2025高考数学一轮复习-第26讲-复数-专项训练【含解析】

2025高考数学一轮复习-第26讲-复数-专项训练微专题1复数常考常用结论1．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1)当b＝0时，z∈R；当b≠0时，z为虚数；当a＝0，b≠0时，z为纯虚数．(2)z的共轭复数z＝a－bi.(3)z的模|z|＝a22．已知i是虚数单位，则(1)(1±i)2＝±2i，1+i1−i＝i，1−i(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.保分题1.[2024·新高考Ⅱ卷](2＋2i)(1－2i)＝()A．－2＋4i B．－2－4iC．6＋2i D．6－2i2．[2024·全国甲卷]若z＝1＋i，则|iz＋3z|＝()A．45 B．42C．25 D．223．[2024·全国乙卷]已知z＝1－2i，且z＋az＋b＝0，其中a，b为实数，则()A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2提分题例1(1)[2024·福建漳州一模]已知z＝|3i－1|＋11+i，则在复平面内zA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)[2024·山东潍坊二模](多选)若复数z1＝2＋3i，z2＝－1＋i，其中i是虚数单位，则下列说法正确的是()A．z1zB.z1·C．若z1＋m(m∈R)是纯虚数，那么m＝－2D．若z1，z2在复平面内对应的向量分别为OA，OB(O为坐标原点)，则|听课笔记：【技法领悟】复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质、运算法则来优化运算过程．巩固训练11.[2024·山东泰安二模]已知复数z＝3−i1−2i，i是虚数单位，则复数z－4在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．[2024·河北保定二模](多选)已知复数z满足方程(z2－4)(z2－4z＋5)＝0，则()A．z可能为纯虚数B．方程各根之和为4C．z可能为2－iD．方程各根之积为－20微专题2平面向量常考常用结论1．平面向量的两个定理(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．2．平面向量的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，θ为a与b的夹角．(1)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(4)|a|＝a·a＝(5)cosθ＝a·ba保分题1.△ABC中，E是边BC上靠近B的三等分点，则向量AE＝()A．13AB+1C．23AB+12．[2024·全国乙卷]已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，|a－2b|＝3，则a·b＝()A．－2 B．－1C．1 D．23．[2024·全国甲卷]已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)，若a⊥b，则m＝________．提分题例2(1)[2024·河北石家庄二模]在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，CD的中点，若BM＝a，BN＝b，则BD＝()A．34a＋23b B．23aC．34a＋34b D．23a(2)[2024·山东济宁一模]等边三角形ABC的外接圆的半径为2，点P是该圆上的动点，则PA·PB+PB·A．4 B．7C．8 D．11听课笔记：【技法领悟】求解向量数量积最值问题的两种思路1．直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．2．建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．巩固训练21.[2024·山东济南二模]在等腰梯形ABCD中，AB＝－2CD，M为BC的中点，则AM＝()A．12AB+1C．34AB+12．[2024·福建漳州二模]已知△ABC是边长为2的正三角形，P为线段AB上一点(包含端点)，则PB·PC的取值范围为()A．[－14，2] B．[－1C．[0，2] D．[0，4]参考答案与解析微专题1复数保分题1．解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i－4i2＝2－2i＋4＝6－2i.故选D.答案：D2．解析：因为z＝1＋i，所以z＝1－i，所以iz＋3z＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i，所以|iz＋3z|＝|2－2i|＝22+−22答案：D3．解析：由z＝1－2i可知z＝1＋2i.由z＋az＋b＝0，得1－2i＋a(1＋2i)＋b＝1＋a＋b＋(2a－2)i＝0.根据复数相等，得1+a+b=0，2a−2=0，解得a=1，答案：A提分题[例1]解析：(1)∵z＝|3i－1|＋11+i＝32+−12∴复平面内z对应的点(52，－1(2)对于A，z1z2＝2+3i−1+i＝2+3i−1−i对于B，∵z1·z2＝(2＋3i)(－1＋i)＝-5-i，∴z1·z2＝－5＋i；又z1·对于C，∵z1＋m＝2＋m＋3i为纯虚数，∴m＋2＝0，解得：m＝－2，C正确；对于D，由题意得：OA＝(2，3)，OB＝(－1，－1)，∴AB＝OB−OA＝(－3，－4)，∴|AB|＝答案：(1)D(2)BCD[巩固训练1]1．解析：z＝3−i1−2i＝3−i1+2i1−2i1+2i＝答案：C2．解析：由(z2－4)(z2－4z＋5)＝0，得z2－4＝0或z2－4z＋5＝0，即z2＝4或(z－2)2＝－1，解得：z＝±2或z＝2±i，显然A错误，C正确；各根之和为－2＋2＋(2＋i)＋(2－i)＝4，B正确；各根之积为－2×2×(2＋i)(2－i)＝－20，D正确．答案：BCD微专题2平面向量保分题1．解析：因为点E是BC边上靠近B的三等分点，所以BE＝13所以AE＝AB+BE＝AB+13答案：C2．解析：将|a－2b|＝3两边平方，得a2－4a·b＋4b2＝9.因为|a|＝1，|b|＝3，所以1－4a·b＋12＝9，解得a·b＝1.故选C.答案：C3．解析：由a⊥b，可得a·b＝(m，3)·(1，m＋1)＝m＋3m＋3＝0，所以m＝－34答案：－3提分题[例2]解析：(1)如图所示，设AB＝m，AD＝n，且BD＝xa＋yb，则BD＝xa＋yb＝x(12n－m)＋y(n－12m)＝(12x＋y)n－(x＋12又因为BD＝n－m，所以12x+y=1x+12y=1，解得x＝23，y＝23，所以故选B.(2)如图，等边三角形ABC，O为等边三角形ABC的外接圆的圆心，以O为原点，AO所在直线为y轴，建立直角坐标系．因为AO＝2，所以A(0，2)，设等边三角形ABC的边长为a，则asinA＝asin60°＝2R＝4，所以a＝23，则B(－3又因为P是该圆上的动点，所以设P(2cosθ，2sinθ)，θ∈[0，2π)，PA＝(－2cosθ，2－2sinθ)，PB＝(－3－2cosθ，－1－2sinθ)，PC＝(3－2cosθ，－1－2sinθ)，PA·PB+PB·PC＝－2cosθ(－3－2cosθ)＋(2－2sinθ)(－1－2sinθ)＋(－3－2cosθ)(3－2cosθ)＋(－1－2sinθ)(－1－2sinθ)＝3＋1＋2sinθ＋23cosθ＝4＋4sin(θ＋π3)，因为θ∈[0，2π)，θ＋π3∈[π3，7π3)，sin(θ＋π3)∈[－1，1]，所以当sin(θ答案：(1)B(2)C[巩固训练2]1．解析：取AD中点N，连接MN，∵AB＝－2CD，∴AB∥CD，|AB|＝2|CD|，又M是BC中点，∴MN∥AB，且|MN|＝12(|AB|＋|CD|)＝34|∴AM＝