重庆市江津中学实验中学等七校2025届高三数学下学期6月联考三诊试题理含解析

PAGE23-重庆市江津中学、试验中学等七校2025届高三数学下学期6月联考（三诊）试题理（含解析）试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.留意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上.2.答选择题时，必需运用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.3.答非选择题时，必需运用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上.4.考试结束后，将答题卷交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别求出集合和，再求并集即可.【详解】解不等式得，即；由得，即；所以故选A【点睛】本题主要考查集合的并集运算，熟记概念即可求解，属于基础题型.2.设，则在复平面内z对应的点位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．【详解】解：，在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．3.命题“对随意的，”的否定是A.不存在， B.存在，C.存在， D.对随意的，【答案】C【解析】【详解】留意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．“对随意的，”的否定是:存在，选C.4.设等差数列的前项和为，且，则（）A.18 B.24 C.48 D.36【答案】D【解析】【分析】由题意结合等差数列的性质可得，再由等差数列前n项公式结合等差数列的性质可得，即可得解.【详解】数列是等差数列，，，.故选：D.【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前n项和公式的应用，属于基础题.5.已知直线l和两个不同的平面，，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，，则C.若，则D.若，，则【答案】A【解析】【分析】依据空间中的平行垂直关系，结合相应的判定和性质定理，对选项逐一分析，选出正确结果.【详解】对于A中，过做一平面，且，，则，又由，所以，由面面垂直的判定定理，即可证得；对于B中，若，，则或，所以不正确；对于C中，若，则平面与平面可能是相交的，所以不正确；对于D中，若，，则与可能是平行的，所以不正确.故选：A.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的学问点有面面垂直、线面垂直和面面平行的判定，属于简洁题目.6.如图，给出的是的值的一个程序框图，推断框内应填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，执行上式的循环结构，第一次循环：；其次次循环：；第三次循环：；，第次循环：，此时终止循环，输出结果，所以推断框中，添加，故选B．考点：程序框图．7.《算数书》竹简于上世纪八十年头出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它事实上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设圆锥底面半径为,依据圆锥的底面周长求得,再代入体积公式得,再比照求解即可.【详解】设圆锥底面半径为,则,所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了圆锥底面周长与体积等的计算.属于基础题.8.函数在上的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先确定函数奇偶性，舍去B，再取特别值舍去AC，即得结果.【详解】所以在上关于原点对称，舍去B;舍去A;所以舍去C，故选：D【点睛】本题考查函数图象识别、函数奇偶性应用，考查基本分析识别实力，属基础题.9.已知直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】通过双曲线和圆的对称性，将的面积转化为的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立与的关系，从而推导出离心率.【详解】由题意可得图像如下图所示：为双曲线的左焦点为圆的直径依据双曲线、圆的对称性可知：四边形为矩形又，可得：本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.10.受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必需排在前三位，且丙班、丁班必需排在一起，则这六个班排队吃饭的不同支配方案共有（）A.240种 B.120种 C.188种 D.156种【答案】B【解析】【分析】依据题意，按甲班位置分3种状况探讨，求出每种状况下的支配方法数目，由加法原理计算即可.【详解】解：依据题意，按甲班位置分3种状况探讨：（1）甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的状况有种，将剩余的三个班全排列，支配到剩下的3个位置，有种状况，此时有种支配方案；（2）甲班排在其次位，丙班和丁班在一起的状况有种，将剩下的三个班全排列，支配到剩下的三个位置，有种状况，此时有种支配方案；（3）甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的状况有种，将剩下的三个班全排列，支配到剩下的三个位置，有种状况，此时有种支配方案；由加法计数原理可知共有种方案，故选：B【点睛】此题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题.11.已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为A.， B.， C.， D.，【答案】D【解析】【分析】当时，，分、两类探讨，可求得；当时，，分、两类探讨，可求得；取其公共部分即可得到答案．【详解】解：（1）当时，，的对称轴为，开口向上．当时，在递减，递增，当时，有最小值，即，；当时，在上递减，当时，有最小值，即（1），明显成立，此时．综上得，；（2）当时，，，当时，在上递增，（1），，此时；当时，在递减，递增，，，此时．综上：，关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为，故选：D．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查不等式恒成立问题，着重考查分类探讨思想和等价转化思想，考查导数的运用，考查运算求解实力和推理实力，属于难题．12.函数，若最大值为，最小值为，则（）A.，使 B.，使C.，使 D.，使【答案】D【解析】【分析】通过对进行化简整理，可以得到与的解析式，依次解除掉选项，可得结果.【详解】，选项：，所以错误；选项：，所以错误；选项：，所以错误；选项：设可知：，所以正确.本题正确选项：【点睛】本题考查三角恒等变换以及与三角函数有关的值域问题，关键在于通过整理能够得到与有关的函数解析式，从而利用的范围，求解函数的值域.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量（1，1），，且∥，则的值等于__________.【答案】-2【解析】【分析】计算，由向量共线的坐标运算可者．【详解】由题意，因为∥，所以，解得．故答案为：．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题．14.绽开式的常数项是__________．【答案】-8【解析】【分析】本题首先可以找出的通项，然后依据中的每一项的的系数并将中的每一项与相乘即可找出绽开式中的常数项．【详解】因为的通项为，所以绽开式的常数项为．【点睛】本题考查的是二项式定理的相关性质，主要考查二项式的通项的相关性质，考查对二项式的通项的敏捷运用，考查计算实力与推理实力，是简洁题．15.已知圆C的方程为，过直线l：（）上随意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为，则直线l的斜率为__________．【答案】【解析】【分析】设切线长最小时直线上对应的点为，则，利用点到直线的距离公式计算的值并构建关于的方程，解方程后可得的值，从而得到所求的斜率.【详解】设切线长最小时直线上对应的点为，则又，因为切线长的最小值为故，解得，故直线的斜率为.故答案为：.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，此类问题一般转化为圆心到几何对象的距离问题，属于中档题.16.已知数列中，，，设，若对随意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】∵，（，），当时，，，…，，并项相加，得：，

