7+sin牛区间上的图像大致为（）

【答案】A

【分析】将。=代入O=£7sinO+sinO,排除B,D;利用O-0一时，口内，排除C.

【详解】解：将。=-TT,TT分别代入O=Osin£7+sin£7，得到的函数值均为0,排除B,D选项；

又因为当口一0一时，0一，排除C选项.

故选：A.

【变式3-5]（2023秋•山东聊城•高一统考期末）如图，动点P从点M出发，按照口一UTD珞径

运动，四边形ABCD是边长为2的正方形期DM以A为圆心AD为半径设点P的运动路程为x,△□□□

的面积为y,则函数口=的图象大致是（）

【分析】求得。（O在（0,可,（5+2]上的解析式，由此确定正确答案.

【详解】弧。张为:x2nx2=n,

当0<Own时，□=£7（O=gx2x（2xsin3=2xsing,排除AC选项.

当Wn+2时，O=£7(£7)=gx2x2=2,排除D选项.

故选：B

题型4三角函数的定义域与不等式

【例题4]（2017秋•湖北荆州•高一统考期末）函数。=Jlog5（1-2sinZ7）（-f<£7W9的定义域是（）

A.[-f,0]B.[-f,f）C.[-f,0）D.

【答案】A

【分析】由函数解析式及X的取值范围，根据根式、对数、三角函数的性质，列不等式求定义域即可.

1-2sin£7>0sin£7<：.„_

【详解】由题意，得｛05。-2sin。？0,则0_2sinn>1,即｛艾方〃，

-襄口招一旦〈口〈旦F口交

：,□6[-y.0].

故选：A.

【变式4-1]（2021秋•江西南昌•高一南昌市八一中学校考期末）xe[0,2n],y=VI所B+中屹的定

义域为（）

A.得B.（MC.[若）D.（苧,2£7]

【答案】C

tan/7>0

【解析】由解析式可得-cosONO，解出即可.

.0<O<2D

tan£7>0

【详解】由题意，-cosO>0,解得OW口鸣,

10<D<2口

所以函数的定义域为[a

故选：c.

【变式4-2]（2021春•陕西汉中•高一统考期末）已知函数。（。=nsin（nn+D）（D>0,D>0,\lJ\<

（2）求不等式口<0的解集.

【答案】（1）口（。=①sin2O+g

⑵(£7GU)

Oo

【分析】(1)利用三角函数的图象性质分别确定系数aa。即可；

(2)利用三角函数的图象性质解三角不等式.

【详解】(1)由图象可得。=夜，

•••0(0的最小正周期□=4x(段-9=n,0=崂=2.

由口停)=V2sin(g+O)=一夜，即sin停+〃)=一1,

所以g+£7=?+2Dn,£7eZMU£7=?+2On,£7eZ,

iav2,@口=g-

:.□(EJ)=V2sin(2ZZ7+g).

(2)由图易知求)=0,碓)=Z7(£7)min,

不等式口(。<。的解集为(HeD).

【变式4-3](2023秋•江苏镇江•高一统考期末)已知函数0(。=Z7sin。+2>0对任意实数O恒成立，

则实数5勺范围为.

【答案】-2<U<2

【分析】□(口=HsinO+2>0对任意实数。恒成立，则(%inO+2)min>0,讨论口与0的大小可得

答案.

【详解】因0(。=OsinO+2>。对任意实数成立，贝[l(%in£7+2)min>0.

当口=0时，符合题意；

当。〉0时，(ZDfeinZ7+2)min=-，+2>0=0<U<2;

当£7<0时，(ZZfein〃+2)min=£7+2>0=>-2<Z7<0.

综上,-2<LJ<2.

故答案为：-2<Ov2

【变式4-412018秋•湖北武汉•高一校联考期末盾函数0(。=。苦+5所£7则关于疗勺不等式£7(£7-

2)+口(4—4)<。的解集是.

【答案】(73.2)

【分析】由已知，先求解函数的定义域，然后再判定函数的奇偶性、单调性，利用奇偶性对0(。-2)+

0(4-4)<。进行整理变形，利用单调性解不等式即可.

