2025年高考数学一轮复习-6.5.3-高考中的解三角形问题-专项训练【含解析】

PAGE6.5.3-高考中的解三角形问题-专项训练【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)在△ABC中,AB=3,AC=2,cos∠BAC=13,点D在BC边上且AD=4则sin∠ADC=()A.63 B.13 C.332.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asinA+2csinC=2bsinCcosA,则角A的最大值为()A.π6 B.π4 C.π3 3.(5分)在△ABC中,D为边BC上一点,AD=6,BD=3,∠ABC=45°,则sin∠ADC的值为()A.2+33 B.1+24 C.1+4.(5分)在△ABC中,已知∠BAC的平分线交BC于点M,且BM∶MC=2∶3.若∠AMB=60°,则AB+ACBCA.2 B.5 C.7 5.(5分)(多选题)在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB=-55,则(A.sin∠CDB=3B.△ABC的面积为8C.△ABC的周长为8+45D.△ABC为钝角三角形6.(5分)已知△ABC为锐角三角形,D,E分别为AB,AC的中点,且CD⊥BE,则cosA的取值范围是()A.12,1C.45,17.(5分)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=23,则AC=,cos∠MAC=.

8.(5分)已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,a=3,则△ABC的周长的最大值为.

9.(5分)(2022·全国甲卷)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD=【加练备选】已知D是△ABC边AC上一点,且CD=3AD,BD=2,cos∠ABC=14,则3AB+BC的最大值为10.(10分)在△ABC中,D是边BC上一点,AD=5,AC=7.(1)若DC=3,∠B=45°,求AB;(2)若D为BC的中点,且AB=19,证明:∠ADC=2∠ADB.11.(10分)(2023·武汉模拟)在①a=7,②AC边上的高为332,③sinB=21问题:记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=60°,c=b+1,.

(1)求c的值;(2)设AD是△ABC的角平分线,求AD的长.【能力提升练】12.(5分)顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”,黄金三角形看起来既标准又美观.如图所示,△ABC是黄金三角形,AB=AC,作∠ABC的平分线交AC于点D,易知△BCD也是黄金三角形.若BC=1,则AB=;借助黄金三角形可计算sin234°=.

13.(5分)在△ABC中,D为BC边上一点,且BD=2CD,AD=BD,则tan∠BAC·cos2B的最大值为.

14.(10分)如图,在四边形ABCD中,AD⊥AB,∠CAB=60°,∠BCD=120°,AC=2.(1)若∠ABC=30°,求DC.(2)记∠ABC=θ,当θ为何值时,△BCD的面积S有最小值?求出最小值.6.5.3-高考中的解三角形问题-专项训练【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)在△ABC中,AB=3,AC=2,cos∠BAC=13,点D在BC边上且AD=4则sin∠ADC=()A.63 B.13 C.33【解析】选A.在△ABC中,由余弦定理得BC=AB2+所以BC=AB,所以∠BCA=∠BAC,所以sin∠BCA=sin∠BAC=1-19在△ADC中,由正弦定理得ADsin∠DCA=ACsin∠ADC,即所以sin∠ADC=632.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asinA+2csinC=2bsinCcosA,则角A的最大值为()A.π6 B.π4 C.π3 【解析】选A.因为asinA+2csinC=2bsinCcosA,由正弦定理可得a2+2c2=2bccosA①,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA②,由①②可得2a2=b2-c2,所以cosA=b2+c2-因为b2+3c2≥2b2·3c2=23bc,当且仅当b=3c时取等号,所以cosA又A∈(0,π),所以角A的最大值为π63.(5分)在△ABC中,D为边BC上一点,AD=6,BD=3,∠ABC=45°,则sin∠ADC的值为()A.2+33 B.1+24 C.1+【解析】选C.如图,在△ABD中,由正弦定理得ADsin∠ABD=BDsin∠BAD,即6sin45°=3又BD<AD,则∠BAD<∠ABC,故∠BAD只能是锐角,故cos∠BAD=144所以sin∠ADC=sin(∠BAD+∠ABD)=sin(∠BAD+45°)=24×22+144×24.(5分)在△ABC中,已知∠BAC的平分线交BC于点M,且BM∶MC=2∶3.若∠AMB=60°,则AB+ACBCA.2 B.5 C.7 【解析】选C.因为AM平分∠BAC,由角平分线的性质:所以ABAC=BMCM=23,设AB=2k(k>0),则AC=3k,由正弦定理:2BC3BC5sin∠CAM①+②可得:BCsin∠BAM=5k32所以cos∠BAC=1-2sin2∠BAM=50k根据余弦定理:(BC)2=(2k)2+(3k)2-2×2k×3k·50k2-3B则AB+ACBC=55.(5分)(多选题)在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB=-55,则(A.sin∠CDB=3B.△ABC的面积为8C.△ABC的周长为8+45D.△ABC为钝角三角形【解析】选BCD.由cos∠CDB=-55sin∠CDB=1-15设CD=x,CB=2x,在△CBD中,由余弦定理,可得-55=9+整理可得,5x2-25x-15=0,解得x=5,即CD=5,CB=25,所以S△ABC=S△BCD+S△ADC=12×3×5×2由余弦定理,可知cosB=CB2+BD2-CD22CB·BD=CB2+AB2-AC2由余弦定理,可得cos∠ACB=20+20-642×25×25=-6.(5分)已知△ABC为锐角三角形,D,E分别为AB,AC的中点,且CD⊥BE,则cosA的取值范围是()A.12,1C.45,1【解析】选D.如图,设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设CD,BE交于点G,连接AG并延长交BC于点F,则F为BC的中点,由CD⊥BE,可得FG=12BC=12AG=a,AF=32a.在△ABF中,c2=32a2+12a2-2×32在△ACF中,b2=32a2+12a2-2×32a因为∠AFC+∠AFB=π,所以上面两式相加,得c2+b2=5a2.因为△ABC为锐角三角形,所以a2+b2>c2,b2+c2>a2,c2+a2>b2,可得3b2>2c2,3c2>2b2,则23<b2c2<32,即又cosA=b2+c2-a22bc=b2+设bc=t(63<t<62),则f(t)=t+1t因为f(63)=f(62)=5667.(5分)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=23,则AC=,cos∠MAC=.

