富顺第三中学校2024届九年级下学期中考适应性检测数学试卷(含解析)

富顺三中初2023届毕业生中考适应性检测数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题只有唯一正确答案，每小题4分，共48分）1．下列新能汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．下列各数：，，0，，其中比小的数是（）A． B． C．0 D．3．2021年5月15日07时18分，我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆在火星上，从此，火星上留下中国的脚印，同时也为我国的宇宙探测之路迈出重要一步．将470000000用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．4．下列计算正确的是（）A．2a+a＝3a2 B．a3•a2＝a6 C．a5﹣a3＝a2 D．a3÷a2＝a5．如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（

）A． B． C． D．6．某校九年级8个班的同学积极参与“一木一环保”捐书活动，以班为单位自愿捐赠废旧书本，经统计，每个班捐赠的书本质量（单位：kg）如下：26，30，28，28，30，32，34，30，则这组数据的中位数和众数分别为（）A．30，30 B．29，28 C．28，30 D．30，287．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（）A．32° B．58°C．68° D．60°8．从、、这三个数中任取两数，分别记为、，那么点在函数图象上的概率是（）A． B． C． D．9．二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（）A． B．C． D．10．如图，在边长为2的正方形中，是以为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C．1 D．11．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（）A．（-3，0） B．（-2，0） C．（-4，0）或（-2，0） D．（-4，0）12．（2017•鄂州）如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD上一点，且∠BAE=45°．若CD=4，则△ABE的面积为（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．因式分解：．14．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为．15．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（只写一个）．16．点、、在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点到线段所在直线的距离是.17．如图，AB是⊙O的弦，AB＝5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是．18．如图所示，点，，在轴上，且，分别过点，，作轴的平行线，与反比例函数的图象分别交于点，，，分别过点，，作轴的平行线，分别于轴交于点，，，连接，，，那么图中阴影部分的面积之和为．

三．解答题（本大题共8小题，共78分，其中19、20、21、22题8分，23、24题10分，25题12分，26题14分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）19．计算：．20．如图，点A、D、C、B在同一条直线上，，，求证：(1)；(2)四边形是平行四边形．21．某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）九（1）班的学生人数为，并把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中m=，n=，表示“足球”的扇形的圆心角是度；（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．22．先化简，再求值：，其中为，，，等几个数字中合适的数．23．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C（1）求证：AE与⊙O相切于点A；（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长．24．如图，已知反比例函数的图象经过点（，8），直线y=﹣x+b经过该反比例函数图象上的点Q（4，m）．（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接OP、OQ，求△OPQ的面积．25．问题背景如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAFα，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为______．（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD，请直接写出DE的长．26．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点．

（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值．

参考答案与解析

1．A解析：A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意．故选：A．2．A解析：解：∵∣﹣4∣=4，4＞3＞2.8，∴﹣4＜﹣3＜﹣2.8＜0＜∣﹣4∣，∴比﹣3小的数为﹣4，故选：A．3．C解析：科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法，则，故选：C．4．D解析：解：A、2a+a＝3a，故A不符合题意；B、a3•a2＝a5，故B不符合题意；C、a5与a3不能合并，故C不符合题意；D、a3÷a2＝a，故D符合题意；故选：D．5．C解析：解：从上面看简单组合体可得两行小正方形，第二行四个小正方形，第一行一个小正方形右侧对齐．故选C．6．A解析：解：根据题意，这组数据按从小到大排列为：26，28，28，30，30，30，32，34；∴这组数据的中位数是第5个数和第6个数的平均数为30；出现最多的数是30，则众数是30；故选：A7．B解析：根据题意可知∠1+∠2=90°，所以∠2=90°-∠1=58°．故选B8．C本题考查反比例函数与概率的结合，解题关键是掌握反比例函数的性质，掌握画树状图求概率的方法．解析：解：画树状图如下，，，共有种等可能的结果，点在反比例函图象上的有种情况，点在反比例函数图象上的概率为，故选：C．9．C解析：解：二次函数的图象开口方向向下，，对称轴在轴的右边，、异号，即．反比例函数的图象位于第二、四象限，正比例函数的图象位于第一、三象限．观察选项，C选项符合题意．故选：C．10．D解析：解：取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，∴BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°，∵是以为直径的半圆的切线，∴OB=OC=OF=1，∠OFA=∠OFE=90°，∴AB=AF=2，CE=CF，∵OA=OA，∴Rt△ABO≌Rt△AFO（HL），同理可证△OCE≌△OFE，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；故选D．11．A解析：连接AQ，AP．根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；要使PQ最小，只需AP最小，则根据垂线段最短，则作AP⊥x轴于P，即为所求作的点P；此时P点的坐标是（-3，0）．故选A．12．D解析：解：如图取CD的中点F，连接BF延长BF交AD的延长线于G，作FH⊥AB于H，EK⊥AB于K．作BT⊥AD于T．∵BC∥AG，∴∠BCF=∠FDG，∵∠BFC=∠DFG，FC=DF，∴△BCF≌△GDF，∴BC=DG，BF=FG，∵AB=BC+AD，AG=AD+DG=AD+BC，∴AB=AG，∵BF=FG，∴BF⊥BG，∠ABF=∠G=∠CBF，∵FH⊥BA，FC⊥BC，∴FH=FC，易证△FBC≌△FBH，△FAH≌△FAD，∴BC=BH，AD=AB，由题意AD=DC=4，设BC=TD=BH=x，在Rt△ABT中，∵AB2=BT2+AT2，∴（x+4）2=42+（4﹣x）2，∴x=1，∴BC=BH=TD=1，AB=5，设AK=EK=y，DE=z，∵AE2=AK2+EK2=AD2+DE2，BE2=BK2+KE2=BC2+EC2，∴42+z2=y2①，（5﹣y）2+y2=12+（4﹣z）2②，由①②可得y=，∴S△ABE=×5×=，故选D．13．解析：解：原式，故答案为：．14．且解析：解：根据题意得且，解得且．故答案为∶且．15．6解析：∵关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4×2×3＞0，解得：b＜﹣2或b＞2，故答案可以为：6．16．；解析：试题分析：连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，∵S△ABC=3×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×3×3﹣1=9﹣1﹣1﹣﹣1=，AB==，∴×h=，∴h=．故答案为．17．解析：解：∵点M，N分别是AB，AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN＝BC，∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，如图，∵BC′是⊙O的直径，∴∠BAC′＝90°．∵∠ACB＝45°，∴∠AC′B＝45°，∴BC′＝∴BC的最大值是5∴MN最大＝．故答案为：．18．．解析：解：根据题意可知

∵轴∴设图中阴影部分的面积从左向右依次为则，∴同理∴图中阴影部分的面积分别是∴图中阴影部分的面积之和=．故答案为：．19．0解析：解：===020．(1)见解析(2)见解析解析：（1）证明：∵，∴，∵，∴，∵，∴（2）∵，∴，∴∴∴∴四边形是平行四边形．21．（1）40，补全统计图见详解.（2）10；20；72.（3）见详解.解析：解：(1)九(1)班的学生人数为：12÷30%=40(人)，喜欢足球的人数为：40−4−12−16=40−32=8(人)，补全统计图如图所示；(2)∵×100%=10%，×100%=20%，∴m=10，n=20，表示“足球”的扇形的圆心角是20%×360°=72°；故答案为(1)40;(2)10；20；72；(3)根据题意画出树状图如下：一共有12种情况，恰好是1男1女的情况有6种，∴P(恰好是1男1女)==.22．，当时，原式．解析：解：，，，，当，或时，原分式无意义，，当时，原式．23．（1）证明见解析；（2）AD=2．解析：（1）如图，连接OA，交BC于F，则OA=OB，∴∠D=∠DAO，∵∠D=∠C，∴∠C=∠DAO，∵∠BAE=∠C，∴∠BAE=∠DAO，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，即∠DAO+∠BAO=90°，∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，∴AE⊥OA，∴AE与⊙O相切于点A；（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，∴OA⊥BC，∴，FB=BC，∴AB=AC，∵BC=2，AC=2，∴BF=，AB=2，在Rt△ABF中，AF==1，在Rt△OFB中，OB2=BF2+（OB﹣AF）2，∴OB=4，∴BD=8，∴在Rt△ABD中，AD=．24．（1）反比例函数的解析式为y=；直线的函数表达式为y=﹣x+5；（2）解析：解：（1）把点（，8）代入反比例函数，得k=•8=4，∴反比例函数的解析式为y=；又∵点Q（4，m）在该反比例函数图象上，∴4•m=4，解得m=1，即Q点的坐标为（4，1），而直线y=﹣x+b经过点Q（4，1），∴1=﹣4+b，解得b=5，∴直线的函数表达式为y=﹣x+5；（2）联立，解得或，∴P点坐标为（1，4），对于y=﹣x+5，令y=0，得x=5，∴A点坐标为（0，5），∴S△OPQ=S△AOB﹣S△OBP﹣S△OAQ=•5•5﹣•5•1﹣•5•1=．25．（1）BE+DF＝EF；（2）成立；（3）DE解析：解：（1）BE+DF＝EF，如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，∵∠ADC＝∠B＝∠ADG＝90°，∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线．由旋转可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．∵∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣∠BAD=90°-45°＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠FAG=45°，∴∠EAF＝∠FAG，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG．又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF，故答案为BE+DF＝EF．（2）成立．如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH．∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADH+∠ADC＝180°，∴点C，D，H在同一直线上．∵∠BAD＝α，∠EAFα，∴∠BAE+∠FADα，∴∠DAH+∠FADα，∴∠FAH＝∠EAF，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；（3）DE，如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′．可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝4，∠BAC=90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝4，∴CD=BC=BD=3，∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，∴E′B2+BD2＝E′D2．易证△AE′D≌△AED，∴DE＝DE′，∴DE2＝BD2+EC2，即DE2，解得．26．（1）；（2）存在点P，点P坐标为（2＋，1＋）或（2−，1−）或（2，−3）；（3）＋解析：（1）由题意，令，即∴A的坐标为（4,0）令，即∴B的坐标为（0，-2）将A、B、C三点坐标代入抛物线，