【详解】由伸〉0,求得-1<£7<1,故函数的定义域为(-1,1),

再根据函数满足Z7(-。=In(黑)+sin(-ZT)=-In匿—sinO=-口(口,

可得函数为奇函数，

故关于并不等式0(0-2)+口口-4)<0,即0(0—2)<--4)=H(4-6,

再由函数。=号□=sinOS的定义域(-1,1)上单调递增，

—1V口—2Vl

可得函数0(。在其定义域上单调递增，可得-1<万-4<1,

。-2<4-£^

解得V3<ZZ7<2.

故答案为：(V§,2).

【变式4-5](2018春•四川宜宾•高一校考期末)已知函数。(。二一4+200+34.

⑴当。=-1时，求不等式0(。<-5的解集；

(2)若£7(sin。>。对任意实数成立，求实数。B勺取值范围.

【答案】(1)(-8,—4)U(2,+8)；(2)(-8,—1)U(1,+8).

【分析】(1)代入口=-1，化为标准不等式，可得Q2+20-8>0,结合二次函数图象可解.

(2)令£7=sinOe[-1,1],^(sinH)>。对任意实数。都成立"可转化为:"□⑪>0对任意实数。e

[-1,1]都成立"即。（。）[^>0,De[-1,1],转化为求0（。最小值问题.

（1）

当□=—1时，£7（£7）<—5即为—4-2Z7+3<-5,

变形整理得：万+2D-8>0,

;方程万+2口—8=。的两根为ZZ7=-4与ZZ7=2,

又因为二次函数。（。的图象开口向下，

:.□<-4或£7>2,

:•不等式0（<一5的解集为（―8,一4）u（2,+8）.

（2）

令口=sin£7,则当£7e口时,□=sin£7e[—1,1],

于是"口即口>0对任意实数中成立"转化为："0（。）>。对任意实数Oe[-1,1]都成立"，

•••口（口E\n>0,£76[-1,1],

由二次函数的性质知，关于5勺二次函数。（。=-4+20/7+3A2在上的最小值为0（Omin=

min（£7（-1）,£7（1））,

产（-1）=-1-2。+3g>0，解得已<一§或,即〃<一1或〃>1,

I£7（1）=-1+2。+3炉>0[o<-1或£7>g

••・实数争取值范围为（-8,一1）u（1,+8）.

题型5正弦型函数的最值与值域

【例题5]（2021春•陕西汉中•高一统考期末）已知函数0（。=V2cos（6。-9.

（1）求。（。的单调递增区间；

⑵当口6时,求0（。的值域.

【答案】⑴悸+券竽+4（OeZ）

(2)[-V2,l]

【分析】(1)根据周期性和整体法即可求cos型三角函数的单调递增区间；

(2)根据06勺范围可得到60的范围，再结合余弦函数的性质即可求解值域.

【详解】(1)•：□=cos£7£[2Un.+n,2£7n+2n|(OeZ)上单调递增，

v2Z7rt+n<6Z7--4<2£7ri+2n,Z7eZ,

EtOrr5n_£7n3n_

则丁+五wow丁+石，Dez.

的单调递增区间为[W+,，W+(OeZ).

(._2).■••£._7,enn6_£.__7,--nen5n,

—1Wcos(60—,<曰,

-V2<£7(ZJ)<1.

.・当□e品时,的值域为[-短1].

【变式5-1](2023秋海南•高一海南华侨中学校考期末)已知函数0(。)=sin(2£7-分-1.

⑴求。(。的对称中心和单调增区间;

(2)当口eV渭时，求函数口(。的最小值和最大值.

【答案】⑴对称中心为信+竽，-1),小Z,单调增区间为?Orr+1,OeZ;

(2)最小值为-1-1,最大值0.

【分析】(1)结合正弦函数的性质，整体代入即可求出函数的对称中心以及单调递增区间；

(2)令□=2L7-J,由已知可得，De根据口=sin/J-1的单调性,即可得出函数的最值.

OIOO

【详解】(1)令2。-2=%，0€2,则0=5+竽，0€2,

所以£7(。的对称中心为俏+号,-1),小乙

由w25+；,〃ez,解得Oi+^.DeZ,

26263

所以函数的单调增区间为[on-[,DeZ.

63

(2)令。=2。-(

0

因为De-白司,所以£7e,

则O=sin〃-1在卜g,j上单调递增，在FT上单调递减.

当£7=20-3=3，即0=脚，函数口（。有最大值为0（：）=5访1-1=0;

又新（一3=—'，sin?=苧>sin（一',

所以，当口=20-2=-，即0=7时，函数0（0有最小值为0（—3=5沿（一，一1=一9一1.

