2022年高考二轮复习立体几何解答题一（体积问题）

2022年高考二轮复习立体几何专题一

(体积问题)

1.如图，在直三棱柱ABC-中，AABC是边长为2的正三角形，点、E,P分别是棱

CG，8月上的点，点M是线段AC上一点，EC=2FB=2.

(1)若M为中点，证明：8W//平面AEF；

⑵若匕.BCE尸=2匕.曲，求

2.已知如图1所示，等腰AABC中，AB=AC=4,BC=46，D为BC中点,现将ABD

沿折痕AD翻折至如图2所示位置，使得ZBZ)C=工，E、/分别为AB、AC的中点.

3

(1)证明：3C//平面。印;

(2)求四面体BCDE的体积.

图1

图2

3.如图，在四棱锥尸—43CD中，DC//AB,BC±AB,E为棱"的中点，AB=4,

PA=PD=DC=BC=2.

(I)求证：/平面PBC；

(II)若平面B4D_L平面ABCD,试求三棱锥P-BDE■的体积.

4.如图，四棱锥尸-ABCD中，ABCD是正方形，上4_L平面ABCD,E,b分别为R4,

3C的中点.

(1)证明：EF//平面「CD；

(2)已知R4=AB=2,G为棱CD上的点，EF工BG,求三棱锥E—FCG的体积.

B

5.如图所示，在三棱柱ABC-A4G中，平面ACC|A_L平面ABC,AA^LAC,

AAi=AB=BC=2,D,R分别为AC,AQ的中点，且NB4C=30。.

(I)在棱A4,上是否存在点M,使得RM//平面。8C1?若存在，请找出点加的位置;

若不存在，请说明理由；

(II)求三棱锥C-DBG的体积.

-4IDI_CI

^'D：7'

6.如图，已知四棱锥尸—4BCD中，AB//CD,O,M分别是C。，尸C的中点，/。，底

面ABCD,S.PO=OD=DA=AB=BC.

(1)证明：B4〃平面

(2)若PO=2,求三棱锥M—的体积.

AB

7.如图，在四棱锥尸-43CD中，四边形ASCD是梯形，尸。，平面ABCD,ADYBD,

AB//CD,2PF=FC,AD=4^,BC=M,NBDC=三,PD=CD.

4

(1)证明：AP//平面BDF；

(2)求三棱锥A-ZXF的体积.

8.已知四棱锥尸—ABCD,其中AD//BC,ABYAD,CD=^2,3C=2A£>=2,平面PBC_L

平面ABCD,点E是PB上一点，CEVPB.

（1）求证：CE_L平面B4B；

（2）若ACDE是等边三角形，当点A到直线PC距离最大时，求四棱锥尸-ABCD的体积.

C

D

9.如图，在底面为平行四边形的四棱锥尸-ABCD中，PA=PB=DA=DB=1,M,N分

71

别为R4,PB上的点，且PM=—,BN=—.

33

(I)求证：〃平面ABCD；

(II)求四棱锥P-ABCD体积最大时钻的长.

10.如图，在四棱锥A-BCDE中，底面3cDE为矩形，M为8中点，连接CE交

于点尸，G为AABE1的重心.

(1)证明：GFV/平面ABC；

(2)若平面ABC_1_底面2cDE,平面ACD_L底面BCDE,BC=3,CD=6,A<=4,

求四棱锥G-EWD的体积.

11.如图，丛，面钻8,四边形ABCD是边长为1的为正方形；点石在线段尸。上,

PE

----=m.

EC

(1)若PA//面£BD,求加值;

(2)若PC上面EBD,棱锥石-5CD体积取得最大值，求四棱锥尸-MCD的高.

12.如图，点A是腰长为2的等腰直角三角形O5C的底边OC的中点，A。，5c于点。,

将AOAB沿AB折起，此时点O记作点尸.

(I)当三棱锥尸-ABC的体积最大时，证明：平面ABC_L平面B4O；

(II)若二面角尸-9。的大小为120。，求三棱锥P-ABC的体积.