【解析】在△ABM中,由余弦定理得AM2=AB2+BM2-2BM·BA·cosB,即12=4+BM2-2BM×2×12,解得BM=4(负值舍去),所以BC=2BM=2CM在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=4+64-2×2×8×12所以AC=213.在△AMC中,由余弦定理得cos∠MAC=AC2+AM答案:21328.(5分)已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,a=3,则△ABC的周长的最大值为.

【解析】因为a2=b2+c2-bc,所以bc=b2+c2-a2,所以cosA=b2+c因为A∈(0,π),所以A=π3方法一:因为a=3,所以由正弦定理得asinA=bsinB=csin所以b=23sinB,c=23sinC,则a+b+c=3+23sinB+23sinC=3+23sinB+23sin(2π3-B=3+33sinB+3cosB=3+6sin(B+π6因为B∈(0,2π3),所以当B=π3方法二:因为a=3,所以由余弦定理得9=b2+c2-bc,所以(b+c)2-3bc=9,所以(b+c)2-9=3bc≤3·(b+c2所以(b+c)2≤36,因为b+c>0,所以0<b+c≤6,当且仅当b=c时取“=”,所以a+b+c≤9,所以△ABC的周长最大值为9.答案:99.(5分)(2022·全国甲卷)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD=【解析】设CD=2BD=2m>0,则在△ABD中,AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=m2+4+2m,在△ACD中,AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m,所以AC2AB2=4m2+4-当且仅当m+1=3m+1,即m=3-1时等号成立.所以当ACAB取得最小值时,BD=答案:3-1【加练备选】已知D是△ABC边AC上一点,且CD=3AD,BD=2,cos∠ABC=14,则3AB+BC的最大值为【解析】解法一:设AD=t,则CD=3t,AC=4t,△ABC内角A,B,C所对边分别为a,b,c,在△ABD中,cos∠ADB=t2在△BDC中,cos∠BDC=3t2+22-所以t2+22-c222t=-在△ABC中,AC2=(4t)2=a2+c2-2accos∠ABC,即16t2=a2+c2-12ac,由①②可得a2+9c2+32ac所以32=(a+3c)2-32a·3c≥(a+3c)2-32×a+3c22=58即(a+3c)2≤8×325,所以a+3c≤16当且仅当a=3c,即a=855,c所以3AB+BC的最大值为16解法二:因为CD=3AD,所以CD=3DA,即BD-BC=3(BA-BD),整理得BD=34BA+有BD2=916BA2+116所以2=916BA2+116BC即2=916BA2+116BC2+38整理得32=9|BA|2+|BC|2+32|BA|·|BC设c=|BA|,a=|BC|,所以32=9c2+a2+32ac=(3c+a)2-9因为9ac2=3·3c·a2≤323c+a22,所以32=(3c+a)2-92ac≥(3c+a)2-38(3c+a)2=58(3c+a)2,即3c+a≤答案:1610.(10分)在△ABC中,D是边BC上一点,AD=5,AC=7.(1)若DC=3,∠B=45°,求AB;(2)若D为BC的中点,且AB=19,证明:∠ADC=2∠ADB.【解析】(1)在△ADC中,AD=5,AC=7,DC=3,由余弦定理得cos∠ADC=9+25-492×3×5所以∠ADC=120°.即∠ADB=60°.在△ABD中,AD=5,∠B=45°,∠ADB=60°,由正弦定理,得5sin45°=ABsin60°,解得(2)设BD=DC=x.在△ABD中,由余弦定理得cos∠ADB=x2在△ADC中,由余弦定理得cos∠ADC=x2因为∠ADC+∠ADB=180°,所以x2+25-192×所以cos∠ADC=9+25-492×3×5=-12,所以∠ADC=120°,从而∠ADB=60°,故∠11.(10分)(2023·武汉模拟)在①a=7,②AC边上的高为332,③sinB=21问题:记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=60°,c=b+1,.