所以，函数。（。的最大值为0,函数。（。）的最小值为-'-1.

【变式5-2]（2023秋•河北石家庄•高一统考期末）已知函数0（。=2sin（□口+小口>0）的图象相邻

两条对称轴之间的距离为T.

（1）求口（。的解析式和单调递增区间;

⑵求函数0（。在区间上值域.

0N

【答案】01）。（0=25访（2£7+3,单调增区间为[27-喙口口+郁（Z7eZ）.

⑵[-倡2]

【分析】（1）根据正弦型函数的性质得出2勺值，结合正弦函数的单调性确定函数。（。的单调递增区间；

（2）根据正弦函数的性质得出sin（2。+9,进而得出函数口（0在区间-，T上的值域.

【详解】（1）因为相邻两条对称轴之间的距离为3,所以口（。的最小正周期。=n,

所以D=:，・・•£7>0,则£7=2,.・•£7（£7）=2sin（2D+学,

又因为当2OD-gW2口+gW2Oi+l，口€Z时函数0（。单调递增，

即小书式OS5+g乙

所以函数0（。的单调递增区间为Oi-^,ai+^,（O6Z）；

（2）（2）当£7e[—黯]时,2/J+ge[o,^],所以sin（2D+}e

所以函数0（。在区间的值域为

【变式5-3]（2023秋•浙江杭州•高一杭师大附中校考期末）已知函数=3sin（0口+0,

的图象关于口=三对称，且。（0）=-1.

（1）求满足条件的最小正数侬此时口（。的解析式；

（2）若将问题（1）中的。⑷的图象向右平碟个单位得到函数0（。的图象，求0（。在上榭上的值域.

【答案】⑴最小正数孕2,此时。（⑪=3sin（20-3

⑵卜冽

【分析】（1）根据0（0）=-海o=-5，由O=3为对称轴可得了2+3口口W口,即可求解，

200

（2）根据平移可得£7（。）=□（□->=-3C0S2Z7,由余弦函数的性质即可求解值域.

O

【详解】（1）由0（0）=-海£7（0=3sin£7="nsin〃=一；，由|口|<患口=一？,又0（。的图

zzzzo

象关于口=的称，所以=3sin（竽-）=±3=竽一乙解得。=2+3口口E口,

当口=。时，3到最小的正数2,此时0（。=3sin（2。一"

（2）0（。的图象向右平移!个单位得到函数0（。=口（□-%=3sin（2O-M，）=-3cos20,

当。£q刀时，2ZZ7w,cos2£7w[―1,耳，所以—3COS2ZZ7E[―13],

ooooLzjLZ」

故0（0在，亨上的值域为卜I，3]

【变式5-4]（2023秋•浙江•高一校联考期末）已知函数0（。=2sin（O£7）,其中常数。〉0.

（1）若口=口（。在一，|TT上单调递增，求可取值范围；

。）令口=2，将函数口=口（。的图象向左平瓮个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的;倍,

纵坐标不变，再向上平移I个单位，得到函数0=0（。的图象.若。=0（。在区间[口口上至少含有

30个零点，求O-G6勺最小值.

【答案】⑴（0用

⑵等

【分析】（1）求条件可得。小-竽，子=[201-^,201+^],£7eZ,由此可求2勺取值范围，

（2）由函数图象变换结论求函数0=0（。的解析式，要使O-D最小，则O=□*□=口。,研究

sinZ7=的零点进而可以求出结果.

【详解】（1）由题设?+；察式曰=:，0=蒋，，。<041

Orrn

"K£7eZ,解得0<3/7+1Z7eZ.

2Dn八一TT4

{-yW2ZZ7n+-

综上，语取值范围为（o1.

（2而题设0（。=2sin2〃；|各函数0（。的图象向左平琮个单位得£7=口=2sin（2D+，

再各点的横坐标缩短为原来的7倍，纵坐标不变，向上平移1个单位，则0（。=2sin卜0+9+1.

令0（0=。得sin［〃+9=，

令口=4□吟，设口=0（。在区间［口4上的30个零点分别为4,乌,…，4。,

则&=4a+，•••，4=4Z73O+g，sin〃=一诳40+g,4Z7+g上有30个零点，

要使。一。最小，则£7=口*□=%,

因为£7=sin。在每个周期内各有两个函数值为-;，所以15个周期里面有30个零点，

则□—。最小时，若□1=4。1+w=口30—44o+T=30TT--=――,则（44o+j-

OOODO\0J

（4厂n\86n

所以4。一01=?，即。一中）最小值为胃.

