考向22 解三角形（重点）解析版-2022年高考数学一轮复习考点微（新高考地区专用）

考向22解三角形

1.（2021•全国高考真题（文））在中，已知B=120。，AC=M，AB=2,则8C=（）

A.1B.72C.>/5D.3

【答案】D

【分析】

利用余弦定理得到关于比,长度的方程，解方程即可求得边长.

【详解】

设AB=c,AC=b、BC=a,

结合余弦定理：/=a2+/_2accos8可得：19=a2+4-2xaxcosl201

即：4+24-15=0,解得：a=3（a=—5舍去），

故8C=3.

故选：D.

【点睛】

利用余弦定理及其推论解三角形的类型：

（1）已知三角形的三条边求三个角；

（2）已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；

（3）已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形.

2.（2021•全国高考真题）在AABC中，角A、B、C所对的边长分别为“、b、。，b=a+l,c=a+2..

（1）若2sinC=3sinA,求的面积；

（2）是否存在正整数。，使得为钝角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）上且；（2）存在，且a=2.

4

【分析】

（1）由正弦定理可得出2c=3a,结合已知条件求出。的值，进一步可求得力、c的值，利用余弦定理以及

同角三角函数的基本关系求出sinB,再利用三角形的面积公式可求得结果；

（2）分析可知，角C为钝角，由8sC<0结合三角形三边关系可求得整数。的值.

【详解】

(1)因为2sinC=3sinA,则2c=2(。+2)=3々，则a=4,故b=5,c=6,

cosC=°———=-»所以,。为锐角，则sinC=J1—cos?C=，

2ab88

国Nc」一厂/，<3币_\5币

因U匕»SAAM——sin(J——x4x5x--------:

△A"2284

(2)显然c>b>a,若AABC为钝角三角形，则C为钝角，

〃-+(a+l)-(a+2)2a-3<0

由余弦定理可得cosC=

lab2a(“+l)2a(a+1)

解得一l<a<3,则0<"3,

由三角形三边关系可得a+a+l>a+2,可得。>1,-.-aeZ,故a=2.

解答三角高考题的策略：

(1)发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析

(2)寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

(3)合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函

数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例。另外，利用正弦定

理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角''定理及几何作图来帮助

理解。

1、正弦定理：/一=」一=」=2R。(其中R为A43C的外接圆的半径)

sinAsinBsinC

正弦定理的变形公式：①a=2R,sinA,b=2RsinB,c=2/?sinC；

@sinA=—,sinB=—,sinC=—；

2R2R2R

(3)tz:Z?:c=sinA:sinB:sinC；

ga+b+cabc

④-----------------=-----=-----=-----;

sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC

2、三角形面积定理：SMBC=^ah-sinC=^ac-sinB=^bc-sinA；

51就=3底、高=3（。+6+。）厂；（其中/•为AABC的内切圆的半径）

,222

3、余弦定理：a2=b2+C2-2bc-cosA=>cosA=+C----；

2bc

h2=a2+c2-lac-cosB=cosB=----------

lac

CZ十"—c

c=a+Zr—2ab♦cosC=cosC=----------

lab

4、设a、b、c是AA3C的角4、B、C的对边，则：①若"+62=。2,则c=90。；

@^a2+b2>c2,则C<90°；

③若/+82<02,则。>90。。

【知识拓展】

处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度(几

何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度)去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无

解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解。

(1)三角形中的边角关系

①三角形内角和等于180°；

②三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边;

③三角形中大边对大角，小边对小角；

(2)利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形

已知条件应用定理一般方法解的情况

一边和两角正弦定理由A+B+C=兀求第三角，由正弦定理求其它两边一解

余弦定理或由余弦定理求第三边，由正弦定理求较小边对应的较小角，

两边和夹角一解

正弦定理由A+B+C=兀求第三角

三边余弦定理由余弦定理求两角，由4+8+C=兀求第三角一解

①由正弦定理求另一边的对角，由A+B+C=7i求第三角，

两解

两边和其中正弦定理或利用正弦定理求第三边

一解

一边的对角余弦定理②由余弦定理列关于第三边的一元二次方程，根据一元二

或无解

次方程的解求c,然后利用正弦定理或余弦定理求其它元素

(3)利用正、余弦定理判断三角形的形状

常用方法是：①化边为角；②化角为边.

