2024年湖南省邵东县中考三轮冲刺卷数学试题

湖南省邵东县2024届中考冲刺卷数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知二次函数y=ar2+Zzx+c图象上部分点的坐标对应值列表如下:

X・・・-3-2-1012・・・

y•・・2-1-2-127・・・

则该函数图象的对称轴是（）

A.x=-3B.x=-2C.x=-lD.x=0

NE为直角，则N1等于（

C.136°D.138°

4x+3y=7①

3.用加减法解方程组＜时，若要求消去y,则应

6x-5y=-l@

A.①x3+②x2B.①x3-②x2C.①x5+②x3D.①x5-②x3

4.如图，在心AABC中，ZACB^90°,tanZCAB=—.AB=3,点。在以斜边AB为直径的半圆上，点”是

3

的三等分点，当点。沿着半圆，从点A运动到点8时，点M运动的路径长为（）

D

71八714冗71…兀I、刀

A."或r一B.一或一C.一或r"D.一或一

223343

5.对于数据：6,3,4,7,6,04.下列判断中正确的是（）

A.这组数据的平均数是6,中位数是6B.这组数据的平均数是6,中位数是7

C.这组数据的平均数是5,中位数是6D.这组数据的平均数是5,中位数是7

6.如图，在半径为5的。。中，弦AB=6,点C是优弧A8上一点（不与A,B重合），则cosC的值为（）

4334

A.—B.—C.—L）.—

3455

7.如图，四边形A8C。中，AC1.BC,AD//BC,BC=3,AC=4,/in=l."是80的中点，则CM的长为（）

BC

35

A.-B.2C.-E）.3

22

8.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=1.若点E是边CD的中点,连接AE,过点B作BFLAE交AE于点F,则

BF的长为（）

Q

A.迎B.亚C.叵r

2555

9.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60。得△DBE,点C的对应点E给好落在AB的延长线上，连接AD,下列结

论不一定正确的是（）

D

A.AD/7BCB.ZDAC=ZEC.BC±DED.AD+BC=AE

10.方程上|=W的解为（）

X—5X+l

A.x=-1B.x=lC.x=2D.x=3

11.实数儿。在数轴上对应点的位置大致如图所示，。为原点，则下列关系式正确的是（）

—L—I1----------1-^.

4boC

A.a-c<b-cB.\a-b\=a-bC.ac>bcD.-b<-c

12.数轴上分别有A、B、C三个点，对应的实数分别为a、b、c且满足，|a|>|c|,b«c<0,则原点的位置（）

—•A------•BC・>

abc

A.点A的左侧B.点A点B之间

C.点B点C之间D.点C的右侧

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.若关于x的方程2d+x—a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是.

14.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1,1,2,3,5,8,13，…，请根据这

组数的规律写出第10个数是.

15.（2016辽宁省沈阳市）如图，在R3A8C中，NA=90。，AB=AC,5c=20,OE是△ABC的中位线，点M是边

8c上一点，BM=3,点N是线段MC上的一个动点，连接ON,ME,ON与ME相交于点O.若AOMN是直角三角

形，则OO的长是.

16.对于一元二次方程5x+2=0,根的判别式夕一4"中的。表示的数是.

17.因式分解：^y2-x3=.

18.如图，在矩形ABCD中，过点A的圆O交边AB于点E,交边AD于点F,已知AD=5,AE=2,AF=1.如果以

点D为圆心，I•为半径的圆D与圆O有两个公共点，那么r的取值范围是.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）关于x的一元二次方程X?-（2m-3）x+m2+l=l.

（1）若m是方程的一个实数根，求m的值；

（2）若m为负数，判断方程根的情况.

1〃

20.（6分）如图，已知A（-4,—）,B（-Jl,m）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=一图象的两个交点，AC±x

2x

轴于点C,BD_Ly轴于点D.

（1）求m的值及一次函数解析式；

（2）P是线段AB上的一点，连接PC、PD,若APCA和APDB面积相等，求点P坐标.

-2x-7<3(x-l)@

r-1?

21.（6分）化简求值：^~7+（1——-）,其中x是不等式组

x+2x+1x+1—x+34l—

D3

22.（8分）如图，△DEF是由△ABC通过一次旋转得到的，请用直尺和圆规画出旋转中心.

D

23.(8分)如图，四边形ABCD,AD〃BC,DCJ_BC于C点，AE_LBD于E,且DB=DA.求证：AE=CD.