OO

【变式5-5］（2023秋・浙江杭州•高一浙江省杭州第二中学校考期末）已知函数0（。=2sin2（£7-+

C0S2ZZZ

⑴求函数。（。的最小正周期和单调递增区间；

（2）当0<£7<^,求0（。的值域.

【答案】（1）0,单调递增区间为［OO-争OO-的（口e口

⑵［咽

【分析】（1）由三角恒等变换化简解析式，由余弦函数的性质求解；

(2)由余弦函数的性质得出的值域

【详解】(1)1•,£7(£7)=1-cos(2£7-y)+cos2£7=1-cos2£7-ySin2£7+cos2U=cos(2£7+y)+

1,

由2口口-□三2口+=£2口加得口□一"£D<,D&口，

336

即口(。的最小正周期为O,单调递增区间为-/口□-f|(£7eD).

(2)v0<O<y,.-.y<2D+y<^,C0S(2O+第G卜词

故0(0的值域为[o,I].

题型6换元法求三角函数的最值与值域

【例题6](2021秋•江苏镇江•高一扬中市第二高级中学校考期末)若函数0=lg(V3-2sin£7)+Ji-北

的定义域为A.

(1)求集合A;

(2)当ZZ7eOW,求函数0=cos2£7+sin〃fi勺最大值.

【答案】(1)0=[-1,1]；(2)5

【分析】(1)由[eIs吧>°可解得结果；

(2)利用同角公式变形，再换元利用二次函数知识可求得结果.

【详解】(1)解不等式产-2sg>0得卜inO<?，得产□调<口<2口口+式□w口得

I1-Z72>0(-1<£7<1]-1<H<1

-1<O<1，所以

(2)U=cos2ZZ7+sinZZ7=-sin2ZZ7+sinZZ7+1=-(sin。-》+：

-1<IJ<1,・・・-sin1<D<sin1

故当sin£7=《即£7=今时,4ax='

【点睛】关键点点睛：换元后利用二次函数知识求解是解题关键.

【变式6-1]（2023秋•安徽马鞍山•高一统考期末）已知函数0（0=-cos2£7+DsinD+2□，口.

⑴若O=-1,求。（。的值域；

⑵若0（。在[0,Q上有零点，求5勺取值范围.

【答案】⑴卜苧，一3];

（2）晦

【分析】⑴化简得=（sin。-y_'sinDe[0,1],结合二次函数的性质即可得答案；

（2）由题意可得。=黑震，令Z7=2+sinO,则。e[2,3],则有。=4-（。+方,结合对勾函数的性质

即可得答案.

【详解】（1）解：由。=一1,

得口（口）=-cos2£7-sin/7-2=sin2Z7-sinZZZ-3=（sin£7-^）2-J,

由[0,得sinOe[0,1],

所以一苧4W-3

即0（0的值域是卜果一3]

（2）因为Oe[0,D\,所以sinZJe[0,1],

由77（。=0,可得/7（2+5访0=8$2。=1-sin2Z7,则。

令0=2+sin。，则Z7e[2,3],

则。=^^=4一（。+与，

由函数口=在[2,3]上单调递增，

得。+浜g4],

所以口e[O,J

【变式6-2]（2023秋•黑龙江大庆・高一铁人中学校考期末）已知函数。（。=sin2O+cos□-□.

⑴求。（。在，TT上的值域；

⑵当。>0时，已知0（0=Oog2（口+3）-2,若V46口5]「4€有可，使得00〃（4），

求加取值范围.

【答案】⑴[—1—0,1—口

⑵生+8）

【分析】（1）将口（。化为关于cos）勺类二次函数，结合换元法和二次函数性质可求。（。在pTT上的

值域；

（2）若V0e[1,5],3£72e9可，使得。（&）>口（4）,则问题转化为：口（口0谛>口（口0出

分别求出最值解不等式即可求出参数的取值范围.

