2016-2017学年高一数学上学期知识点阶段性测试题33

评估验收卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()A．平行 B．相交C．垂直 D．异面解析：无论l在α内，还是与α平行或相交，都可在α内找到一条直线与l垂直．答案：C2．对两条异面直线a与b，必存在平面α，使得()A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α解析：已知两条异面直线a和b，可以在直线a上任取一点A，则A∉b.过点A作直线c∥b，则过a，c确定平面α，且使得a⊂α，b∥α.答案：B3．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则()A．n⊥β B．n∥β或n⊂βC．n⊥α D．n∥α或n⊂α解析：在平面β内作直线l垂直于α，β的交线，则由α⊥β得直线l⊥α.又因为m⊥α，所以l∥m.若m⊂β，要满足题中限制条件，显然只能n∥α或n⊂α；同理m⊄β，仍有n∥α或n⊂α.综上所述，D正确．答案：D4．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是()A．α，β都与平面γ垂直B．α内不共线的三点到β的距离相等C．l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β解析：对于D，设过l和α内的一点的平面与平面α的交线为l′，因为l∥α，所以l′∥l.又因为l∥β，l′⊄β，所以l′∥β.设过m和α内的一点的平面与α的交线为m′，同理可证m′∥β.因为m与l是异面直线，所以m′与l′相交，所以α∥β.答案：D5．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D.l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析：由直线与直线垂直的性质可知选项B是正确的．答案：B6．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α内的射影不可能是()A．两条平行直线 B．两条互相垂直的直线C．同一条直线 D．一条直线及其外一点解析：易知A，D正确，C不正确，对于B，如图所示，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，α，β，γ两两垂直，a，b与l均不垂直，且a，b也不相互垂直，但它们在γ内的射影是相互垂直的．答案：C7．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．相交成60°解析：如图所示，△ABC为正三角形，故AB，CD相交成60°.答案：D8．如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为()A．90° B．45°C．60° D．30°解析：取BC的中点H，连接EH，FH，则∠EFH为所求，可证△EFH为直角三角形，EH⊥EF，FH＝2，EH＝1，从而可得∠EFH＝30°.答案：D9．如图所示，A是平面BCD外一点，E、F、G分别是BD、DC、CA的中点，设过这三点的平面为α，则在图中的6条直线AB、AC、AD、BC、CD、DB中，与平面α平行的直线有()A．0条 B．1条C．2条 D．3条解析：显然AB与平面α相交，且交点是AB的中点，AB，AC，DB，DC四条直线均与平面α相交．在△BCD中，由已知得EF∥BC，又EF⊂α，BC⊄α，所以BC∥α.同理，AD∥α，所以在题图中的6条直线中，与平面α平行的直线有2条．答案：C10．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1A．30° B．45°C．60° D．90°解析：如图所示，延长CA至点M，使AM＝CA，则A1M∥C1A，∠MA1B或其补角为异面直线BA1与AC1所成的角．连接BM，易知△BMA1为等边三角形，因此，异面直线BA1与AC1所成的角为60答案：C11.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小()A．变大 B．变小C．不变 D．有时变大有时变小解析：由于直线l垂直于平面ABC，所以l⊥BC，又∠ACB＝90°，所以AC⊥BC，所以BC⊥平面APC，所以BC⊥PC，即∠PCB为直角，与点P的位置无关．答案：C12．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，PA⊥平面AC，且PA＝1，则点P到对角线BD的距离为()A.eq\f(\r(29),2) B.eq\f(13,5)C.eq\f(17,5) D.eq\f(\r(119),5)解析：如图所示，过点A作AE⊥BD于点E，连接PE.因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，所以BD⊥平面PAE，所以BD⊥PE.因为AE＝eq\f(AB·AD,BD)＝eq\f(12,5)，PA＝1，所以PE＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)))\s\up12(2))＝eq\f(13,5).答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．下列命题，正确的个数是________．①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.解析：在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确，③显然正确．答案：114．在三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝90°，则PA与底面ABC所成的角为________．解析：PA＝PB＝PC，则点P在底面ABC上的射影落在Rt△ABC斜边BC上，即为BC的中点设为点D，则∠PAD即为所求．答案：60°15.如图所示，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，A1A＝2，底面是边长为1的正方形，E、F、G分别是棱BB1、AA1、AD的中点，则平面A1DE与平面BGF的位置关系是________(填“平行”或“相交解析：在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱BB1、AA1、AD的中点，所以FG∥A1D，所以FG∥平面A1DE，同理FB∥平面A1DE，又FG∩FB＝F，所以平面BGF∥平面A1DE答案：平行16．