24.（10分）在一ABC中，NABC=90，BD为AC边上的中线，过点C作CELBD于点E,过点A作BD的平

行线，交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.

(1)求证：BD=DF;

（2）求证：四边形BDFG为菱形;

（3）若AG=5,CF=J7,求四边形BDFG的周长.

25.(10分)(1)计算：|-2|-(TT-2015)°+(1)-2-2sin60°+Vi2J

2[2]

⑵先化简，再求值：=二+（2+幺上1）,其中a=0.

a-aa

26.（12分）某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和8型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱

子.

（1）若该工厂准备用不超过10000元的资金去购买A,8两种型号板材，并全部制作竖式箱子，已知A型板材每张30

元，5型板材每张90元，求最多可以制作竖式箱子多少只？

（2）若该工厂仓库里现有A型板材65张、8型板材110张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖式和横式两种

箱子各多少只，恰好将库存的板材用完？

（3）若该工厂新购得65张规格为3x3加的C型正方形板材，将其全部切割成A型或3型板材（不计损耗），用切割成

的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于20只，且材料恰好用完，则能制作两种箱子共只・

27.（12分）如图，A3为。。的直径，直线于点8,点C在。。上，分别连接BC,AC,且AC的延长线交

BM于点D,CF为。。的切线交8M于点F.

（1）求证：CF=DF；

（2）连接OF,若A8=10,BC=6,求线段。尸的长.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、C

【解题分析】

由当x=-2和x=0时，y的值相等，利用二次函数图象的对称性即可求出对称轴.

【题目详解】

解：•••x=-2和x=0时，y的值相等，

-2+0

•••二次函数的对称轴为x=——=一1,

2

故答案为：C.

【题目点拨】

本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性找出对称轴是解题的关键.

2、B

【解题分析】

过E作EF〃AB,求出AB〃CD〃EF,根据平行线的性质得出NC=NFEC,NBAE=NFEA,求出NBAE,即可求出

答案.

解：

\1

---------------B

0

CD

过E作EF〃AB,

VAB/7CD,

.♦.AB〃CD〃EF,

.•.ZC=ZFEC,NBAE=NFEA,

VZC=44%NAEC为直角，

ZFEC=44°,ZBAE=ZAEF=90°-44°=46°,

二Zl=1800-ZBAE=180°-46°=134°,

故选B.

“点睛”本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键.

3、C

【解题分析】

利用加减消元法①x5+②x3消去y即可.

【题目详解】

4x+3y=7①^

用加减法解方程组《'…时，若要求消去y,则应①x5+②x3,

故选C

【题目点拨】

此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.

4、A

【解题分析】

根据平行线的性质及圆周角定理的推论得出点M的轨迹是以EF为直径的半圆，进而求出半径即可得出答案，注意分

两种情况讨论.

【题目详解】

当点D与B重合时，M与F重合，当点D与A重合时，M与E重合，连接BD,FM,AD,EM,

,,CF=CM=CE=EF=2.

BCCDCAAB3

FMUBD,EMHAD,EF=2

NFMC=ZBDC,ACME=ZCDA

TAB是直径

.•.ZBZM=90。

即N3OC+NCD4=90°

A/FMC+NCME=90。

...点M的轨迹是以EF为直径的半圆，

VEF=2

...以EF为直径的圆的半径为1

.•.点M运动的路径长为史察=乃

180

当CM'=』C。时，同理可得点M运动的路径长为,万

32

故选：A.

【题目点拨】

本题主要考查动点的运动轨迹，掌握圆周角定理的推论，平行线的性质和弧长公式是解题的关键.

5,C

【解题分析】

根据题目中的数据可以按照从小到大的顺序排列，从而可以求得这组数据的平均数和中位数.

【题目详解】

对于数据：6,3,4,7,6,0,1,

这组数据按照从小到大排列是：0,3,4,6,6,7,1,

这组数据的平均数是：。±3+4+；+6+7±9=5,中位数是6,

故选C.

【题目点拨】

本题考查了平均数、中位数的求法，解决本题的关键是明确它们的意义才会计算，求平均数是用一组数据的和除以这

组数据的个数；中位数的求法分两种情况：把一组数据从小到大排成一列，正中间如果是一个数，这个数就是中位数,

如果正中间是两个数，那中位数是这两个数的平均数.