【详解】（1）当0（。=1一cos2/Z7+cos。-£7=-cos2/Z7+cos£7+1-◎,

令口=cosZZ7,

贝！=-4+0+1-□=-1□-，'-□,口£[-1,0],

由于函数。=一（。一+5-。在[-1Q]上单调递增，

故当O=-1时，侬得最小值一1一口;

当£7=0时，争得最大值1一口,

所以。（。的值域为[-1——a；

（2）若e[1,5],3O2e邑川，使得O（&）>〃（&），

则问题转化为：O（Omin>〃（a）min

因为0（。的值域为[一1-口1一@（。>0）,

口l口市in=-'-口;

口（⑪在15]上单调递增，

当口=1时，£7（Z7）min=2D-2;

所以2。一22一1一O

即。2J

所以a的取值范围为：De良+8).

【变式6-3K2023秋广东•高一校联考期末)已知函数口(。=cos2£7+2%in〃+2中)最大值为-g.

⑴求a的值：

(2)当Oe。时,求函数的最小值以及取得最小值时x的集合.

【答案】(1)0=-1

(2)最小值为-5,中)取值构成的集合为1O|£7=T+20nQez1

【分析】Q)换元法，分类讨论二次函数在给定区间的单调性和最值；

(2)利用二次函数的性质求最值以及三角函数的性质求时x的集合.

【详解】(1)£7(/7)=cos2£7+2OsinZZ7+20=1-2sin2O+2/jfeinZ7+20

=-2sin2£7+2ZZfein£7+2Z7+1,

令£7=sin£7e,则£7(0=—2炉+2Z7O+20+1,对称轴4=年，

当乌=§S—1即。S-2时，

□(D)=-2才+2OZ7+2Z7+1在［-1,1］单调递减，

所以£7(Omax=0(-1)=-2-2Z7+2Z7+1=-1不满足题意；

当-1〈年<1即—2<£7<2时，

£7(£7)=—24+2DU+20+1在卜单调递增，仁,［单调递减，

所以O(Omax=吗=一名+^+20+1=W,

即£^+40+3=0解得。=-1或0=-3(舍)；

当4=乡？1即。22时，

□(D)=-2^+200+20+1在De［-1,1］单调递增，

所以£7(Omax=口(1)=-2+2ZZ7+2ZZ7+1=—g

解得口=彳不满足题意，

O

综上0=7.

(2)由⑴可得口(O=-2Cf-2D-1在卜1，W)单调递增，(一；,1]单调递减，

所以当口=1时函数有最小值为。(1)=-2-2-1=-5,

此时口=sinO=1,则OB勺取值构成的集合为忖77="叫

sin(2n-£7)cos(^+Z7)

【变式6-4](2022秋•湖北襄阳•高一襄阳五中校考期末)已知。(。=、-

cos!-尹£7卜an(n+£7)

(1)若角。终边有一点。(aV3),且cos〃="求m的值；

⑵求函数0(。=2厅(。-口讲6+1的值域.

【答案】(1)0=1

⑵£7(。的值域为[。*]

【分析】(1)由三角函数的诱导公式即可化简。(。，再由三角函数的定义即可求出勺值；

(2)对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质及二次函数的性质即可求解.

【详解】(1)由题意可得℃==郎关署=8s£7,

cosl--+Z7ltan^n+Z27)

•・•C0SZ7=-^5==\,可得Z7>0,

H2

(2)因为Z7(。=cos£7,所以口(0)=cos。，

£7(£7)=2cos2£7-cos(zZ7+g)+1=2cos2£7+sin£7+1

=-2sin2Z7+sin/7+3

=-2(sin£7-J)2+^,

因为sinZ7e[-1,1],

所以当sin〃=；时，O(£7)max=,当sin〃=-1时，£7(O)min=0,

所以0(。的值域为[o噌.

题型7三角函数中的比较大小问题

【例题7】(2023秋浙江・高一期末)0=；,0=5吗，0=啮28,则()

A.D<U<口B.U<U<U

C.EJ<U<EJD.U<U<□

【答案】C

【分析】根据正弦函数的单调性可得a%)大小，根据对数的性质可得a。勺大小.

【详解】因为gg,且□=sin。在区间(03)上为增函数，

所以5访；<5吗=；,即0<口、

NbN

又ZJ=glog2?=log2V2<log2V3=口,故口<□<口.

故选：C.

【变式7-1](2023秋•陕西西安・高一长安一中校考期末)定义在R上的偶函数0(。满足。(0+1)+

口(D)=0,当Oe[3,4]时