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2014届初三（上）奥数A班寒假培训试题（6）班级姓名座号成绩一、选择题（35分）15．若P是等边△ABC内任意一点，且过P作边AB、BC、CA的垂线，垂足依次为D、E、F，则（） A．2 B． C． D．14．将1，2，…，2008这2008个数中的n个数的前面添上一个负号，使这2008个数的代数和等于零，求n的最大值和最小值．2014届初三（上）奥数A班寒假培训试题（5）答案一、选择题（35分）15．若P是等边△ABC内任意一点，且过P作边AB、BC、CA的垂线，垂足依次为D、E、F，则（D） A．2 B． C． D． 解：如图，设等边△ABC的边长为a，过点P作A1B2∥AB，B1C2∥BC，C1A2∥分别与BC、CA、AB交于点A1、A2、B1、B2、C1、C2，易知，△PA1A2、△PB1B2、△PC1C四边形AB2PC1、四边形A2CB1P、四边形AB2PC1均为平行四边形，且A1A2+C2P+B1P=A1A2+BA1+A2C则，，所以，．(–1，1)(–1，1)14．将1，2，…，2008这2008个数中的n个数的前面添上一个负号，使这2008个数的代数和等于零，求n的最大值和最小值． 解：先求n的最小值． 要使n最小，必须添加负号的数尽可能的大， 设这些数为：2008，2007，…，2010–n，k，其中，0＜k＜2010–n， 根据题意知2008+2007+…+(2010–n)+k ① 由0＜k＜2010–n，知 由式②得n2–4019n+2021054＞0， 又因为n为小于2008的正整数，所以n≤589， 同理，由式③得n＞588， 故n=589， 把n=589代入式①得k=392， 当n=589时，392，1421，1422，…，2008这589个数的前面添上负号时，符合题意， 显然，n的最大值为2008–589=1419， 除上述589

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