6、D

【解题分析】

解：作直径AD,连结8。，如图...,A。为直径，,NABD=90。.在RtAABD中，,.FA10,AB=6,^/lO2-62=8»

BD844

cosD=-----=—=—.":NC=ND,cosC=—.故选D.

点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推

论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.也考查了解直角三角形.

7、C

【解题分析】

延长8c到E使利用中点的性质得到DE=-AB,再利用勾股定理进行计算即可解答.

22

【题目详解】

解：延长5c到E使VBC//AD,四边形ACE。是平行四边形，/.DE=AB,

,:BC=3,AD=1,

...C是8E的中点，

是BO的中点，

1I

ACM=-DE=-AB,

22

•：AC±BC,

•••43=^AC2+BC2="2+32=5,

5

ACM=-,

2

故选：C.

【题目点拨】

此题考查平行四边形的性质，勾股定理，解题关键在于作辅助线.

8、B

【解题分析】

根据SAABE=^S柜彩ABCD=1=L・AE・BF,先求出AE,再求出BF即可.

22

【题目详解】

如图，连接BE.

.*.AB=CD=2,BC=AD=1,ZD=90°,

在RtAADE中，AE=AD2+DE2=旧+E=晒,

I1

・SAABE=—S矩形ABCD=1=—・AE・BF,

22

•nn3M

・・BF=--------,

5

故选：B.

【题目点拨】

本题考查矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用面积

法解决有关线段问题，属于中考常考题型.

9、C

【解题分析】

利用旋转的性质得BA=BD,BC=BE,ZABD=ZCBE=60°,ZC=ZE,再通过判断△ABD为等边三角形得到AD=AB,

NBAD=60。,则根据平行线的性质可判断AD〃BC,从而得到NDAC=NC,于是可判断NDAC=NE,接着利用AD=AB,

BE=BC可判断AD+BC=AE,利用NCBE=60。，由于NE的度数不确定，所以不能判定BC_LDE.

【题目详解】

VAABC绕点B顺时针旋转60。得4DBE,点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，

；.BA=BD,BC=BE,NABD=NCBE=60。，ZC=ZE,

.'.△ABD为等边三角形，

，AD=AB,ZBAD=60°,

VZBAD=ZEBC,

.♦.AD〃BC,

.*.ZDAC=ZC,

r.ZDAC=ZE,

VAE=AB+BE,

而AD=AB,BE=BC,

.,.AD+BC=AE,

VZCBE=60°,

,只有当NE=30。时，BC±DE.

故选C.

【题目点拨】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后

的图形全等.也考查了等边三角形的性质.

10、B

【解题分析】

观察可得最简公分母是(x-3)(x+1),方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解.

【题目详解】

方程的两边同乘(x-3)(x+l),得

(x-2)(x+l)=x(x-3),

x2—x—2=x2—3x,

解得x=l.

检验：把x=l代入(x-3)(x+l)=-"0.

原方程的解为：x=l.

故选B.

【题目点拨】

本题考查的知识点是解分式方程，解题关键是注意解得的解要进行检验.

11、A

【解题分析】

根据数轴上点的位置确定出a,b,c的范围，判断即可.

【题目详解】

由数轴上点的位置得：a<b<Q<c,

ac<bc,\a-b\=b-a,-b>-c,a・c<b-c.

故选A.

【题目点拨】

考查了实数与数轴，弄清数轴上点表示的数是解本题的关键.

12、C

【解题分析】

分析：

根据题中所给条件结合A、B、C三点的相对位置进行分析判断即可.

详解：

A选项中，若原点在点A的左侧，则同<同，这与已知不符，故不能选A；

B选项中，若原点在A、B之间，则b>0,c>0,这与b-c<0不符，故不能选B；

C选项中，若原点在B、C之间，贝!!同>卜|且b・c<0,与已知条件一致，故可以选C；

D选项中，若原点在点C右侧，则b<0,c<0,这与b・c<()不符，故不能选D.

故选C.

点睛：理解“数轴上原点右边的点表示的数是正数，原点表示的是0,原点左边的点表示的数是负数，距离原点越远的

点所表示的数的绝对值越大”是正确解答本题的关键.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、a>-1.

8

【解题分析】

试题分析：已知关于X的方程2x2+x-a=0有两个不相等的实数根，所以△=12-4X2X(-a)=l+8a>0,解得a>-L.

8

考点：根的判别式.

14、1

【解题分析】

解：3=2+1；

5=3+2；

8=5+3；

13=8+5；

可以发现：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.

