新高考数学一轮复习讲义 第31讲 基本立体图形及几何体的表面积与体积（原卷版）

第31讲基本立体图形及几何体的表面积与体积（精讲）题型目录一览①空间几何体的结构特征②空间几何体的表面积③空间几何体的体积一、知识点梳理一、知识点梳理一、构成空间几何体的基本元素（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体．（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．二、简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；（7）正方体：棱长都相等的长方体．2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．三、简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．四、组合体由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．五、表面积与体积计算公式表面积公式表面积柱体SKIPIF1<0SKIPIF1<0为直截面周长SKIPIF1<0SKIPIF1<0锥体SKIPIF1<0SKIPIF1<0台体SKIPIF1<0SKIPIF1<0球SKIPIF1<0体积公式体积柱体SKIPIF1<0锥体SKIPIF1<0台体SKIPIF1<0球SKIPIF1<0六、空间几何体的直观图1．斜二测画法斜二测画法的主要步骤如下：（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，建立直角坐标系．（2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于SKIPIF1<0轴的线段，在直观图中画成平行于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），它们确定的平面表示水平平面．（3）画出对应图形．在已知图形平行于SKIPIF1<0轴的线段，在直观图中画成平行于SKIPIF1<0轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于SKIPIF1<0轴的线段，在直观图中画成平行于SKIPIF1<0轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线．注：直观图和平面图形的面积比为SKIPIF1<0．2．平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一空间几何体的结构特征策略方法需要熟悉几何体的基本概念.【典例1】（单选题）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（

）A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5）【典例2】（单选题）将表面积SKIPIF1<0的圆锥沿母线将侧面展开，得到一个圆心角为SKIPIF1<0的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（单选题）圆台SKIPIF1<0母线长为3，下底直径为10，上底直径为5，过圆台两条母线作截面，则该截面面积最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．以上都不对【题型训练】一、单选题1．已知直角梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（

）A．一个圆柱、一个圆锥 B．一个圆柱、两个圆锥C．一个圆台、一个圆柱 D．两个圆柱、一个圆台2．用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（

）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形3．在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面所在平面截圆柱桶所成的截口曲线的所有类型有：（

）①矩形

②圆

③椭圆

④部分抛物线

⑤部分椭圆A．②③⑤ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④4．如图所示，在三棱台SKIPIF1<0中，沿平面SKIPIF1<0截去三棱锥SKIPIF1<0，则剩余的部分是（

）

A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体5．已知在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则过这三点的截面图的形状是（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形6．圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的SKIPIF1<0倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是（

）A．8 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．毛泽东在《七律二首•送瘟神》中有句诗为“坐地日行八万里，巡天遥看一千河.”前半句的意思是：人坐在地面上不动，由于地球的自转，每昼夜会随着地面经过八万里路程.诗中所提到的八万里，指的是人坐在赤道附近所得到的数据.设某地所在纬度为北纬SKIPIF1<0（即地球球心SKIPIF1<0和该地的连线与赤道平面所成的角为SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0.若将地球近似看作球体，则某人在该地每昼夜随着地球自转而经过的路程约为（

）A．SKIPIF1<0万里 B．SKIPIF1<0万里 C．SKIPIF1<0万里 D．SKIPIF1<0万里8．羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为SKIPIF1<0，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是SKIPIF1<0，底部所围成圆的直径是SKIPIF1<0，据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆心角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．如下图所示，在正方体SKIPIF1<0中，如果点E是SKIPIF1<0的中点，那么过点SKIPIF1<0、B、E的截面图形为（

）A．三角形

B．矩形 C．正方形 D．菱形10．石碾子是我国传统粮食加工工具，如图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚（圆柱形）和碾架组成．碾盘中心设竖轴（碾柱），连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的．若推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚的外边缘恰好滚动了5圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为（

）A．3：2 B．5：4 C．5：3 D．4：311．已知正方体SKIPIF1<0的棱长为3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上靠近点SKIPIF1<0的三等分点，则平面SKIPIF1<0截该正方体所得截面的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．在没有其他因素影响时，飞机的航线往往选取的是两地之间的最短距离．设地球为一半径为R的球体，一架飞机将从A地东经SKIPIF1<0飞至B地东经SKIPIF1<0，且A，B两地纬度都为SKIPIF1<0．若飞机始终在地球球面上运动，则该飞机飞行的最短路程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，SKIPIF1<0为圆柱上下底面的圆心，SKIPIF1<0为球心，SKIPIF1<0为底面圆SKIPIF1<0的一条直径，若球的半径SKIPIF1<0，则平面DEF截球所得的截面面积最小值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题14．下列关于棱柱的说法正确的是（

）A．棱柱的两个底面一定平行B．棱柱至少有五个面C．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱D．正四棱柱一定是长方体15．下列命题正确的是（

）A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形C．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行16．如图，SKIPIF1<0为正方体中所在棱的中点，过SKIPIF1<0两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形17．如果一个凸n面体共有m个面是直角三角形，那么我们称这个凸n面体的直度为SKIPIF1<0，则（

）A．三棱锥的直度的最大值为1B．直度为SKIPIF1<0的三棱锥只有一种C．四棱锥的直度的最大值为1D．四棱锥的直度的最大值为SKIPIF1<0三、填空题18．设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点.其中正确命题的序号是.19．一圆锥的侧面展开图为一圆心角为SKIPIF1<0的扇形，该圆锥母线长为6，则圆锥的底面半径为．20．长方体SKIPIF1<0的底面是边长为1的正方形，若在侧棱SKIPIF1<0上至少存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则侧棱SKIPIF1<0的长的最小值为.21．如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别为边SKIPIF1<0的中点．将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，在翻折过程中，直线SKIPIF1<0被三棱锥SKIPIF1<0的外接球截得的线段长的取值范围为．22．在棱长为4的正方体SKIPIF1<0中，点P、Q分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，点M为正方体表面上一动点，若MP与CQ垂直，则点M所构成的轨迹的周长为.23．如图，某圆柱的高为4，底面周长为16，SKIPIF1<0，则在此圆柱侧面上，从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的路径中，最短路径的长度为.题型二空间几何体的表面积策略方法空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．【典例1】（单选题）在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的底面是斜边长为SKIPIF1<0的等腰直角三角形，高为SKIPIF1<0，则该“堑堵”的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（单选题）一个正三棱锥的每一个面都是边长是1的正三角形，则此正三棱锥的表面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（单选题）亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（）A．SKIPIF1<0m2 B．3.6SKIPIF1<0m2 C．7.2SKIPIF1<0m2 D．11.34SKIPIF1<0m2【题型训练】一、单选题1．在一个正六棱柱中挖去一个圆柱后，剩余部分几何体如图所示．已知正六棱柱的底面正六边形边长为3cm，高为4cm，内孔半径为1cm，则此几何体的表面积是（

）SKIPIF1<0．

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知一个直棱柱与一个斜棱柱的底面多边形全等，且它们的侧棱长也相等．若直棱柱的体积和侧面积分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，斜棱柱的体积和侧面积分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系无法确定3．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的底面是斜边长为SKIPIF1<0的等腰直角三角形，高为SKIPIF1<0，则该“堑堵”的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．位于徐州园博园中心位置的国际馆（一云落雨），使用现代科技雾化“造云”，打造温室客厅，如图，这个国际馆中3个展馆的顶部均采用正四棱锥这种经典几何形式，表达了理性主义与浪漫主义的对立与统一.其中最大的是3号展馆，其顶部所对应的正四棱锥底面边长为19.2m，高为9m，则该正四棱锥的侧面面积与底面面积之比约为（

