新高考一轮复习导学案第71讲 圆锥曲线中的最值问题（微专题）（解析版）

第71讲圆锥曲线中的最值问题题型一与线段、周长有关的最值问题例1、（2023·云南·统考一模）若P，Q分别是抛物线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0上的点，则SKIPIF1<0的最小值为________．【答案】SKIPIF1<0【分析】设点SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值即为SKIPIF1<0的最小值减去圆的半径，求出SKIPIF1<0的最小值即可得解．【详解】依题可设SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，SKIPIF1<0的最小值即为SKIPIF1<0的最小值减去半径．因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0恒成立，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．变式1、（2023·山西·统考一模）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为抛物线上一动点，则SKIPIF1<0周长的最小值为______.【答案】SKIPIF1<0【分析】过SKIPIF1<0作准线的垂线，垂足为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作准线的垂线，垂足为SKIPIF1<0，进而结合抛物线的定义求解即可.【详解】解：由题知SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0.如图，过SKIPIF1<0作准线的垂线，垂足为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作准线的垂线，垂足为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0周长SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与抛物线的交点SKIPIF1<0时等号成立.故答案为：SKIPIF1<0.变式2、（2023·广东广州·统考一模）（多选题）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点P满足SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．点SKIPIF1<0的横坐标的取值范围是SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0【答案】BC【解析】设点SKIPIF1<0，依题意，SKIPIF1<0，对于A，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，解不等式SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0的横坐标的取值范围是SKIPIF1<0，A错误；对于B，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，B正确；对于C，SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，当SKIPIF1<0时，点P在以线段MN为直径的圆SKIPIF1<0上，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0，C正确；对于D，因为点SKIPIF1<0在动点P的轨迹上，当点P为此点时，SKIPIF1<0，D错误.故选：BC变式3、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知椭圆E：SKIPIF1<0的焦距为SKIPIF1<0，且经过点SKIPIF1<0．(1)求椭圆E的标准方程：(2)过椭圆E的左焦点SKIPIF1<0作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求SKIPIF1<0的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)2【分析】（1）由待定系数法求解析式；（2）设出直线方程，由韦达定理法及导数法求得两切线方程，即可联立两切线方程解得交点M，再由弦长公式及两点距离公式表示出SKIPIF1<0，进而讨论最值.【详解】（1）由题意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即椭圆方程为SKIPIF1<0；（2）当直线l斜率为0时，A，B分别为椭圆的左右顶点，此时切线平行无交点．故设直线l：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0不妨设SKIPIF1<0在x轴上方，则SKIPIF1<0在x轴下方．椭圆在x轴上方对应方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则A处切线斜率为SKIPIF1<0，得切线方程为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.同理可得B处的切线方程为SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，代入①得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值是2．另解：当直线l的斜率存在时，设l：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆在x轴上方的部分方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则过SKIPIF1<0的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可得过SKIPIF1<0的切线方程为SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以直线l的方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，为2变式4、（2022·全国·江西师大附中模拟预测）已知抛物线C：SKIPIF1<0（p＞0），抛物线C的焦点为F，点P在抛物线上，且SKIPIF1<0的最小值为1．(1)求p；(2)设O为坐标原点，A，B为抛物线C上不同的两点，直线OA，OB的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，求｜AB｜的取值范围．【解析】(1)因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；(2)由（1）得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0直线方程为SKIPIF1<0联立方程组SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0则SKIPIF1<0故SKIPIF1<0过焦点SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．题型二与面积有关的最值问题例2、（2022·广东广州·二模）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，短轴长为4；(1)求C的方程；(2)过点SKIPIF1<0作两条相互垂直的直线上SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与C相交于两个不同点A，B，在线段SKIPIF1<0上取点Q，满足SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交y轴于点R，求SKIPIF1<0面积的最小值．【解析】(1)由题可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴椭圆C的方程为SKIPIF1<0；(2)由题可知直线SKIPIF1<0的斜率存在且不为0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0四点共线，知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相互垂直，则SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面积为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0等号成立，所以SKIPIF1<0面积的最小值为1.变式1、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，且椭圆的长轴长为SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)设经过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴相交于点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根据已知条件可得出SKIPIF1<0的值，将点SKIPIF1<0的坐标代入椭圆SKIPIF1<0的方程，可得出SKIPIF1<0，即可得出椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）分析可知直线SKIPIF1<0不与SKIPIF1<0轴重合，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，将直线SKIPIF1<0的方程与椭圆SKIPIF1<0的方程联立，列出韦达定理，写出直线SKIPIF1<0的方程，可求得点SKIPIF1<0的坐标，利用三角形的面积公式以及对勾函数的单调性可求得SKIPIF1<0的取值范围.【详解】（1）解：因为椭圆SKIPIF1<0的长轴长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0的坐标代入椭圆SKIPIF1<0的方程可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0.（2）解：若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴重合，则SKIPIF1<0不存在，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合，不合乎题意，所以，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由韦达定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入直线SKIPIF1<0的方程可得SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.变式2、（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方，它上面的每一点到点SKIPIF1<0的距离减去到SKIPIF1<0轴的距离的差都是2.若点SKIPIF1<0分别在该曲线SKIPIF1<0上，且点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴左侧，SKIPIF1<0的重心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0且满足SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0.记SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0(1)求曲线SKIPIF1<0方程；(2)求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）曲线上每一点到点SKIPIF1<0的距离减去到SKIPIF1<0轴的距离的差都是2，即曲线上每一点到点SKIPIF1<0的距离与到直线SKIPIF1<0的距离相等，所以曲线SKIPIF1<0为抛物线，SKIPIF1<0；（2）设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由相似三角形可知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.变式3、（2022·江苏如皋·高三期末）设椭圆SKIPIF1<0经过点MSKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设椭圆E的右顶点为A，过定点SKIPIF1<0且斜率不为0的直线与椭圆E交于B，C两点，设直线AB，AC与直线SKIPIF1<0的交点分别为P，Q，求SKIPIF1<0面积的最小值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）把点代入椭圆方程，然后结合离心率公式即可求出椭圆的标准方程；（2）设出直线方程SKIPIF1<0，与椭圆方程联立消元写韦达，然后表示出直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程，进而求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，结合韦达定理即可求解.(1)由题意知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0．(2)设过点SKIPIF1<0的直线方程为SKIPIF1<0，代入椭圆SKIPIF1<0的方程，整理得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①，由（1）得SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入，SKIPIF1<0把①式代入，整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0面积的最小值为SKIPIF1<0题型三与向量有关的最值问题例3、（2023·江苏南京·校考一模）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别SKIPIF1<0、SKIPIF1<0焦距为2，且与双曲线SKIPIF1<0共顶点．P为椭圆C上一点，直线SKIPIF1<0交椭圆C于另一点Q．(1)求椭圆C的方程；(2)若点P的坐标为SKIPIF1<0，求过P、Q、SKIPIF1<0三点的圆的方程；(3)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0【分析】（1）由焦距为2得到SKIPIF1<0，再由双曲线的顶点求出SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，椭圆方程；（2）求出SKIPIF1<0的方程，与椭圆方程联立后得到点Q的坐标，待定系数法求出圆的方程；（3）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由向量共线得到SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0两点坐标代入椭圆方程中，求出SKIPIF1<0，从而表达出SKIPIF1<0，结合基本不等式求出最值.【详解】（1）双曲线SKIPIF1<0的顶点坐标为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故椭圆的方程为SKIPIF1<0．（2）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得点Q的坐标为SKIPIF1<0．设过P，Q，SKIPIF1<0三点的圆为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以圆的方程为SKIPIF1<0；（3）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF