2025高考数学一轮复习-7.4-直线、平面垂直的判定与性质-专项训练【含解析】

2025高考数学一轮复习-7.4-直线、平面垂直的判定与性质-专项训练【原卷版】1．如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是()A．①② B．②④C．①③ D．②③2．如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上 B．直线BC上C．直线AC上 D．△ABC内部3．已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为eq\f(\r(2),6)πr3时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(2),2)4．在三棱锥P­ABC中，已知PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，∠ABC＝eq\f(π,2)．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()A．4π B．10πC．12π D．48π5．(多选)已知α，β是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是()A．m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βB．m∥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥βC．m⊥α，n⊥β，且m∥n，则α∥βD．m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β6．(多选)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AC与EF交于点G，现沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有()A．AG⊥△EFH所在平面 B．AH⊥△EFH所在平面C．EF⊥△AGH所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面7．已知平面α，β和直线m，给出以下条件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m⊂α；(4)α⊥β；(5)α∥β，当条件________成立时，有m∥β；当条件________成立时，有m⊥β．(填所选条件的序号)8．已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为eq\r(3)，那么P到平面ABC的距离为________．9．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD．10．(多选)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝eq\f(\r(2),2)，则下列结论中正确的有()A．当E点运动时，A1C⊥AE总成立B．当E向D1运动时，二面角A­EF­B逐渐变小C．二面角E­AB­C的最小值为45°D．三棱锥A­BEF的体积为定值11．图①是建筑工地上的塔吊，图②是根据图①绘制的塔吊简易直观图，点A，B，C在同一水平面内．塔身PO⊥平面ABC，直线AO与BC的交点E是BC的中点，起重小车挂在线段AO上的D点，AB＝AC，DO＝6m．若PO＝2m，PB＝3m，△ABC的面积为10m2，根据图中标注的数据，忽略△ABC自重对塔吊平衡的影响，在塔吊保持平衡的条件下可得点A，P之间的距离为(0．5OD＝1．5OE)()A．2eq\r(17)m B．6eq\r(2)mC．8m D．9m12．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可)．13．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a＝________．14．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝eq\r(3)，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝eq\f(1,4)PB．(1)证明：MN∥平面PDC；(2)在线段BC上是否存在一点Q，使得平面MNQ⊥平面PAD？若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由．2025高考数学一轮复习-7.4-直线、平面垂直的判定与性质-专项训练【解析版】1．如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是()A．①② B．②④C．①③ D．②③解析：B对于①，易证AB与CE所成角为45°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于②，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，则AB⊥平面CDE；对于③，易证AB与CE所成角为60°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于④，易证ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE．故选B．2．如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上 B．直线BC上C．直线AC上 D．△ABC内部解析：A连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1．∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC．∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．3．已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为eq\f(\r(2),6)πr3时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(2),2)解析：A设圆锥的高为h，则由题意可得，V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(\r(2),6)πr3，解得eq\f(h,r)＝eq\f(\r(2),2)，所以母线与底面所成角的正切值为eq\f(\r(2),2)，由同角三角函数关系可得，母线与底面所成角的正弦值为eq\f(\r(3),3)．故选A．4．在三棱锥P­ABC中，已知PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，∠ABC＝eq\f(π,2)．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()A．4π B．10πC．12π D．48π解析：C如图，取边AB的中点M，边PC的中点O，由于∠ABC＝eq\f(π,2)，所以点M为△ABC外接圆的圆心，连接OM，OA，则OM∥PA，又因为PA⊥平面ABC，所以OM⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，BM⊂平面ABC，所以OM⊥AC，OM⊥BM，又因为BM＝MA＝MC，所以OB＝OA＝OC＝OP，则点O为外接球的球心，又因为OM＝eq\f(1,2)PA＝1，MA＝eq\f(1,2)CA＝eq\f(1,2)eq\r(BC2＋AB2)＝eq\r(2)，所以球半径为eq\r(OM2＋AM2)＝eq\r(3)，所以球表面积为4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)))2＝12π，故选C．5．(多选)已知α，β是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是()A．m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βB．m∥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥βC．m⊥α，n⊥β，且m∥n，则α∥βD．