3、三角形中的三角变换

(1)角的变换

在A4BC中，A+B+C=it,

则sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=-tanC；

,A+BCA+B.C

sin-=---c--o-s—，cos-------=sin—；

2222

(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。

面积公式：S==ga力sinC=r-p=[p(p-a)(p-b)(p-c),

其中r为三角形内切圆半径，p为周长之半;

(3)在A4BC中，熟记并会证明:

①44、4、NC成等差数列的充分必要条件是/8=60。；

②A4BC是正三角形的充分必要条件是44、ZB、NC成等差数列且〃、b、c成等比数列。

,基病)

1.(2021•全国高三其他模拟(文))AABC中角A,B,C所对的边分别为“，b,c,a+2c^2bcosA,

若的周长为15,且三边的长成等差数列，则“ABC的面积为()

A.弓B."C.生旦D.凶

4444

7

2.（2021•全国高三其他模拟（理））在A/WC中，ZA=2ZB,AB=-,3c=4,C。平分ZACB交AB于点

R则线段AO的长为（）

A.1B.C.D.

3.（2021•陕西高三其他模拟（理））在中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,外接圆半径为r,

若*+您£=/，，=2,a+c=30,则AABC的面积S=______.

sinAsmC

4.（2021•全国高.淇他模拟（理））已知AABC的内角A,B,C所对的边分别为“，b,c,若°=伤=2,

且人=£,则。=.

4

1.（2021•全国高三其他模拟）在AABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,若〃=2a，b=6,

TT

\=~,则C等于（）

A.2B.4C.6D.8

2.（2021•全国高三其他模拟（文））已知。，b,c分别为AMC内角A,B,C的对边，a2-b2=1c2,^ABC

的面积为，则A=（）

6

A.45°B.60°C.120°D.150°

3.（2021•四川高二其他模拟（理））已知£,坂是不共线向量，设方=22+凡OB=a+2b^OC=3a-b^

OD=a-3h^若△OAB的面积为3,则△OCQ的面积为（）

A.8B.6C.5D.4

4.（2021•河南高二其他模拟（理））已知AABC的内角A,8,C所对的边分别为。，c,且当业

13bcosB

若c=26,则羡+8的最小值为（）

3

A.4B.2+6C.3D.-

2

5.（2021•辽宁高三其他模拟）英国数学家约翰•康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”

是他引以为傲的研究成果之一.定理的内容是：三角形4a'的三条边长分别为a,b,c,分别延长三边两端，

使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点4，a,综4,£,生仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆.现

有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（）

6.（2021•全国高三其他模拟（理））（多选题）已知AABC中，角A、B、C的对边分别为,且满足

〃sinA=（48-c）sinB,则下列判断错误的是（）

A.a+c=4b

B.若。=2,则工+12，

ac2

C.若匕=2,则顶点8所在曲线的离心率为g

D.若cos8=2,则

8

7.（2019•陕西延安市•高考模拟（理））在AABC中，若。=至，a=3,ZC=120°,贝油=

8.（2021•四川绵阳中学高三其他模拟（文））已知外接圆的半径为R,且

2Wsin2A-sin2C）=（a-6）sin8,若“ABC的面积为立浦c,则c的值为.

8

9.（2021•贵州凯里-中高三三模（文））在△ABC中，角A、B、。的对边分别为〃、b、c,若。=》cosC,

则8=.

10.（2021•全国高三其他模拟（理））在AABC中，内角48,C的对边分别为a,。,c,A为锐角，

tanBcosC=1-sinC,dBC的面积为2,则^ABC的周长的最小值为.

11.（2020•天津高三二模）“IBC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知tanA=cos8tanA+sin8.

（I）若a+c=8,AABC的面积为6,求sin8；

（II）若〃求sin（2B-?.

12.（2021•福建省南安第一中学高三二模）已知AABC中，内角AB,C所对的边分别为a,尻c,

3ccosB4-2/?sinBsinC=0,。是4ABC边AC上一点，BD=\/2.

B

(1)若BDLBC,AB=-,求A£＞；

3

(2)若CO=24。，求2AB+8C的最大值.

1真题练）

2

1.（2020•全国高考真题（理））在中，cose§,力小4,小3,则cos户（）

A.-B.-C.~D.一

9323

2.（2014•江西高考真题（文））在“ABC中，内角4,8,C所对的边分别是a",c.若3。=2匕，则2sm次sm"

sin-A

的值为（）

117

A.-B.-C.1D.一

932

3.（2019•全国高考真题（文））△/回的内角4B,。的对边分别为&b,c,已知asinl-Asin庐4csinG

COS片—!，则2=

4c

A.6B.5C.4D.3

4.（2021•浙江高考真题）在AABC中，/3=60。,43=2,"是5c的中点，HM=2jL则AC=,

cosZ-MAC=.