B

13.如图，在三棱柱ABC-A4G中，幺旦G=90。，44=4G=知=2,顶点c在底面

耳片£上的射影为AC的中点，。为AC的中点，E是线段cq上除端点以外的一点.

（1）证明：班）_L平面ACGA；

（2）若三棱锥E-CD片的体积是三棱柱A3C-A用G的体积的工，求立的值.

14.如图，已知圆O的直径AB长为2,上半圆圆弧上有一点C,NCOS=60。，点P是弧AC

上的动点，点。是下半圆弧的中点，现以AB为折线，将上、下半圆所在的平面折成直二面

（I）当AB//平面尸CD时，求尸C的长;

（II）求三棱锥P-COD最大体积.

15.如图，在圆锥PO中，AC为OO的直径，点3在AC上，OD//BC,ZCAB=~.

6

(1)证明：AB_L平面尸。£＞；

(2)若直线R4与底面所成角的大小为工，且底面圆的面积为4万，求三棱锥C-POD的体

4

积.

16.如图，在四棱锥S—MCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC,ABYBC,P,Q

是AB,8的中，点，NSPQ=60。，AB=26,BC=2,AD=1,58=&4=号，点",

N分别是即，CB的中点.

(1)求证：平面AAW//平面SCO；

(2)求三棱锥SCO的体积.

17.如图，在直三棱柱AEC-ABC中，AD=AD,E为3C'上的一点，AB=AC=BC=a,

CC'=h.

（1）若BE=EC,求证：£>E_L平面3CCF.

（2）平面BCD将棱柱49。-ABC分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为匕，

下面一个几何体的体积为匕，求L的值.

2022年高考二轮复习立体几何专题一(体积问题)解析

1.如图，在直三棱柱ABC-A3c中，AABC是边长为2的正三角形，点E,尸分别是棱

CC1,34上的点，点M是线段AC上一点，EC=2FB=2.

(1)若M为中点，证明：BM//平面AEF；

(2)若匕一BCEF=2匕一MEB，求

解：(1)证明：取AE中点G,连接GM,FG,

PC

则GW〃EC且GM=—,

2

PC

又因为BfV/EC且8尸=——，

2

所以GM//BF,S.GM=BF,

所以四边形GMBF为平行四边形，

从而BM//GF.

又平面他F,GFu平面AEF,

所以3"〃平面

(2)作AK_LBC交BC于K,则K为BC中点.

所以AK_L平面BCE,

因为AABC是边长为2的正三角形，且EC=2FB=2.

所以^A-BCEF=S梯形BFEC'm,

则VA-MEB=VE_AMB=2S^AMB,EC=—VA.BCEF=~~，

所以心.=¥•

2.已知如图1所示，等腰AABC中，AB=AC=4,BC=46,。为3C中点，现将ABD

沿折痕4)翻折至如图2所示位置，使得ZBOC=生，E、/分别为4?、AC的中点.

3

(1)证明：BC//平面DEF；

(2)求四面体3CDE的体积.

,:E、尸分别为AB、AC的中点，:.EFIIBC,

:EFu平面DEF,8CU平面ZJEF,

.•.3C//平面DEF；

(2)解：在原等腰三角形ABC中，•.•AB=AC=4,BC=，6，。为3C中点,

:.AD±DB,AD±DC,且4)=次_(2后=2,

在折叠后的三棱锥中，AD1DB,ADYDC,

XDB[yDC=D,..AD_L平面BDC,

,：DB=DC=2出,ZBDC=y,.15皿=gx2退x2Gxs呜=6x*=34,

VA_BCD=—x3~j3x2=2^/^,

E为AB中点，S.„=—S..,

ZADCrFC2A/LDBCr

11L

可得为C£>E=5%-ABC=5《-BCD=石"

3.如图，在四棱锥尸—ABCD中，DC//AB,BC±AB,E为棱AP的中点，AB=4,

PA=PD=DC=BC=2.

(I)求证：D£7/平面FBC；

(II)若平面Q4D_L平面ABCD,试求三棱锥尸-5DE的体积.

