2025高考数学一轮复习-4.7-解三角形的应用-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-4.7-解三角形的应用-专项训练基础巩固练1.已知A,B两地间的距离为10km,B,C两地间的距离为20km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为()A.10km B.103kmC.105km D.107km2.设M,N为某海边相邻的两座山峰,到海平面的距离分别为100米,50米.现欲在M,N之间架设高压电网,须计算M,N之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点P,利用测角仪从P点测得M,N点的仰角分别为30°,45°,并从P点观测到M,N点的视角为45°,则M,N之间的距离为()A.5010米 B.5014米C.5022米 D.5026米3.嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内,历经1400多年风雨侵蚀,仍巍然屹立,是中国现存最早的砖塔.如图,为测量塔的总高度AB,选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=30°,∠BDC=45°,CD=32m,在C点测得塔顶A的仰角为60°,则塔的总高度为()A.(96-326)m B.(96-323)mC.(92-322)m D.(92-323)m第3题图第4题图4.(多选题)如图所示,为了测量A,B两处岛屿间的距离,小明在D处观测到A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶30海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则下列结论正确的有()A.∠CAD=60°B.A,D之间的距离为152海里C.A,B两处岛屿间的距离为156海里D.B,D之间的距离为303海里5.(多选题)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°,距离为126nmile;在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°,距离为83nmile.货轮由A处向正北方向航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°的方向上,则下列说法正确的有()A.A处与D处之间的距离是24nmileB.灯塔C与D处之间的距离是83nmileC.灯塔C在D处的西偏南60°D.D在灯塔B的北偏西30°6.已知甲船位于小岛A的南偏西30°的B处,乙船位于小岛A处,AB=20千米,甲船沿BA的方向以每小时6千米的速度行驶,同时乙船以每小时8千米的速度沿正东方向匀速行驶,当甲、乙两船相距最近时,他们行驶的时间为小时.

7.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是92m,则河流的宽度BC约等于m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,3≈1.73)

8.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=50m,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,求B,D两点间的距离及A,B两点间的距离.综合提升练9.如图,一辆汽车在一条水平的公路上沿正西方向匀速行驶,在公路北侧远处一座高900米的山顶D测得点A在东偏南30°方向上,过一分钟后测得点B在山顶D的东偏南60°方向上,俯角为45°,则该车的行驶速度为()A.15米/秒 B.153米/秒C.20米/秒 D.203米/秒10.“寸影千里”法是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法,其具体方法是在同一天(如夏至)的正午,于两地分别竖起同高的标杆,然后测量标杆的影长,并根据“日影差一寸,实地相距千里”的原则推算两地距离.如图,某人在夏至的正午分别在同一水平面上的A,B两地竖起高度均为a寸的标杆AE与BF,AC与BD分别为标杆AE与BF在地面的影长,再按影长AC与BD的差结合“寸影千里”来推算A,B两地的距离.记∠CEA=α,∠BDF=ββ<π2-α,则按照“寸影千里”的原则,AA.1B.1C.1D.111.说起延安革命纪念地景区,可谓是家喻户晓,它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山,它可是圣地延安的标志,也是中国革命的摇篮,见证了中国革命的进程,在中国老百姓的心中具有重要地位.如图,宝塔山的坡度比为7∶3(坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比),在山坡A处测得∠CAD=15°,从A处沿山坡往上前进66m到达B处,在山坡B处测得∠CBD=30°,则宝塔CD的高为()A.44m B.42m C.48m D.46m12.(多选题)某同学为测量教学楼的高度,先在地面选择一点C,测量出对教学楼AB的仰角∠ACB=α,再分别执行如下四种测量方案,则利用测量数据可表示出教学楼高度的方案有()方案A方案B,C方案DA.从点C向教学楼前进a米到达点D,测量出角∠ADB=βB.在地面上另选点D,测量出∠ACD=β,∠ADC=γ,CD=a米C.在地面上另选点D,测量出∠BDC=β,CD=a米D.从过点C的直线上(不过点B)另选点D,E,测量出CD=2DE=a米,∠ADB=β,∠AEB=γ13.如图,一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A,得仰角分别为α和90°-α.后退lm至点P2处再观测塔顶B,仰角变为原来的一半,设塔CB和旗杆BA都垂直于地面,且C,P1,P2三点在同一条水平线上,则塔BC的高为m;旗杆BA的高为m(用含有l和α的式子表示).

14.某公园要建造如图所示的绿地OABC,OA,OC为互相垂直的墙体,已有材料可建成的围栏AB与BC的总长度为12米,且∠BAO=∠BCO.设∠BAO=α,0<α<π2(1)当AB=3,α=5π12时,求(2)当AB=6时,求绿地OABC面积S的最大值及此时α的值.创新应用练15.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=()A.表高×表距表目距的差+表高 B.C.表高×表距表目距的差+表距 D.16.汽车最小转弯半径是指当转向盘转到极限位置,汽车以最低稳定车速转向行驶时,外侧转向轮的中心平面在支承平面上滚过的轨迹圆半径,下图中的BC即是.已知某车在低速前进时,图中A处的轮胎行进方向与AC垂直,B处的轮胎前进方向与BC垂直,轴距AB为2.55米,方向盘转到极限时,轮子方向偏了30°,则该车的最小转弯半径BC为米.

17.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)证明:BD=b.(2)若AD=2DC,求cos∠ABC的值.参考答案1.D2.A3.B4.BC5.ABC6.101378.解在△BCD中,∠BCD=∠ACB+∠DCA=135°,则∠CBD=180°-15°-135°=30°,由正弦定理得CDsin所以BD=CD·sin∠BCDsin在△ACD中,∠ADC=∠ADB+∠BDC=150°,则∠CAD=180°-150°-15°=15°,所以AD=CD=50m.在△ABD中,AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=2500+5000-2×50×502×-22所以AB=505m.9.A10.C11.A12.ABD13.lsinαl14.解(1)如图,连接AC.在△ABC中,AB=3,BC=9,∠ABC=2π-5π12−5π12−π2=2π3,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-因此AC的长为313米.(2)由题意知,BC=AB=6,∠ACB=∠CAB,∠ABC=2π-2α-π2=3π2-2α,所以∠OAC=∠OCA=π4.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=72-72cos3π2-2α=72+72sin2α,所以S△AOC=14AC2=18+18sin2α,S△ABC=12×6×6×sin3π2-2α=-18cos2α,所以S=S△ABC+S△AOC=-18cos2α+18+18sin2α=182·sin2α-π4+18,0<α<π2.当2α-π4=π2,即α=15.A16.5.117.(1)证明在△ABC中,由正弦定理,得BD·b=ac.又b2=ac,所以BD·b=b2,即BD=b.(2)解因为AD=2DC,所以AD=23b,DC=13在△ABD中,由余弦定理,得cos∠ADB=DA在△BCD中,由余弦定理,得cos∠BDC=D因为∠ADB+∠BDC=π,所以23b即113b2=2a2+c2又b2=ac,所以113ac=2a2+c