则第8个数为13+8=21；

第9个数为21+13=34；

第10个数为34+21=1.

故答案为1.

点睛：此题考查了数字的有规律变化，解答此类题目的关键是要求学生通对题目中给出的图表、数据等认真进行分析、

归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题.此类题目难度一般偏大.

<25-50

15、一或一.

613

【解题分析】

由图可知，在4OMN中，NOMN的度数是一个定值，且NOMN不为直角.故当NOMW=90。或NMON=90。时，△OMN

是直角三角形.因此，本题需要按以下两种情况分别求解.

⑴当NONM=90。时，则ONJ_5c.

过点E作EF_LBC,垂足为尸.（如图）

\•在RtAABC中,NA=90°,AB=AC,

：.NC=45°,

VBC=20,

二在RtAABC中,AC=BC•cosC=BC•cos45°=20x—=1072,

2

•；DE是AABC的中位线，

CE=，AC」xlO五=5也，

22

...在RSCPE中，EF=C£-sinC=BC-sin450=5V2x—=5，FC=EF=5.

2

•；BM=3,3c=20,FC=5,

:.MF=BC-BM-FC=20-3-5=12.

,:EF=5,M尸=12,

EF5

:.在RtAMFE中，tanNEMF=------——,

MF12

TOE是△ABC的中位线，8c=20,

DE=—BC=—x20=10,DE//BC,

22

；.NDEM=NEMF,即NOEO=NEMF,

AtanZDEO=tanZEMF=—,

12

525

.•.在RtAOOE中，DO=DE-tanZDEO=10x—=—.

126

⑵当NMON=90。时，则DVJLME.

*

过点E作EF_L6C,垂足为尸.（如图）

'：EF=5,MF=12,

.•.在RSMFE中，ME^yjMF2+EF2=7122+52=13>

二在RtAMFE中，sin4EMF=——=—,

ME13

,:NDEO=NEMF,

：.sinZDEO=sinNEMF=—,

13

:DE=1Q,

：.在RtADOE中，DO=DE-sinZDEO=10x—.

1313

综上所述，。。的长是史或色.

613

故本题应填写：生或笆.

613

点睛：

在解决本题的过程中，难点在于对直角三角形中直角的分类讨论；关键点是通过等角代换将一个在原直角三角形中不

易求得的三角函数值转换到一个容易求解的直角三角形中进行求解.另外，本题也可以用相似三角形的方法进行求解,

不过利用锐角三角函数相对简便.

16、-5

【解题分析】

分清一元二次方程中，二次项系数、一次项系数和常数项，直接解答即可.

【题目详解】

解：。表示一元二次方程f-5x+2=0的一次项系数-5.

【题目点拨】

此题考查根的判别式，在解一元二次方程时程根的判别式△=b2-4ac,不要盲目套用，要看具体方程中的a,b,c的值.a

代表二次项系数，b代表一次项系数，c是常数项.

17、x3(y+1)(y-1)

【解题分析】

先提取公因式X3,再利用平方差公式分解可得.

【题目详解】

解：原式=x3(y2-l)=x3(y+1)(y-1),

故答案为x3(y+1)(y-1).

【题目点拨】

本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握一般整式的因式分解的步骤--先提取公因式，

再利用公式法分解.

18、V10-V5<r<V10+V5

【解题分析】

因为以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，则圆D与圆O相交，圆心距满足关系式：|R-r|<d<R+r,

求得圆D与圆O的半径代入计算即可.

【题目详解】

连接OA、OD,过O点作ON_LAE,OM±AF.

I1

AN=-AE=1,AM=-AF=2,MD=AD-AM=3

22

•••四边形ABCD是矩形

:.ZBAD=ZANO=ZAMO=90°,

二四边形OMAN是矩形

/.OM=AN=1

OA=物+4=6QD=々+32=加

•••以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，则圆D与圆O相交

:.屈—也〈”回+后

【题目点拨】

本题考查了圆与圆相交的条件，熟记圆与圆相交时圆的半径与圆心距的关系是关键.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)机=-；；(2)方程有两个不相等的实根.

【解题分析】

分析：(1)由方程根的定义，代入可得到关于m的方程，则可求得m的值；

(2)计算方程根的判别式，判断判别式的符号即可.

详解：

(1)?!!!是方程的一个实数根，

/.m2-(2m-3)m+m2+l=l,

3

(2)△=b2-4ac=-12m+5,

Vm<l,

/.△=-12m+5>l.