解：(I)证明：取PB的中点尸，连接EF,CF,

,.•E为9的中点，:.EFIIAB,EF=-AB,

2

又已知OC//AB,DC=-AB,

2

:.EF//DC且EF=OC,则四边形CDEF为平行四边形，

:.DE//CF,而C产u平面PBC,DE仁平面PBC,

.•.止//平面/33(?；

(II).PA=PD,取AD中点O,连接尸O,则PO_LAD,

•平面P4r)_L平面ABCD,且平面PWC平面ABCD=AD,

「.PO_L平面ABD,在底面直角梯形ABCO中，

■,■DC//AB,BCA.AB,AB=4,DC=BC=2,

可求得AD=2应，又B4=AD=2,贝！)PO=0,

又E为PA的中点，V„r—DBLDJtEL=—2%r—/A\DBLD>,

2后

-I-

4.如图，四棱锥尸-ABCD中，ABCD是正方形，P4_L平面ABC。，E,尸分别为R4,

3c的中点.

(1)证明：£F//平面PCD；

(2)已知办=帅=2,G为棱CD上的点，EFLBG,求三棱锥E—FCG的体积.

Bfc

(1)证明：如图，取PD中点“，连接即，HC,

由£,H分别为F4,2D的中点，

知EH"AD,EH=-AD,

又歹为3c的中点，故FC//AD,FC=-AD,

2

HPEH//FC,且£W=FC,四边形EFCH是平行四边形,

即EF//HC,又EF仁平面PCD,HCu平面尸CD,

二.EF//平面PCD；

(2)解：如图，连接AF.

•.,R4_L平面ABCD,BGu平面ABCD,

:.PA±BG,又EFLBG,PA^\EF=E,

Rlu平面AEF,EFu平面AEF,

，3G_L平面AEF,AFu平面A£F,

:.BG±AF,

即ZAFB+ZCBG=ZAFB+ZFAB=90°,

:.ZAFB^ZBGC,BPRtAABF=RtABCG,

又AB=BC=2BF=2,:.CG=1,

又24=2,则AE=1,且/C=l,

；.三棱锥E-FCG的体积V=工S西CGAE=-FCCGAE=~.

5.如图所示，在三棱柱ABC-A4G中，平面ACGAJL平面MC，AA.YAC,

AAl=AB=BC=2,D,2分别为AC,AG的中点，且44C=30。.

（I）在棱例上是否存在点使得RM//平面DBG?若存在，请找出点加的位置;

若不存在，请说明理由；

（II）求三棱锥C-£>8G的体积.

解：（I）存在，当点"与点A重合时RM//平面£>8C1.

证明如下：

连接RA,-.D,2分别为AC,AG的中点，

:.DGHDA,且£>C=D4,可得四边形RGD4为平行四边形,

则AA//CQ,

DA

CXDu平面DBG，i,平面DBG，

RA//平面DBQ,即DiM//平面DBCi；

(II)•平面ACGA_L平面A8C,且平面ACC]AC平面ABC=AC,又A4,_LAC,

M±平面ABC,则CG为三棱锥G-DBC的高，

在AABC中，AB=BC=2,ZBAC=30°,则ZABC=120。，

,:£＞为AC的中点,5As℃=(SAABC=gxgx2x2*母=母,

.v_v_lcxCC-L@x2-3

y

…VC-DBCi—Cx-DBC—30ABDC"J—•

即三棱锥C-DBC,的体积为£.

6.如图，已知四棱锥P—4BCD中，AB//CD,O,M分别是CD,PC的中点，"9_1底

面ABCD,SLPO^OD=DA=AB=BC.

(1)证明：上4//平面OBM；

(2)若尸0=2,求三棱锥旬的体积.

(1)证明：在四棱锥尸-ABCD中，。是CD的中点，/是PC的中点,

所以。位是ACPD的中位线，即OM//PD,

又PDu平面ZW),平面PAD,所以Q"//平面JR4Z),

因为43//CD且=。。，

2

所以四边形ABCD是平行四边形，有O3//AD,

因为ADu平面平面R4D,

所以03//平面上4D,

而0知「|08=0,所以平面〃平面R4£>,

又R4u平面R4Z),所以PA//平面08M.

(2)解：连接M4,AC,如图所示：

所以AABC的面积为5MBe=gx2x2xsin60。=后，

又PO=2,

所以三棱锥P—/WC的体积为吃ABC=-XSMBCX2=-XV3X2=^,

1_r\DLij/TuD^

三棱锥M-ABC的体积为乙_.=+SMBCx1=1，

所以三棱锥M-PAB的体积为VM_PAB=VP_ABC_仆「半弋=*

7.如图，在四棱锥尸-/WCD中，四边形ABCO是梯形，PD_L平面ABC。，ADLBD,

AB//CD,2PF=FC,AD=亚,BC=M,NBDC二,PD=CD.

4

(1)证明：AP//平面BDF；

(2)求三棱锥4-AC尸的体积.

(1)证明：•.•四边形ABCD是梯形且NBDC=工,

4

又AB//CD,ZDBA=ZBDC=-,

又ADLBD,：.NDAB=可得AABD是等腰直角三角形.

4

t.tAD=A/2,BD=A/2,AB=2,

如图，连接AC交班)于点E,连接£F.

•••BD=也,BC=M,NBDCJ,

4

.•.在ABCD中，由余弦定理得3c2=9+C£>2-2BD-CD-cosZBDC,

解得CD=4,贝l|^£:£<?=至:8=1:2,^2AE=EC,

又点尸在棱PC上，且2尸尸=爪，:.AP//EF,

又APC平面5DF,£Fu平面BDF,

故AP//平面BDF；

(2)解：由(1)知BD=啦,BC=M,NBDC=三,CD=PD=4,

4

在AACZ)中，ADLBD,NBDC=?,

故ZADC=^,

4

11L

则5M8=-AZ)CZ)sinZAZ)C=-x^x4x^-=2,

即%DC"/ACD=--S^ACD--PD=-X2X-X4=--

A-L/l^rr-3ZA/ICZJ3339

8.己知四棱锥尸—ABCD,其中A。/ABC,ABLAD,CD=0,BC=2AT>=2,平面PBC_L

平面ABCD,点E是依上一点，CEVPB.

(1)求证：CE_L平面E4B；

(2)若ACZ史是等边三角形，当点A到直线尸C距离最大时，求四棱锥P-的体积.

c

(1)证明：因为AD//BC,ABLAD,则AB_L3C,

因为平面PBC_L平面ABCD,且平面PBCC平面ABCDuBC,Afiu平面ABCD,

所以?W_L平面尸8C,又CEu平面PBC,

所以AB_LCE,又CELPB,PB^AB=B,PB,A8u平面PAB,

则CE_L平面R4B；

(2)解：因为点A到直线PC的距离为』=4?411乙4(?尸，

当NACP=90。时，点A到直线PC的距离最大，此时尸C_LAC,

由(1)可知，M_L平面PBC,又尸Cu平面尸3C,

所以AB_LPC,XABQAC=A,AB,ACu平面ABCD,

所以PC_L平面ABCD,

又ACDE为等边三角形，所以C£>=CE=应，

在RtABCE中，BC=2,CE=0,则8E=应，

故NCBE=45°,所以尸C=2,

因为S梯形ABCD=5，

故^P-ABCD=§,S梯形ABCD.PC=1，

所以四棱锥P-45CD的体积为1.

9.如图，在底面为平行四边形的四棱锥尸-ABCD中，PA=PB=DA=DB=1,M,N分

71

别为B4,PB上的点，且PM=—,BN=—.

33

(I)求证：MN〃平面ABCD；

(II)求四棱锥尸-ABCD体积最大时的的长.

p

r21PMPN

(7)证明：­.PA=PB=\,PM=—，BN=-,—=—,:.MN/!AB.

33MANB

又•.•MNU平面ABCD,ABcz平面ABCD,〃平面AfiCD.