(1)求c的值;(2)设AD是△ABC的角平分线,求AD的长.【解析】选条件①:(1)因为a=7,c=b+1,A=60°,由余弦定理,得cosA=b2+c解得b=2或b=-3(舍去),所以c=b+1=3.(2)因为AD是△ABC的角平分线,所以∠BAD=30°,cosB=a2+c2-b22ac=7+9-4则sin∠ADB=sin(B+30°)=sinBcos30°+cosBsin30°=217×32+277×由正弦定理,得ADsinB=ABsin∠ADB,所以AD=ABsin选条件②:(1)AC边上的高为332,由三角形的面积公式,得12b(b+1)·sinA=解得b=2,所以c=3.(2)因为AC边上的高为332,所以a=(332因为AD是△ABC的角平分线,所以∠BAD=30°,cosB=a2+c2-sinB=1-cos2B则sin∠ADB=sin(B+30°)=sinBcos30°+cosBsin30°=217×32+277×由正弦定理,得ADsinB=所以AD=ABsinBsin∠ADB=选条件③:(1)sinB=217,由题意可知B<C所以cosB=1-sin2B因为A+B+C=π,所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=32×277+12×由正弦定理,得sinBsinC=bc,则解得b=2,所以c=3.(2)因为AD是△ABC的角平分线,所以∠BAD=30°,则sin∠ADB=sin(B+30°)=sinBcos30°+cosBsin30°=217×32+277×由正弦定理,得ADsinB=ABsin∠ADB,所以AD=ABsin【能力提升练】12.(5分)顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”,黄金三角形看起来既标准又美观.如图所示,△ABC是黄金三角形,AB=AC,作∠ABC的平分线交AC于点D,易知△BCD也是黄金三角形.若BC=1,则AB=;借助黄金三角形可计算sin234°=.

【解析】由题可得∠A=∠ABD=∠DBC=36°,∠C=∠BDC=72°,所以△ABC∽△BCD,得ABBC=BCCD,且AD=BD=BC设AB=AC=x,则CD=x-1,所以x1=1x-1,解得x因为sin234°=sin(180°+54°)=-sin54°=-cos36°.在△ABC中,根据余弦定理可得cos36°=x2+x2-答案:5+1213.(5分)在△ABC中,D为BC边上一点,且BD=2CD,AD=BD,则tan∠BAC·cos2B的最大值为.

【解析】解法一:在△ABC中,由BD=2CD得:AD=13AB+|AD|2=13AB+23AC2,又AD=BD,代入得:49a2=19c2+4即4a2=c2+4b2+4bccos∠BAC,4(c2+b2-a2)-3c2+4bccos∠BAC=0.由余弦定理得:8bccos∠BAC-3c2+4bccos∠BAC=0,即4bcos∠BAC=c.再由正弦定理得:4sinBcos∠BAC=sinC=sin(∠B+∠BAC),即4sinBcos∠BAC=sinBcos∠BA