）（参考数据：SKIPIF1<0）A．2 B．1.71 C．1.37 D．15．为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为SKIPIF1<0，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知两个圆锥的轴截面均为等边三角形，两个圆锥的表面积分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，体积分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．3 D．47．柷（zhù），是一种古代打击乐器，迄今已有四千多年的历史，柷的上方形状犹如四方形木斗，上宽下窄，下方有一底座，用椎（木棒）撞击其内壁发声，表示乐曲将开始.如图，某柷（含底座）高SKIPIF1<0，上口正方形边长SKIPIF1<0，下口正方形边长SKIPIF1<0，底座可近似地看作是底面边长比下口边长长SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0的正四棱柱，则该柷（含底座）的侧面积约为（SKIPIF1<0）（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成SKIPIF1<0的正四棱台（如图所示），其中上底面与下底面的面积之比为SKIPIF1<0，方亭的高为棱台上底面边长的SKIPIF1<0倍.已知方亭的体积为SKIPIF1<0，则该方亭的表面积约为（

）（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知圆台上下底面半径之比为SKIPIF1<0，母线与底面所成的角的正弦值为SKIPIF1<0，圆台体积为SKIPIF1<0，则该圆台的侧面面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知某圆台的高为SKIPIF1<0，上底面半径为1，下底面半径为2，则其侧面展开图的面积为（

）A．9π B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．8π11．已知四棱台的上、下底面分别是边长为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的正方形，侧面均为腰长为SKIPIF1<0的等腰梯形，则该四棱台的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密．碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱．该元青花团菊花纹小盏口径8.3厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器.该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足.器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收.黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm，足径14.4cm，高3.8cm，其中底部圆柱高0.8cm，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（

）（附：圆台的侧面积SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为两底面半径，SKIPIF1<0为母线长，其中SKIPIF1<0的值取3，SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．“阿基米德多面体”也称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，它是由正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥得到.已知SKIPIF1<0，若该半正多面体的表面积为SKIPIF1<0，体积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<015．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的YongJunKLSpeedcubing比赛半决赛中，来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了SKIPIF1<0之后，表面积增加了（

）

A．54 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<016．如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形ABFE和四边形DCFE是两个全等的等腰梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是两个全等的正三角形.已知该多面体的棱BF与平面ABCD所成的角为45°，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该屋顶的表面积为（

）A．100 B．SKIPIF1<0 C．200 D．SKIPIF1<0二、多选题17．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径SKIPIF1<0相等，下列结论正确的是（

）A．圆柱的侧面积为SKIPIF1<0 B．圆锥的侧面积为SKIPIF1<0C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小18．等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<019．已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，母线SKIPIF1<0长为2，SKIPIF1<0为母线SKIPIF1<0中点，则下列结论正确的是（

）A．圆台母线SKIPIF1<0与底面所成角为60° B．圆台的侧面积为SKIPIF1<0C．圆台外接球半径为2 D．在圆台的侧面上，从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的最短路径的长度为520．在矩形ABCD中，以AB为母线长，2为半径作圆锥M，以AD为母线长，8为半径作圆锥N，若圆锥M与圆锥N的侧面积之和等于矩形ABCD的面积，则（

）A．矩形ABCD的周长的最小值为SKIPIF1<0B．矩形ABCD的面积的最小值为SKIPIF1<0C．当矩形ABCD的面积取得最小值时，SKIPIF1<0D．当矩形ABCD的周长取得最小值时，SKIPIF1<021．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为SKIPIF1<0，这个角接近SKIPIF1<0，若取SKIPIF1<0，侧棱长为SKIPIF1<0米，则（

）A．正四棱锥的底面边长为6米 B．正四棱锥的底面边长为3米C．正四棱锥的侧面积为SKIPIF1<0平方米 D．正四棱锥的侧面积为SKIPIF1<0平方米三、填空题22．若一个圆锥的轴截面是边长为SKIPIF1<0的等边三角形，则该圆锥的侧面积为.23．“几何之父”欧几里得最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．《几何原本》中提出了面积射影定理：平面图形射影面积等于被射影图形的面积SKIPIF1<0乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦．已知正三棱台的上、下底面边长分别为5、13，侧面与底面成SKIPIF1<0角，则它的侧面积等于．24．已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，其侧面展开图是一个面积为SKIPIF1<0的半圆环，则该圆台的高为．25．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中SKIPIF1<0是圆锥的顶点，SKIPIF1<0分别是圆柱的上、下底面圆的圆心，且SKIPIF1<0，底面圆的半径为1，则该陀螺的表面积是.