(〃)解：•.,B4=PB=ZM=DB,.•.AZMB和AR4B为底边相同的两个等腰三角形.

取AB的中点为E,连接PE,DE,则DE±AB,且2后「]£>£=石.；.46_1平

面尸ED,

由题得当平面平面时，三棱锥的体积最大，

即四棱锥尸”CD的体积最大•...51四十平行四边…，■■忆棱锥…=1%棱…8，

令AB=2x,贝！J0<x<l,PE=DE=y/l-x2,

/棱锥P-ABD=1X^X2XX^1-X2X^~X2.

人11々

令/(x)=—x——x3，0<x<l,

33

则广(©[--

令八x)=0，得x=,

当一。,当时，…)>0,"⑴在Q*上单调递增，

当xe(/,l)时，r(x)<0；"(x)在耳,1)上单调递减，

.•.当天=3时，/(x)s=』xYi一，x(1)3=空，，四棱锥尸—ABCD体积的最大值为

4右

V

此时45=也.

3

10.如图，在四棱锥A-3CDE1中，底面3a史为矩形，M为CD中点，连接90,CE交

于点尸，G为AABE的重心.

(1)证明：GFV/平面ABC；

(2)若平面ABCJ_底面2CDE,平面ACD_L底面BCDE,BC=3,CD=6,AC=4,

求四棱锥G-EWD的体积.

解：（1）证明：延长EG,交AB于点N,连接OV

•.•G是AABE的重心，；.N是AB的中点，且空=2,

EFEG

:.GF//NC,

FC~GN

又GFU平面A5C,NCu平面A5C,

.•4///平面46。.

(2)•.•平面ABC_L平面3CDE,平面ABCC平面BCDE=BC,

DCLBC,DCu平面BCDE,

.-.DC±^ABC,

•.•ACu平面ABC,:.DC±AC,同理，BC±AC,

■：BC^\DC=C,BC,£>Cu平面BCDE,r.AC_L平面3CDE,

N为AB的中点，则N到平面BCDE的距离d=1AC=2,

2

又G为MBE的重心，，点G到平面BCDE的距离/z满足出=空=2

dEN3

解得//J.

3

•.•四边形EKWD的面积5一^xMCx生=9-。=",

22322

四棱锥G-EFMD的体积V=3x"xd=W.

3233

11.如图，R4上面ABCD,四边形ABCD是边长为1的为正方形；点E在线段PC上,

PE

---=m.

EC

(1)若PA//面EBD，求m值;

(2)若PC上面EBD,棱锥E-BCD体积取得最大值，求四棱锥尸-ABCD的高.

•.•R4u面R4C,面上4CC面=PA//面EBD,

:.PA//EO

EOCECO1

,:.m=\•

PACPCA2

(2)^ACQBD=O.AB4c中，作EH//R4,交AC于H.

•・・以，面•8,「.即，面ABCD,£W就是石到面BCD的距离,

因为E-3CD的底面ABCD不变，所以求四棱锥尸-ABCD的高，即求E”最大时上4的值.

•.•尸。_1面£»£>,OEu面EBD,.\OE±PC.

故E在以OC为直径的半圆上,

当£7/取最大值时，£7/为圆的半径，”为圆心.

；|OC|

,,,PACH

此n时一=—=4,PA=4EH^4x-\OC\=yf2.

EHCA2|OC|2

12.如图，点A是腰长为2的等腰直角三角形OBC的底边OC的中点，于点。,

将钻沿折起，此时点O记作点P.

(I)当三棱锥尸-ABC的体积最大时，证明：平面ABC_L平面皿＞；

(II)若二面角P-ABC的大小为120。，求三棱锥P-ABC的体积.

B

（I）证明：如图，要使三棱锥P-ABC的体积最大，则平面R45_L平面ABC,所以E4J_

平面ABC.

又BCu平面ABC,所以3C_LF4.又AD_L3C,ADp\PA=A,ADu平面PAD,F4u

平面E4D,

所以8C_L平面Q4£>.又BCu平面ABC,

所以平面ABCJ_平面24。.

