2023-2024学年湖南省益阳市安化县高二下学期7月期末考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖南省益阳市安化县高二下学期7月期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合P=−1,0,1，Q=x∈R−1≤x<1，则P∩Q=A.{1} B.{0,1} C.{−1,0} D.{−1,0,1}2.已知复数z满足(1+i)z=2+4i，则复数z等于(

)A.1 B.2 C.3 D.3.已知sinθ=13，则sinA.79 B.−79 C.14.已知函数y=log2(x−a)过定点P(5,0)，则抛物线y=axA.x=−1 B.y=−1 C.x=−116 5.已知等比数列an中，若an=13A.

181−13n B.186.已知(1+2x)(2−x)6=a0+A.170183 B.−170183 C.1217.若函数fx=2ax−lnx在1,3上存在极值点，则实数aA.16,12 B.16,8.关于函数f(x)=x2lnx−aA.f(x)定义域为(0,+∞) B.f(x)在e2a−12,+∞上单调递增

C.当a≠12时，f(x)二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知数列an前n项和为Sn，Sn=2A.数列an为等差数列

B.数列Snn的前100项和为10000

C.若a2a3=a1a10.湖南张家界是5A级景区，有许多好看的景点．李先生和张先生预选该景区的玻璃栈道和凤凰古城游玩．李先生和张先生第一天去玻璃栈道和凤凰古城游玩的概率分别为0.3和0.7，如果他们第一天去玻璃栈道，那么第二天去玻璃栈道的概率为0.7；如果第一天去凤凰古城，那么第二天去玻璃栈道的概率为0.6.设A1=“第一天去玻璃栈道”；A2=“第二天去玻璃栈道”；B1=A.PA2A1=0.7 B.PA11.已知函数f(x)=(x−2)ex下列说法正确的是(

)A.f(x)的单调减区间是(−∞,2)

B.x=1是函数f(x)的一个极值点

C.f(x)只有一个零点

D.f(x)≥a对任意的x∈R恒成立时，a取值范围为(−∞,−e]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(−1,2)，b=(t,1)，若a//b，则实数t=13.若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如208,136都是“十全十美数”，则一共有

个“十全十美数”．14.若函数f(x)=xex−(m−1)e2x存在唯一极值点，则实数m四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在▵ABC中，3(1)求角A；(2)D为边BC的中点，AD=3，求▵ABC16.(本小题12分)树人中学为了落实教育部颁布的“五项管理”，举办高二学生跳绳比赛，学校根据男女生比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在160分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生、女生成绩频数分布表：男生成绩：分数段100,120120,140140,160160,180180,200频数812205525女生成绩：分数段80,100100,120120,140140,160160,180180,200频数5151030355(1)①根据上述数据完成下列2×2列联表：优秀非优秀合计男生女生合计②依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关？参考公式：χ2=n(ad−bcα0.050.0250.0100.0050.001x3.8415.0246.6357.87010.828(2)以样本中的频率作为概率，从高二跳绳比赛成绩优秀的学生中随机抽取3人参加全市中学生跳绳比赛.设3人中女生人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．17.(本小题12分)已知函数f(x)=lnx，(1)F(x)=f(x)+ax，求(2)若方程f(x)=g(x)有两个解，求k的取值范围；18.(本小题12分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(1)求椭圆E的方程；(2)直线l:y=kx+m与椭圆E相交于P，Q两点，且4k2+3=4m2，求证：19.(本小题12分)立德中学高中数学创新小组开展一项数学实验(1)给出两块相同的边长都为8cm的正三角形薄铁片(如图1、图2)，其中图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥；图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形(阴影部分)每个四边形中有且只有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)形容器．(1)试求图1剪拼的正三棱锥体积的大小；(2)设正三棱柱底面边长为x，将正三棱柱形容器的容积V表示为关于x的函数，并标明其定义域，并求其最值．(3)如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3)，要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图3中，并作简要说明．

参考答案1.C

2.D

3.A

4.D

5.B

6.B

7.B

8.C

9.AB

10.ACD

11.BCD

12.−113.54

14.−∞,1

15.解：(1)根据题意，3则sinA−π6=1则A−π6=(2)因为D为边BC的中点，所以AD=则AD2即3=1所以bc≤4，当且仅当b=c=2时，等号成立，所以S△ABC所以▵ABC面积的最大值为3

16.解：(1)①依题意可得2×2列联表：优秀非优秀合计男生8040120女生4060100合计120100220②零假设H0由列联表可得χ2依据小概率值α=0.001的独立性检验，可以认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关，该结论犯错误的概率不超过0.001．(2)高二跳绳比赛成绩优秀的学生中女生的概率为40120则X∼B3,13，所以X的可能取值为0、1、2则PX=0=PX=2=C所以X的分布列为：X0123P8421所以EX

17.解：(1)由题意，函数定义域为{x|x>0}，F(x)=lnx+a当a≤0时，F′(x)>0恒成立，即F(x)在(0,+∞)单调递增；当a>0时，令F′(x)>0，则x>a；令F′(x)<0，则0<x<a；所以F(x)在(0,a)单调递减，在(a,+∞)单调递增．综上所述，当a≤0时，F(x)

的

单调递增区间为(0,+∞)；当a>0时，F(x)的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(a,+∞)．(2)方程f(x)=g(x)有两个解，即lnx=kx⇒k=令ℎ(x)=lnxx令ℎ′(x)>0，则0<x<e，ℎ(x)在(0,e)单调递增；令ℎ′(x)<0，则x>e，ℎ(x)在(e,+∞)单调递减；所以函数ℎ(x)=lnxx如图所示，所以k的取值范围为0<k<1

18.解：(1)根据题意，c=1．M在椭圆E上下顶点，△MF此时S▵M所以a2=b2+(2)如图所示，设Px联立直线l与椭圆E的方程y=kx+m,x24Δ=64kx1+x又PQ===因为点O到直线PQ的距离d=|m|1+所以S▵PQO综上，△OPQ的面积为定值32

19.解：(1)解：正三棱锥底面是边长为4的正三角形，其面积为4如图所示：在正三棱锥中，

∴高DO=∴V=(2)解：结合平面图形数据及三棱柱直观图，求得：三棱柱的高ℎ=33则三棱柱容器的容积V=Sℎ=即所求函数关系式为V=−xV′=−3令V′=0，即x−解得：x1当0<x<163，V′>0，当163<x