26．直四棱柱SKIPIF1<0的底面是菱形，其侧面积是SKIPIF1<0，若该直四棱柱有外接球，则该外接球的表面积的最小值为．27．在正四棱台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该棱台的表面积为．28．已知圆柱的侧面积为SKIPIF1<0，其外接球的表面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为．29．如图所示，有两个相同的直三棱柱，高为SKIPIF1<0，底面三角形的三边长分别为3a，4a，SKIPIF1<0．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是．

30．已知球O的半径为SKIPIF1<0，正三棱锥O－ABC的底面的各个顶点均在球O的球面上，当正三棱锥O－ABC的体积取得最大值时，其侧面积为题型三空间几何体的体积策略方法求空间几何体的体积的常用方法【典例1】（单选题）已知一个圆柱的侧面展开图内切圆的半径为1，则该圆柱的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（单选题）气象学中，24小时内降落在某面积上的雨水深度（无渗漏､蒸发､流失等，单位：SKIPIF1<0）叫做日降雨量，等级如下划分：降水量SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0等级小雨､阵雨中雨大雨暴雨某同学用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图所示，则那天降雨属于哪个等级（

）

A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【典例3】（单选题）如图，一种棱台形状的无盖容器(无上底面SKIPIF1<0)模型其上、下底面均为正方形，面积分别为4cm2，9cm2，且SKIPIF1<0.若该容器模型的体积为SKIPIF1<0cm3，则该容器模型的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．地区不同，制作的粽子形状也不同，图中的粽子接近于正三棱锥．经测算，煮熟的粽子的密度为SKIPIF1<0，若图中粽子的底面边长为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，则该粽子的重量大约是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度SKIPIF1<0器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位SKIPIF1<0），则平地降雪厚度的近似值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．《工程做法则例》是清朝雍正时期官方发布的一部较为系统全面的建筑工程专书，里面有一句话：“凡檐柱（支撑屋檐的柱子）以面阔十分之八定高，以百分之七定径寸（直径）．”这句话规定了房屋檐柱的高、直径与房屋宽度之间的比例．假设某座房子的“面阔”为SKIPIF1<0，檐柱形状为圆柱，根据书中这句话的要求，这座房子的一根檐柱的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎（如图1）出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（忽略鼎壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中SKIPIF1<0分别是上､下底面圆的圆心，且SKIPIF1<0，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．如图，某种中药胶囊外形是由两个半球和一个圆柱组成的，半球的直径是SKIPIF1<0，圆柱高SKIPIF1<0，则该中药胶囊的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱体积比是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知圆锥的母线长为2，并且圆锥的侧面展开图的圆心角为SKIPIF1<0，则此圆锥的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．我国历史文化悠久，“爰”铜方彝是商代后期的一件文物，其盖似四阿式屋顶，盖为子口，器为母口，器口成长方形，平沿，器身自口部向下略内收，平底、长方形足、器内底中部及盖内均铸一“爰”字.通高24cm，口长13.5cm，口宽12cm，底长12.5cm，底宽10.5cm.现估算其体积，上部分可以看作四棱锥，高约8cm，下部分看作台体，则该文物的体积约为（

）（参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水体积为盆体积的一半，则平地降雨量约是（

）寸.（结果四舍五入取整数）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）A．3 B．4 C．5 D．613．如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为20cm和10cm，侧棱长为SKIPIF1<0cm．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装SKIPIF1<0（