5.（2021•全国高考真题（理））记“蛇的内角力,氏。的对边分别为小6,0面积为6，8=60。，/+。2=3四,

则6=________.

6.（2019•全国高考真题（文））的内角儿B,。的对边分别为a,b,。.已知AsinH+acos后0,则

庐.

7.（2020•江苏高考真题）在中，/W=4,AC=3,NZMC=90。,。在边比1上，延长加到R使得4片9,

若丽=加厢+（|-加）前（疝为常数），则切的长度是.

cp

8.(2021•天津高考真题)在AABC,角8B,C所对的边分别为瓦c,已知sinA:sin3:sinC=2:1:a，

b=6.

(I)求a的值；

(II)求cosC的值；

(III)求而白-总的值.

9.(2021•江苏高考真题)已知向量a=(-2港sinx.cos?X),石=(cosx,6),设函数〃x)=a%.

(1)求函数的最大值；

(2)在锐角AABC中，三个角A,B,C所对的边分别为。，b,c,若八B)=0,b=币,3sinA-2sinC=0,

求AABC的面积.

10.(2020•海南高考真题)在①双=6，②csinA=3,③。=这三个条件中任选一个，补充在下面问题

中，若问题中的三角形存在，求。的值：若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在AABC,它的内角A8,C的对边分别为a,8,c,且sinA=J^sinB,C=g,________?

6

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

基础练

1.【答案】I)

【分析】

利用正弦定理和余弦定理化简a+2c=力cosA可得Y+c?一从=—〃♦，可得cos3=-；,故匕为最大边，由

数列性质设a=5-f,c=5,b=5+f,再由余弦定理即可得解.

【详解】

,222

由余弦定理可得。+2。=2/?cosA=2力+(...—

2bc

整理得一从=一比，

「匚_a2+c2-b21.门6

所以cosB=--------------=—,sinB=——

2ac22

故b为最大边,

不失一般性，设。=5—，，c=5fb=5+t(f>0),

代入—从=—ac得，=2,

所以a=3,c=5,△ABC的面积为Lesin5="且，

24

故选：D.

2.【答案】A

【分析】

7

设NACD=N5CD=a,AD=x,则=g-x,在/必。。和△5CO中运用正弦定理得到不和cos5的关

系式；在△ABC中运用正弦定理及二倍角公式可解得cosB,代入工和cosB的关系式即可得到AO的长.

【详解】

7

设ZA8=N88=a,AD=x,则80=一—x,

3

在中，由正弦定理，得」r一=」C三D，

sinasinA

7_

在△BCD中，由正弦定理，得「二CD,

sinasinB

x_sinBx_sinBx_1

两式相除，得7sinA»即7sin28，所以72cos8，

—X—X----X

333

7

在“IBC中，由正弦定理，得4_§,即丝黑=/

sin4sin(乃-A-B)sin3B7

又因为sin3B=sin(B+23)=sinBcos2B+cos5sin2B

=sinB(l-2sin2+cosB2sinBcosB=3sinB-4sin3B,

2sinBcosB

所以3sinB-4sin"化筒得24cos28—7COS3—6=0,

23

解得cos8=—或cos8=-一，

38

代入72cos8得x=l，即AD=1.

—x

3

故选：A.

3.【答案】也

2

【分析】

根据题设条件化简得sin（A+C）=rsinAsinC,进而得到以sinB=rsinAsinC,利用正弦定理得到b=^ac,

求得讹.=4,再由余弦定理和三角函数的关系式，求得sinB的值，结合面积公式，即可求解.

【详解】

ccsAcos

由一一+—-—二r,整理得cosAsinC+sinAcosC=rsinAsinC,

sinAsinC

即sin（A+C）=rsinAsinC,

因为4+B+C=TU,可得sin（A+C）=sin（乃一A）=sin3,

所以sin5=rsinAsinC

bri

由正弦定理可得，~^—=2r,可得6=MC,

sinBsinC2

因为6=2,所以ac=4,且a+c=3jF，

又由余弦定理可得cosB=足+/一加=（。+靖-2。。-6=9二）®4=3,

2ac2ac84

则sinB=Vl-cos2B=j-（（）=~~，

所以SABC=—acsinB=-x4x—^-=—

△ABC2242

故答案为：立.