m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β解析：CDA选项，若m∥α，n∥β，且m∥n，则α，β可能相交或平行，故A错误；B选项，若m∥α，n∥β，且m⊥n，则α，β可能相交，也可能平行，故B错误；C选项，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊥β，则α∥β，故C正确；D选项，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，又n⊥β，根据面面垂直的判定定理可得α⊥β，故D正确．故选C、D．6．(多选)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AC与EF交于点G，现沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有()A．AG⊥△EFH所在平面 B．AH⊥△EFH所在平面C．EF⊥△AGH所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面解析：BC根据折叠前、后得到AH⊥HE，AH⊥HF不变，根据线面垂直的判定定理，可得AH⊥平面EFH，所以B正确；过A只有一条直线与平面EFH垂直，所以A不正确；因为AG⊥EF，EF⊥AH，由线面垂直的判定定理，可得EF⊥平面AGH，所以C正确；因为HG与AG不垂直，所以HG与平面AEF不垂直，所以D不正确．故选B、C．7．已知平面α，β和直线m，给出以下条件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m⊂α；(4)α⊥β；(5)α∥β，当条件________成立时，有m∥β；当条件________成立时，有m⊥β．(填所选条件的序号)解析：根据面面平行的特征可得，若m⊂α，α∥β，则m∥β；根据线面垂直以及面面平行的特征可得，若m⊥α，α∥β，则m⊥β．答案：(3)(5)(2)(5)8．已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为eq\r(3)，那么P到平面ABC的距离为________．解析：如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接OC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC．因为PE＝PF＝eq\r(3)，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°．在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝eq\r(3)，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝eq\r(PE2－OE2)＝eq\r(\r(3)2－12)＝eq\r(2)．答案：eq\r(2)9．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD．证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD．因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC．(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，因为PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD．又因为PA⊥PD，AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PAB．因为PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD．(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG．因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝eq\f(1,2)BC．因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC．所以DE∥FG，DE＝FG．所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG．又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD．10．(多选)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝eq\f(\r(2),2)，则下列结论中正确的有()A．当E点运动时，A1C⊥AE总成立B．当E向D1运动时，二面角A­EF­B逐渐变小C．二面角E­AB­C的最小值为45°D．三棱锥A­BEF的体积为定值解析：ACD对于A，因为在正方体中可证其体对角线A1C⊥平面AB1D1，而AE⊂平面AB1D1．所以A1C⊥AE恒成立，A正确；对于B，平面EFB即平面BDD1B1，而平面EFA即平面AB1D1，所以当E向D1运动时，二面角A­EF­B的大小不变，B错误；对于C，当点E从B1D1的中点向点D1运动时，平面ABE逐渐向底面ABCD靠拢，这个过程中，二面角E­AB­C越来越小，所以二面角E­AB­C的最小值为∠D1AD＝45°，C正确；对于D，因为S△BEF＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，点A到平面BDD1B1的距离为eq\f(\r(2),2)，所以体积为eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,12)，即体积为定值，D正确．故选A、C、D．11．图①是建筑工地上的塔吊，图②是根据图①绘制的塔吊简易直观图，点A，B，C在同一水平面内．塔身PO⊥平面ABC，直线AO与BC的交点E是BC的中点，起重小车挂在线段AO上的D点，AB＝AC，DO＝6m．若PO＝2m，PB＝3m，△ABC的面积为10m2，根据图中标注的数据，忽略△ABC自重对塔吊平衡的影响，在塔吊保持平衡的条件下可得点A，P之间的距离为(0．5OD＝1．5OE)()A．2eq\r(17)m B．6eq\r(2)mC．8m D．9m解析：A根据条件得，OE＝eq\f(0.5×DO,1.5)＝eq\f(0.5×6,1.5)＝2m．∵PO⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，∴PO⊥AE，又AB＝AC，E是BC中点，∴AE⊥BC，PE⊥BC．∵PO＝2m，∴PE＝2eq\r(2)m，∵PB＝3m，∴BE＝1m．由于△ABC的面积为10m2，∴eq\f(1,2)BC·AE＝10，解得AE＝10m，即AO＝8m，即AP＝2eq\r(17)m．故选A．12．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可)．解析：如图，连接AC，BD，则AC⊥BD，因为PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC．所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD．PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD．答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)13．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a＝________．解析：如图，连接AQ，取AD的中点O，连接OQ．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DQ，又PQ⊥DQ，∴DQ⊥平面PAQ，所以DQ⊥AQ．∴点Q在以线段AD的中点O为圆心，AD为直径的圆上，又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，∴BC与圆O相切(否则相交就有两点满足垂直，矛盾)，∴OQ⊥BC，∵AD∥BC，∴OQ＝AB＝1，∴BC＝AD＝2，即a＝2．答案：214．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝eq\r(3)，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，点M是