∴，又∵当时，也满意上式，

∴数列的通项公式为，∴

，令（），则，∵当时，恒成立，∴在上是增函数，

故当时，，即当时，，对随意的正整数，当时，不等式恒成立，则须使，即对恒成立，即的最小值，可得，∴实数的取值范围为，故答案为.点睛：本题考查数列的通项及前项和，涉及利用导数探讨函数的单调性，考查运算求解实力，留意解题方法的积累，属于难题通过并项相加可知当时，进而可得数列的通项公式，裂项、并项相加可知，通过求导可知是增函数，进而问题转化为，由恒成立思想，即可得结论.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角的对边分别为，且满意．(Ⅰ)求角；(Ⅱ)若，的面积为，求的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)本题首先可以通过正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形内角和将转化为，即可得出角的值；(2)首先可通过余弦定理求出的值，再通过解三角形面积公式即可求出的值，最终求出周长．【详解】（1）因为，所以，即由，得，得，因为，所以；（2）由余弦定理，得，即，因为，所以，所以，，所以周长为．【点睛】本题考查了三角函数的相关性质，主要考查了三角恒等变换以及解三角形的相关公式，解三角形相关公式有：，，，考查计算实力，考查化归思想，是中档题．18.如图，在四棱锥中，底面，，，，，点是棱的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，即可证明平面.（2）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，取平面的一个法向量为，结合空间向量数量积运算即可得解.【详解】证明：（1）如图，取的中点，连接、.∵是的中点，∴，，又，，所以，，∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面.（2）在平面内过点作的垂线，由题意知，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，，，可得，，，∴，，设平面的法向量为，则由，即，令，则，，∴为平面的一个法向量.∵底面，∴可取平面的一个法向量为，∴，∵二面角为锐二面角，∴二面角的大小为.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，重点考查了空间向量数量积的运算，属中档题.19.某市主动实行国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善.该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数比照如下表：空气质量指数300以上空气质量等级一级（优）二级（良）三级（轻度污染）四级（中度污染）五级（重度污染）六级（严峻污染）（1）依据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数；

（2）依据体质检查状况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）.①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲相宜进行户外体育运动的天数为X，求X的分布列和数学期望；②以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响），甲、乙两人后面分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率.【答案】（1）28天；（2）①分布列见解析，；②.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图求出轻度污染的天数，然后说明空气质量等级为优或良的天数；（2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲相宜进行户外体育运动的天数共6天，求出概率，得到分布列，然后求期望；②甲不相宜进行户外体育运动的概率为，乙不宜进行户外体育运动的概率为，然后求解概率即可.【详解】解:（1）由频率分布直方图可得，空气质量指数在的天数为2天，所以估计空气质量指数在的天数为1天，故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为28天.（2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲相宜进行户外体育运动的天数共6天，∴，，，∴X的分布列为X012P∴.②甲不宜进行户外体育运动的概率为，乙不宜进行户外体育运动的概率为，∴.【点睛】此题考查离散型随机变量的分布列及期望的求法，频率分布表的应用，属于中档题.20.已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明：当时，直线过定点.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）在中，计算出的值，可得出的值，进而可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设点、，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，依据已知条件得出，利用韦达定理和斜率公式化简得出与所满意的关系式，代入直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标.【详解】（1）中，，，，，，，，因此，椭圆的标准方程为；（2）由题不妨设，设点，联立，消去化简得，且，，，，，∴代入，化简得，化简得，，，，直线，因此，直线过定点.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点的问题，考查计算实力，属于中等题.21.已知函数，，其中.（1）求函数的单调区间；（2）若对随意，随意，不等式恒成立时最大的记为，当时，的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)求导后分与两种状况分析函数的单调性即可.(2)参变分别与可得,再令,求导得,再分析的单调性,分,与三种状况求解导函数的正负以及原函数的单调性,进而求得的解析式,再求导分析单调性与范围即可.【详解】解：（1）∵∴,∵,∴①当时,的减区间为,没有增区间②当时,的增区间为,减区间为（2）原不等式.∵,,∴,令,令在上递增；①当时,即,∵,所以时,,∴在上递增；∴.②当,即时,,∴在上递减；∴③当时,又在上递增；存在唯一实数,使得,即，则当时.当时.∴.∴.令在上递增,,∴.综上所述,.【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调区间以及分状况探讨导函数零点以及参数范围的问题,须要依据题意构造合适的函数进行原函数单调性以及最值的分析等.属于难题.请考生在第22、23题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-4：坐标