已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿对角线BD将△ABD折起使二面角A­BD­C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离为________．解析：设AC∩BD＝O，因为翻折后AO⊥BD，CO⊥BD，所以∠AOC即为二面角的平面角，则∠AOC＝120°，且AO＝1，所以d＝1×sin60°＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图所示，在四面体PABC中，PC⊥AB，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点，求证：(1)DE∥平面BCP；(2)四边形DEFG为矩形．证明：(1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC.又因为DE⊄平面BCP，PC⊂平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.所以四边形DEFG为平行四边形．又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG.所以四边形DEFG为矩形．18．(本小题满分12分)如图所示，已知正方体ABCD­A1B1C1D1，O是底面四边形ABCD对角线的交点，(1)C1O∥平面AB1D1；(2)A1C⊥平面AB1D1证明：(1)连接A1C1，设A1C1∩B1D1＝O1，连接AO在正方体ABCD­A1B1C1D1四边形A1ACC1是平行四边形，所以A1C1∥AC，且A1C1＝又O1，O分别是A1C1，AC的中点所以O1C1∥AO，且O1C1＝所以AOC1O1是平行四边形，所以C1O∥AO1，又AO1⊂平面AB1D1，C1O⊄平面AB1D1.所以C1O∥平面AB1D1.(2)因为CC1⊥平面A1B1C1D1所以CC1⊥B1D1.又A1C1⊥B1D1，A1C1∩CC1＝C所以B1D1⊥平面A1C所以A1C⊥B1D1同理可证A1C⊥AB1又D1B1∩AB1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D119．(本小题满分12分)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图．在直观图中，M是BD的中点．侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)求异面直线AC与EM所成角的大小；(2)求证：平面BDE⊥平面BCD.(1)解：因为M为DB的中点，如图，取BC的中点N，连接MN，AN，则MN∥DC，且MN＝eq\f(1,2)DC，所以MN∥AE，且MN＝AE，所以四边形ANME为平行四边形，所以AN∥EM，所以EM与AC所成的角即为AN与AC所成的角．在Rt△ABC中，∠CAN＝45°，所以异面直线AC与EM所成的角为45°.(2)证明：由(1)知EM∥AN，又因为平面BCD⊥底面ABC，AN⊥BC，所以AN⊥平面BCD，所以EM⊥平面BCD.因为EM⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面BCD.20．(本小题满分12分)如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F分别为A1C1和(1)求证：EF∥平面AA1B1B；(2)若AA1＝3，AB＝2eq\r(3)，求EF与平面ABC所成的角．(1)证明：如图所示，取A1B1的中点D，连接DE，BD.因为E是A1C1的中点，所以DE綊eq\f(1,2)B1C1.又因为BC綊B1C1，BF＝eq\f(1,2)BC，所以DE綊BF.所以四边形BDEF为平行四边形．所以BD∥EF.又因为BD⊂平面AA1B1B，EF⊄平面AA1B1B，所以EF∥平面AA1B1B.(2)解：如图所示，取AC的中点H，连接HF，EH.因为EH∥AA1，AA1⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC.所以∠EFH就是EF与平面ABC所成的角．在Rt△EHF中，FH＝eq\r(3)，EH＝AA1＝3，所以∠EFH＝60°.故EF与平面ABC所成的角为60°.21．(本小题满分12分)已知等边三角形ABC的边长为a，AD为BC上的高，沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d，x为何值时，d2取得最小值、最小值是多少？解：因为平面APQ⊥平面PBCQ，又AR⊥PQ，所以AR⊥平面PBCQ，从而AR⊥RB.在直角三角形BRD中，BR2＝BD2＋RD2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a－x))eq\s\up12(2)，AR2＝x2，故d2＝BR2＋AR2＝2x2－eq\r(3)ax＋a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(\r(3),2)a))，所以当x＝eq\f(\r(3),4)a时，d2取得最小值eq\f(5,8)a2.22．(2015·湖南卷)(本小题满分12分)如图所示，直三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F­AEC(1)证明：因为三棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1，又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC.因此AE⊥平面B1BCC1而AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.(2)解：如图所示，设AB的中点为D，连接A1D，CD.因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB.又三棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1因此CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1由题设知，∠CA1D＝45°，所以A1D＝CD＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\r(3).在Rt△AA1D中，AA1＝eq\r(A1D2－AD2)＝eq\r(3－1)＝eq\r(2)，所以FC＝eq\f(1,2)AA1＝eq\f(\r(2),2).故三棱锥F­AEC的体积V＝eq\f(1,3)S△AEC