2

4.【答案】金

【分析】

直接利用余弦定理即可求出答案.

【详解】

由余弦定理可得〃2=从+02-2"8$4=2+4-2乂&乂2、也=2,

2

所以〃=y/2・

故答案为：72.

撮升练

1.【答案】D

【分析】

根据题意，结合余弦定理求解即可.

【详解】

由a。=匕?+c?—2/）ccosA，（'j152=36+c2—2x6c•—,即6c-16=0,

解得c=8或c=-2（舍）.

故选D.

2.【答案】A

【分析】

由余弦定理和面积公式分别可得cosA=5，sinA=m，可得tanA=1即可得解.

3b3b

【详解】

由余弦定理可得：

2cz

“b2+c2-a2~c

cosA=---------=——=—

2hc2bc3h

由S，.c=g〃csinA=1c2

可得sinA=三，

3b

所以sinA=cosA,

即tanA=l,由0cA<180。,

所以A=45°.

故选:A.

3.【答案】A

【分析】

根据已知条件结合向量的线性表示，向量加减法的运算，可得到AQAB与AOCD的两个边之间的关系，利用

面积公式结合边的关系，可得结论.

【详解】

______________UUUIIUUU111

,•*OA=2a+b，OB=a+2日，OC=3a—b，OD=a—3b，

如图，在平行四边形OAMB中，

1|UUD|iULKl|IUIKI|UU0|

设NQE4=e,W>JSyOAB=2SVOAE=2x-xIOE|.Isin0-3,B|j|OE|-|AE|sin0=3

同理，在平行四边形OCNO中，

uuuiuuniuumuno、rrum।uumiUUDUUMrr

FC=-DC=-（zOC-ODj=a+h.OF=-ON=-^ZOC+ODXj=2^za-bJx

_3iiiuuuiiuutaiuuuUIHUULIU

可得OE=］尸C,OF=4AE^OEHFC-OFUAE；

所以而与而的夹角为。或其补角，

I|Uuoi|lUin.|Uiii|21iiun।o|UIH.iiiin.o

则SV0CD=2s70CF=2x-x|<?F|-|FC|sin（9=4|AE|x-|（?E|sin6»=-x|AE|-|O5|sin6»=-x3=8

AOCD的面积为8.

故选：A.

【点睛】

思路点睛：（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、

减或数乘运算；

（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的

形式，再通过向量的运算来解决.

4.【答案】C

【分析】

代数法：由2a建•二经£,利用正弦定理结合两角和的正弦公式，化简得到2sinAcosB=bsin4,求得

JibcosB

(C)

角8,再利用正弦定理，将问题转化为卜武船+名=行⑦工33

+利用基本不等式

44tan-

l2)

求解；几何解法：由AB=26,B=£,作线段R4=C=26，过点8回射线8T,使得NABT=30。，C是

6

射线BT上的动点，AC=h与BC=a都是变量,让长度等于£的线段的一个端点与线段AC的一个端点重

合，再从点C向“外”引线段，使其长度等于然后利用含有30。的直角三角形性质求解.

【详解】

代数法：•:(2a-6c)CGSB=6bCGSC,

由正弦定理得(2sinA-石sinC)cos=5/3sinBcosC,

即2sinAcosB=JJ(sinBcosC+cosBsinC)=y/3sin(B+C),

因为A=

所以sinA=sin(B+C),

所以2sinAcosB=出sinA.

因为0cA<乃，所以sinA>0,所以cosB=—.

2

因为0<3<），

所以B=

6

1

由正弦定理可得a=2有S'4,b=JL,

sinCsinC

rr1+sinf--C^

+巫=G尹叩」=6■——U__2

2sinCsinCsinCsinC

CQrcy

2+2cos2----1atan2—n3厂tan5332万

=啊*32_2

c2c…+3-^-+—77+723,(C=?时取

4

24c24lanC23

4sin-cos-4tan—

222

等）,

故选：c.

几何解法：在AABC中，确定的量有两个：AB=26B*

如图，作线段BA=c=2有，过点8画射线BT,使得//防=30。.

BA

这样C是射线67上的动点，AC=*BC=a都是变量.

为了求］+方的最小值，可考虑让长度等于今的线段的一个端点与线段AC的个端点重合（即“首尾相

连”）.

