2025高考数学一轮复习-1.4-基本不等式及其应用-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-1.4-基本不等式及其应用-专项训练一、单项选择题1．已知4a2＋b2＝6，则ab的最大值为()A．34 B．3C．52 2．已知0<x<2，则y＝2x4−xA．2 B．4C．5 D．63．若正数x，y满足x＋6y＝3，则3yxA．4 B．98C．23 D．24．下列函数中，函数的最小值为2的是()A．y＝x＋2B．y＝xC．y＝ex＋e－xD．y＝log3x＋logx3(0<x<1)5．)现设计一个两邻边长度分别为a，b的矩形广告牌，其面积为S，且S＝a－b＋5，则当该广告牌的周长l最小时，S＝()A．3 B．4C．5 D．66．原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是()A．第一种方案更划算B．第二种方案更划算C．两种方案一样D．无法确定二、多项选择题7．下列说法正确的有()A．若x<12，则2x＋1B．若x>－2，则x+6x+2C．若x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最大值是2D．若x<1，则x28．(2024·河南信阳模拟)已知正实数x，y满足2x＋y＝3，则()A．xy≤98 B．4x＋2y≥C．x2＋y24≤9三、填空题9．已知a＞0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为________；a＋b的取值范围是________．10．已知正实数x，y满足x＋y＝1，则x2＋y2的最小值为________；若1x+4y四、解答题11．某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1440cm2．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm.当直角梯形的高为多少时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)?12．甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本是v24(速度v的单位为km/h)元，固定成本为(1)将全程运输成本y(单位：元)表示为速度v(单位：km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？13．某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3m，底面为24m2，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的背面靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左、右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左、右两面墙的长度均为xm(3≤x≤6)．(1)当左、右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为1800a1+xx元(a>0)，若无论左、右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求参考答案1．B[由题意得，6＝4a2＋b2＝(2a)2＋b2≥2·2a·b，即ab≤32当且仅当2a＝b，即a＝32，b＝3或a＝－32，b＝－所以ab的最大值为322．B[因为0<x<2，所以y＝2x4−x2＝2x24−当且仅当x2＝4－x2时取等号，因为0<x<2，解得x＝2.故选B.]3．A[∵x，y为正数，x＋6y＝3，∴3yx+1y＝3yx+x+6y3y＝4．C[当x＜0时，选项A不符合；当0＜x＜1时，log3x＜0，logx3＜0，选项D不符合；因为y＝x2+3x2+2＝1x2+2+x2+2＞2，故选项B不符合．因为ex＞0，e－x＞0，所以y5．A[由题意知a>0，b>0，且ab＝a－b＋5，所以b＝a+5a+1，则该广告牌的周长l＝2(a＋b)＝2a+a+5a+1＝2a+1+4a+故选A.]6．B[设小李这两次加油的油价分别为x元/升、y元/升(x≠y)，则方案一：两次加油平均价格为40x+40y80＝x方案二：两次加油平均价格为400200x+200y＝2xy7．ABD[对于A，因为x<12，所以2x－1<0，1－2x>0，所以2x＋12x−1＝(2x－1)＋12x−1＋1＝－1−2x+11−2x＋1≤－21−2x·对于B，因为x>－2，所以x＋2>0，所以x+6x+2＝x+2+4x+2对于C，因为x>0，y>0，所以x·2y≤x+2y22，即2xy≤x+2y24，因为x＋2y＋2xy＝8，所以2xy＝8－(x＋2y)，所以8－(x＋2y)≤x+2y24，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≤－8(舍去)或x对于D，x2−x+9x−1＝x−12+x−1+9x−1＝－1−x8．ABD[因为2x＋y＝3，且x，y均为正实数，所以由基本不等式得2x＋y＝3≥22xy，即xy≤98，4x＋2y≥24x×2y＝222x+由不等式a2+b22≥a+b2，得4x2+y22≥2x+y因为2x＋y＝3，所以xy+1x＝xy+13x(2x＋y)＝23+9．[9，＋∞)[6，＋∞)[因为a＞0，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2ab，于是ab－2ab－3≥0，解得ab≤－1(舍去)或ab≥3，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的取值范围是[9，＋∞)．因为a＞0，b>0，所以a＋b＋3＝ab≤a+b22，变形，得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号，即a＋10．12(－∞，9][因为x＋y＝1，所以xy≤x+y所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－14×2＝12，当且仅当x＝y＝12时取等号，即x2＋y2的最小值若a≤1x+4y恒成立，则因为1x+4y＝1x+4y(x＋y)＝5＋yx+4xy≥5＋2yx·4xy＝9，当且仅当2故实数a的取值范围是(－∞，9].]11．解：设直角梯形的高为xcm，∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1440cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm，∴海报宽AD＝(x＋4)cm，海报长DC＝1440x故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)1440x+8＝8x＋5760x＋1472≥2当且仅当8x＝5760x，即x＝125∴当直角梯形的高为125cm时，用纸量最少．12．解：(1)由题意得，可变成本为14v2元，固定成本为a元，所用时间为1000v小时，所以y＝1000v(2)y＝100014v+av≥1000×2a4＝1000a，当14v＝av所以当0<a≤1600时，货车以2akm/h的速度行驶，全程运输成本最小；当a＞1600时，货车以80km/h的速度行驶，全程运输成本最小．13．解：(1)设甲工程队的总报价为y元，则y＝3300×2x+400×24x＋14400＝1800x+16x＋14400≥1800×2x故当左、右两侧墙的长度为4m时，甲工程队的报价最低为28800元．(2)由题