）

A．1.5L B．1.7L C．2.3L D．2.7L14．公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，开创了秦朝统一度量衡的先河.如图，升体是长方体，手柄近似空心的圆柱.已知铜方升总长是SKIPIF1<0，内口长SKIPIF1<0，宽SKIPIF1<0，高SKIPIF1<0（忽略壁的厚度，取圆周率SKIPIF1<0），若手柄的底面半径为SKIPIF1<0，体积为SKIPIF1<0，则铜方升的容积约为（小数点后保留一位有效数字）（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．已知圆台上下底面半径之比为SKIPIF1<0，母线与底面所成的角的正弦值为SKIPIF1<0，圆台体积为SKIPIF1<0，则该圆台的侧面面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<016．如图，是SKIPIF1<0年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有SKIPIF1<0行、SKIPIF1<0字铭文．铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅兹中国，自之辟民’”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文字记载．“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的高约为SKIPIF1<0，上口的直径约为SKIPIF1<0，圆柱的高和底面直径分别约为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则“何尊”的体积大约为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．已知菱形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，则将菱形SKIPIF1<0以其中一条边所在的直线为轴，旋转一周所形成的几何体的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<018．）在马致远的《汉宫秋》楔子中写道：“毡帐秋风迷宿草，穹庐夜月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以为居室、毡制帷幔.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4，侧面积为SKIPIF1<0，圆柱的侧面积为SKIPIF1<0，则该毡帐的体积为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<019．贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的4倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为SKIPIF1<0，则几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的体积之比为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<020．已知一个直棱柱与一个斜棱柱的底面多边形全等，且它们的侧棱长也相等．若直棱柱的体积和侧面积分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，斜棱柱的体积和侧面积分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系无法确定21．车木是我国一种古老的民间手工工艺，指的是用刀去削旋转着的木头，可用来制作家具和工艺品，随着生产力的进步，现在常借助车床实施加工．现要加工一根正四棱柱形的条木，底面边长为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0．将条木两端夹住，两底面中心连线为旋转轴，将它旋转起来，操作工的刀头逐步靠近，最后置于离旋转轴SKIPIF1<0处，沿着旋转轴平移，对整块条木进行加工，则加工后木块的体积为（

）SKIPIF1<0．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<022．古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯在《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，S表示平面图形的面积，SKIPIF1<0表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）.如图，等腰梯形SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，则其重心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题23．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧SKIPIF1<0所在圆的半径分别是3和9，且SKIPIF1<0，则该圆台的（

）A．高为SKIPIF1<0 B．体积为SKIPIF1<0C．表面积为SKIPIF1<0 D．上底面积､下底面积和侧面积之比为SKIPIF1<024．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值近似为SKIPIF1<0，侧棱长近似为SKIPIF1<0米，则下列结论正确的是（

）A．正四棱锥的底面边长近似为3米B．正四棱锥的高近似为SKIPIF1<0米C．正四棱锥的侧面积近似为SKIPIF1<0平方米D．正四棱锥的体积近似为SKIPIF1<0立方米25．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为SKIPIF1<0，则下列叙述正确的是（

）A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为SKIPIF1<0C．正三棱锥的体积为SKIPIF1<0 D．正三棱锥的侧面积为SKIPIF1<026．沙漏，据《隋志》记载：“漏刻之制，盖始于黄帝”．它是古代的一种计时装置，由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的SKIPIF1<0（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下SKIPIF1<0的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是（

）A．沙漏的侧面积是SKIPIF1<0B．沙漏中的细沙体积为SKIPIF1<0C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD．该沙漏的一个沙时大约是837秒SKIPIF1<027．如图，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0分别为圆台上､下底面直径，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则（

）

A．圆台的全面积为SKIPIF1<0B．圆台的体积为SKIPIF1<0C．圆台的中截面（过圆台高的中点且平行底面的截面）面积为SKIPIF1<0D．从点SKIPIF1<0经过圆台的侧面到点SKIPIF1<0的最短距离为SKIPIF1<028．在正四棱台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0的中点