考虑从点C向“外”引线段，使其长度等于会联想到含有3"的直角三角形性质，作如下辅助线：

如图，

作射线8A，使NABT=30。，作垂足为“，则C”=1.

所以原问题等价于：C是射线BT卜.的动点，求AC+CH的最小值，

显然即是点A到直线B4的距离3为所求，

所以的最小值为3.

故选：C

5.【答案】C

【分析】

由“康威圆定理”可知的康威圆圆心即为三角形内切圆的圆心，正三角形内切圆的圆心即为中心，据此可

得圆的半径，进一步可求其面积.

【详解】

康威圆的圆心即为三角形内切圆的圆心，正三角形内切圆的圆心即为中心,

所以其康威圆半径为”号J+32=’号，故面积为乃

故选:C.

6.【答案】BI）

【分析】

由正弦定理和加山4=（助-°）豆115可判断A；由工+[=理2+£+4,然后利用基本不等式可判断B；由

ac8vcic）

7

a+c=8得BC+AB=8>AC=2,判断出点5的轨迹可判断C；由余弦定理得M+c?=—勿，可判断D.

4

【详解】

由正弦定理和bsinA=（4〃-c）sin3得，ba=（4b-c）b,

因为6H0,所以。=4/7—c,即a+c=4b,故A；

?fb=2,则a+c=8,

11

11f1\}a+c12++>2+2

——F—=—F-=—-8-2-

ac[ac)88

〃+c=8

当且仅当a即q=c=4,故B正确;

­=一

c

若b=2,则a+c=8,即BC+A5=8>4C=2,

所以B在以A、C为焦点的椭圆（除去A、C两点）上运动,

其中椭圆的焦距为2C'=2,C'=1.

而2心8,所以""椭圆的离心率efq,故C错误;

7

若cos3=；；,则有2+c2-b27,

8cosBd=-a--------

lac8

日口―icr+c2+2ac

即有矿+c2------------

16

整理有+。2-2ac=0，所以（〃—C）~=0,得4=C,故I）正确.

故选：BD.

7.【答案】1

【分析】

直接利用余弦定理即可解得.

【详解】

因为°=而，。=3,NC=120°,

由余弦定理c2=a2+6-2a08sC^：13=9+y-2x3x〃(-；),

解得：ZFI或A-4(舍去)

故答案为：1.

8.【答案】2

【分析】

由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求C,然后结合三角形面积公式可求.

【详解】

解：因为27?卜也2A-sin2c)=(a-b)sin8,

由正弦定理得，2-c2=ab-b2,由余弦定理得cosC=、+"一厂=L

a2ab2

TT

所以由0<C<;r得C=1,

若AA3c的面积，所以S=LzbsinC=，解得c=2.

8248

故答案为：2.

9.【答案】g

【分析】

本题可通过余弦定理得出结果.

【详解】

由余弦定理易知:

2.22

a=ftcosC=bx----—,艮f)二人2,

lab

IT

则AABC是以角8为直角顶点的直角三角形，B=~,

故答案为：—■

10.【答案】4+2应

【分析】

7T

由题设可得sin(B+C)=cos5,根据三角形内角的性质可知AABC是NC=］的自角三角形，即有其周长为

利用基本不等式即可求出最小值，注意等号成立的条件.

【详解】

由tan&osC=1—sinC知：sinBcosC=cos£?-cos&inC,而8+。=兀一A,

...sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sin4=cosB,

41,_____

.•.△ABC是/C='的直角二角形，故S.c=]"=2,即必=4,而c=77寿，

2222

△A8c的周长a+。+yja+f)=J/+层+2必+y/a+b>44ab+-J2ab=4+2^2>当旦仅当a=8=2等号

成立.

故答案为：4+2人

【点睛】

关键点点睛：利用三角恒等变换及三角形内角的性质判断三角形的形状，再由三角形周长公式、基本不等

式求周长的最小值即可.

11.【答案】(1)sinB=-(2)

4;16

【分析】

(I)由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可得a=c,进而可求a=c=4,利用三角形的面积

公式即可求得sinB的值.

(II)由(I)可得a=c,结合已知由余弦定理可得cosb,利用同角三角函数基本关系式可求sinB,利

用二倍角公式可求sin28,cos28的值，进而根据两角差的正弦公式即可计算求解.

【详解】

解：(I)tan/A=cosBtan/14-sinB,

/.sinA=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC,

「•由正弦定理可得〃=c,

又•「a+c=8,

..a=c=4f

,.,△ABC的面积为6=；〃csin8=；x4x4xsinB,

3

「•解得：sinB=-.