此方程有两个不相等的实数根.

点睛：考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键.

20、(1)m=2；y=—x+—；(2)P点坐标是(-之，—).

2224

【解题分析】

(1)利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)设点P的坐标为+根据面积公式和已知条件列式可求得x的值，并根据条件取舍，得出点P的坐

标.

【题目详解】

解：(1)•.•反比例函数y=:的图象过点

•••〃=-4x—=-2,

2

丁点B(-Lm)也在该反比例函数的图象上，

:.-l*m=-2,

:.m=2；

设一次函数的解析式为y=kx+b,

由丫=1«+1)的图象过点人一4,(},B(-1,2),则

k=-

-4k+b=-2

2解得：＜

b=g

—k+b=2,

...一次函数的解析式为y=；*+g；

(2)连接PC、PD,如图，+|

VAPCA和白PDB面积相等,

【题目点拨】

本题考查待定系数法求反比例函数以及一次函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是

解题的关键.

21、当x=-3时，原式=-L,当x=-2时，原式=-1.

2

【解题分析】

先化简分式，再解不等式组求得x的取值范围，在此范围内找到符合分式有意义的x的整数值，代入计算可得.

【题目详解】

一、X-1v+l-9

原式=7一至,

(x+1)2x+1

=x-1'x+1

一(x+1)2■

1

x+1'

'2x-7<3(x-l)①

解不等式组J4/2〜

解不等式①，得：x>-4,

解不等式②，得：X<-1,

.••不等式组的解集为-4VXS-L

二不等式的整数解是-3,

又Vx+l#O,xT邦x关£1,

•*.x=-3或x=-2,

当x=-3时，原式=-5•，

2

当x=-2时，原式=-1.

【题目点拨】

本题考查了分式的化简求值及一元一次不等式组的整数解，求分式的值时，一定要选择使每个分式都有意义的未知数

的值.

22、见解析

【解题分析】

试题分析：首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两

垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可.

解：如图所示，点P即为所求作的旋转中心.

23、证明见解析.

【解题分析】

由AD〃BC得NADB=NDBC,根据已知证明△AEDgZXDCB(AAS)，即可解题.

【题目详解】

解：VAD/7BC

；.NADB=NDBC

,.,DC_LBC于点C,AE_LBD于点E

.•.ZC=ZAED=90°

又；DB=DA

/.△AED^ADCB(AAS)

.*.AE=CD

【题目点拨】

本题考查了三角形全等的判定和性质，属于简单题，证明三角形全等是解题关键.

24、(1)证明见解析(2)证明见解析(3)1

【解题分析】

(1)利用平行线的性质得到NCE4=90,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证，

(2)利用平行四边形的判定定理判定四边形BDFG为平行四边形，再利用(1)得结论即可得证，

(3)设GF=x,则AF=5-x,利用菱形的性质和勾股定理得到A厂和AC之间的关系，解出x即可.

【题目详解】

(1)证明：AG//BD,CF1BD,

.-.CF1AG,

又D为AC的中点,

,-.DF=-AC,

2

又BD=-AC,

2

.•.BD=DF,

(2)证明：BD//GF,BD=FG,

四边形BDFG为平行四边形，

又BD=DF,

二•四边形BDFG为菱形，

(3)解：设GF=x,则AF=5-x,AC=2x,

在Rt_AFC中，(2X)2=(V7)2+(5-X)2,

解得：X1=2,X2=-与(舍去)，

；.GF=2,

.,.菱形BDFG的周长为1.

【题目点拨】

本题考查了菱形的判定与性质直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识，正确掌握这些定义性质及判定并结合图形

作答是解决本题的关键.

25、(1)5+百；(2)V2-1

【解题分析】

试题分析：(1)先分别进行绝对值化简，0指数幕、负指数幕的计算，特殊三角函数值、二次根式的化简，然后再按

运算顺序进行计算即可；

(2)括号内先通分进行加法运算，然后再进行分式除法运算，最后代入数值进行计算即可.

试题解析：(1)原式=2-1+4-2xYI+26=2-1+4-73+273=5+73;

2

(a+l)(a—1)2tz+tz2+1(a+l)(a—1)

(2)原式=-----------------;------------------------------

(a+l『

1

当时，原式==A/2-1•

0+1

26、(1)最多可以做25只竖式箱子；(2)能制作竖式、横式两种无盖箱子分别为5只和30只；(3)47或L

【解题分