（II）解：如图，由题意知R4_LAB,AB±AC,PA^AC=A,而二面角P—AB—C的大

小为120。，所以NR4C=120。.

根据折叠过程可程3C=PB=2,所以PA=AC=AB=75,

所以三棱锥尸-TWC的高/7=尸公吊60。=后x^=逅，

22

所以三棱锥尸一MC的体积丫='5匈©/=\,45.4。.无=2><应*&*好=逅.

13.如图，在三棱柱中，幺耳G=90。，4旦=4弓=朋=2,顶点C在底面

4月£上的射影为4G的中点，。为AC的中点，E是线段CC］上除端点以外的一点.

（1）证明：班），平面ACC、；

（2）若三棱锥E-CD4的体积是三棱柱ABC-ABG的体积的上1，求三CF的值.

（1）证明：设4G的中点为。，连接。4，oc,

•.•点c在底面4百。|上的射影为o,CO_L平面,

又「COu平面AGG4,平面AGC4_L平面A81G，

•.,A4=8]G，幺4£=90。，平面AGO4c平面Aqc=AC],

.•.4O_L平面AGC4,连接。o,

•••DO!IBBX,DO=BBX,四边形BBQD为平行四边形，

得BD//BQ,

BDm^QCA；

(2)解：由(1)得用。_L平面AGC4,OCI=OC=CD=BQ=6,

4cle=45°,ZACQ=135°,

令CE=x,

11/—1

「•SgcE=5DCCEsinZACG=—•v2-x-sinl35o=—x,

=x

•，-VEWDBI~VB「CDE=]SDCE•BQ~^~'

又：VABCAB.C=SAB,c-CO=-X2X2XV2=2A/2,

由已知可得也尤=」x2及，解得x=l.

612

「.E为CG的中点，即r三F=▲1.

CjC2

14.如图，已知圆O的直径AB长为2,上半圆圆弧上有一点C,NCOB=60。，点P是弧AC

上的动点，点。是下半圆弧的中点，现以AB为折线，将上、下半圆所在的平面折成直二面

角，连接PO,PD,CD.

c

(I)当A5//平面PCD时，求尸C的长；

(II)求三棱锥尸-COD最大体积.

解：(I):AB//平面PCD,ABu平面OCP,平面OCPC平面PCD=PC,

由直线与平面平行的性质可得AB//PC,

又NCO3=60。，可得NOCP=60。，

而OC=OP,;.AOCP为正三角形，

得尸C=l;

(II)•.•二面角为直二面角，且平面ACBC平面ADB=A5,

DOVAB,OOu平面ADB,

DO_L平面COP,而VP_COD=VD_COP,

.•.当COLO尸时，三棱锥尸-COD的体积最大，

则Vp-coo=VDCOP={X^-XOPXOCXOD=^.

32o

15.如图，在圆锥PO中，AC为OO的直径，点3在AC上，OD//BC,ZCAB=-.

6

(1)证明：AB_L平面尸0D；

(2)若直线R4与底面所成角的大小为工，且底面圆的面积为4万，求三棱锥。-尸8的体

积.

(1)证明：如图，•.•尸O_L圆锥底面，.•.PO_LAS,

•.,AC为O。的直径，点8在AC上，:.AB±BC,

y.OD//BC,:.AB±OD,

PO^OD=O,PO、OZ)u平面尸OZ),

，AB_L平面尸8；

(2)解：•.•底面圆的面积为4万，,AC=4,

在RtAABC中，■.-ZCAB=~,:.BC=2,贝i|AB=依"=2拒,

6

.•.%=三2*2庠2A

,.•O为AC的中点，。为的中点，

又直线P4与底面所成角的大小为工，；.PO=a4=2,

16.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC,ABLBC,P,Q

是AB,CD的中，点，ZSPQ=60°,AB=26,BC=2,AD=1,SB=SA=^~,

N分别是SB,CB的中点.

(1)求证：平面AMZV//平面SCO；

(2)求三棱锥3-SCO的体积.

(1)证明：-：M,N分别是SB,CB的中点，:.MN//SC,MN=-S