4

(II).・•由(I)可得a=c,

又心£2,

2

225a2

•••由余弦定理可得•+a1,

2ac2/4

•・•Be(O,4)，

/.sinB=Vl-cos2B,sin2B=2sinBcosB-,cos2B=2cos28-1=一1,

488

.•冗、.71,冗(亚、1767y/3~y/\5

••sm(2Z?)=sinO28Dcoscos2Bsm—=(------)x——(一--)x——=-------------.

333828216

12.【答案】(1)A£>="；(2)6应.

3

【分析】

(1)利用正弦定理和同角三角函数的关系将3ccos5+»sinBsinC=0化为2cos2B_3COSB-2=0,从而可

21

求出NABC=G",ZABD=-7Tf然后在△43。利用余弦定理求出A£>：

(2)解法一：由函=2万5，BD^BA+^BC,平方化简后可得18=(2c+”)2-6ac,再利用基本不等式可

求得答案；解法二：设AD=r,则CD=2f,AC=3f,然后在△A8O和AMC利用余弦定理，结合

cosZADB=-cosZ.BDC可得6产=2c?+〃-6,在^ABC利用余弦定理可得9产=a2+c2-^ac,从而得

18=(2c+a)2-6“c,再利用基本不等式可求得答案；

【详解】

解：(1)3ccos3+2Z?sin8sinC=0,3sinCeosB+2sinBsinBsinC=0,

sinC^0,3cosB+2sin28=0,2cos2B-3cosB-2=0,cos8=-1，

2

2

:./ABC=—;r,

3

VBDA.BC,ZABD=-7t,

6

在△ABD中，由余弦定理得，A。？=(竽)+J?-2x半x忘cos,乃=g,

/.AD=—

3

(2)解法一：cos乙48C=-；,因为C3=2AZ),所以丽=2丽，即丽-方=2(丽-丽)，

整理得到丽丽+g或，两边平方后有丽2=［丽2+"前2+［丽品，

所以2=《丽2+"而2+1丽前即2=6胡2+g+1|BA|-|BC|^-^,

整理得到18=4|丽产+|直『-2|丽|“心|,

所以18=4c2+a2-lac=(2c+a)2-6ac,

因为2恒4（笥汽）2,所以18=（2c+a）?-6ac2（2c+4-3（当上了=（2；"）,

2c+a4jl8x4=6历,当且仅当a=3在,c=逑时等号成立，

2

所以2A8+BC的最大值6页.

解法二：设AO=r,则C£）=2f,AC=3t,

产+(五)2—02

在△A8O中,cosZADB=

25

在ABDC中，cos4BDC=⑵丫+-才

2V2-2r

乂cosZADB=-cosZBDC,

产+（扬2工⑵)2+(同一/

所以解得6产=2。2+〃一6,①

2®2y/2-2t

在AABC中，AC2=(3r)2=a2+c2-2accosB,即9产=a?+c?-gac,②

2

由①@可得18=4c2+a-2ac.

所以18=4c2+a2-lac=(2c+a)2-6ac,

因为2ca4(^^^)2,所以18=(2c+a)。-6ac2(2c+a)?-3(^^)2=("),

2C+6/<V18X4=6正,当且仅当a=30,c=—时等号成立，

2

所以248+BC的最大值6&.

嵬题练

1.【答案】A

【分析】

根据己知条件结合余弦定理求得AB,再根据cosB=AB"卡—。"2,即可求得答案

2ABBC

【详解】

2

・・•在AABC中，cosC=-,AC=4,BC=3

根据余弦定理：AB2=AC2+BC2-2AC-BC-cosC

2

AB2=42+32-2X4X3X-

3

可得AB?=9,即AB=3

AB2-^BC2-AC29+9-161

由：cos3=

2ABBC2x3x3-5

故cos3=L

9

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

2.【答案】I)

【分析】

根据正弦定理边化角求解即可.

【详解】

由正弦定理有2sin-/sin2A=26;矿勺-i.又3a=劝=2=[,

sin2Aa2\^a)a2

故2⑶1=

UJ42

故选：D

【点睛】

本题主要考查了正弦定理边化角的问题,属于基础题.

3.【答案】A

【分析】

利用余弦定理推论得出a,b,c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.

【详解】

详解：由已知及正弦定理可得/一从=402,由余弦定理推论可得

b