安徽省合肥市2018-2019学年九年级上学期期末数学试卷含解析

2018-2019学年九年级（上）期末数学试卷

选择题（共10小题）

1.已知2x=3y,则下列比例式成立的是（)

A.—B.&=工c.x=yD.x=2

2y2332y3

2.抛物线y=-2（x-3）2-4的顶点坐标（)

A.（-3,4）B.（-3,-4）C.(3,-4)D.(3,4)

3.如图，在Rt△胸中，ZC=90°,AB=IQ,AC=8,则sin/等于()

B

A.3B.AC.3D.A

5543

4.如图，已知点。在弧形上，ZAOB=110°,则N4CB的度数为()

A.55°B.110°C.120°D,125°

5.如图，将△被7绕点5逆时针旋转a,得到△胸，若点4恰好在切的延长线上，则N

C切的度数为（）

B

A.90°-aB.aC.180°-aD.2a

6.二如图，。。是△极?的内切圆，若N4=70。,贝UN*比三()

A.125°B.115°C.100°D.130°

7.如图，在。0中，四是直径，半径宓垂直于弦于〃连接眼若四=2有，CD=1,

则题的长是（）

C.7D.8

8.已知抛物线C的解析式为广=a?+/c,则下列说法中错误的是（）

A.a确定抛物线的开口方向与大小

B.若将抛物线C沿y轴平移，则a,6的值不变

C.若将抛物线C沿x轴平移，则a的值不变

D.若将抛物线C沿直线1：尸户2平移，则a、b、c的值全变

9.如图，平行于况1的直线应把△腑■分成面积相等的两部分，则地的值为（)

AD

C.V2-1D.A/2+I

10.如图所示，已知二次函数尸病+如<:的图象与x轴交于Z,8两点，与y轴交于点C,

对称轴为直线kl.直线尸-A+C与抛物线尸a/+Z?A+c交于G〃两点，〃点在x轴

下方且横坐标小于3,则下列结论中正确的是（）

B.2a+ZH-c<0

C.x（a^+Z?）>a^bD.a<-l

二.填空题（共4小题）

11.已知反比例函数尸且L(A是常数，号1)的图象有一支在第二象限，那么A的取值

x

范围是.

12.如图，在nABCD中,AD=2,AB=4,N4=30。，以点力为圆心，血的长为半径画弧交

AB于点、E,连接函则阴影部分的面积是(结果保留n).

DC

AEB

13.如图，四边形被笫是。。的内接正方形，若正方形的面积等于4,则。。的面积等

14.如图，点C为龙与RtZka若的公共点，NACB=NDCE=9Q°,连接加、BE,过

点C作成1助于点凡延长此交四于点G.若水=犯=25,315,%=20,则股的

BG

三.解答题(共9小题)

15.计算：sin30°+cos30°»tan60".

16.已知二次函数尸¥+2A+C的图象经过点(1,-5).

(1)求c的值；

(2)求函数图象与x轴的交点坐标.

17.已知：△板1三个顶点的坐标分别为Z(-2,-2),5(-5,-4),C(-l,-5).

(1)画出关于x轴对称的△儿旦G；

(2)以点。为位似中心，将△放放大为原来的2倍，得到△/应C,请在网格中画出

△4次G,并写出点民的坐标.

；求47和四的长.

4

19.如图，形是。0的直径，AC、宛是。0的弦，乙4龙的平分线交。。于。，连接初、BD,

已知四=6,BC=2.

（1）求力C、AD、物的长;

（2）求四边形4曲的面积.

20.某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价,

又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似看

作一次函数尸的关系（如图所示）

（/）根据图象，求一次函数尸M6的解析式，并写出自变量x的取值范围;

（II）该公司要想每天获得最大的利润，应把销售单价定为多少？最大利润值为多少？

21.如图，相是。。的直径，点C为。0上一点，GV为。。的切线，加_四于点0,分别交

AC.CN于D、〃两点.

(1)求证：MD^MCi

(2)若。。的半径为5,AC=4y/5,求如长；

(3)在(2)的基础上求加?长.

22.如图，一小球从斜坡0点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数尸-『+4x刻画，斜

坡可以用一次函数尸L刻画.

2

(1)请用配方法求二次函数图象的最高点尸的坐标；

(2)小球的落点是4,求点力的坐标；

(3)连接抛物线的最高点P与点0、/得求加的面积；

(4)在面上方的抛物线上存在一点M〃与户不重合)，△掰%的面积等于△/)(加的面积.请

23.如图①，在锐角△被7中，D,E分别为45,BC中点,尸为ZC上一点，且N4咫=N4,

加〃斯交出7于点M.

(1)求证：D4DA；

(2)点G在座上，豆,NBDG=NC,如图②，求证：4DE84ECF；

(3)在图②中，(2)的基础上，取龙上一点〃，使/功AN6,若BG=1,求班的长.

参考答案与试题解析

选择题(共10小题)

1.已知2x=3y,则下列比例式成立的是()

A.—=_B.2_=工C.—=X.D.—=—

2y2332y3

【分析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式

可以转化为等积式2x=3y,即可判断.

【解答】解：A,变成等积式是：灯=6,故错误；

B、变成等积式是：3"=2人故错误；

G变成等积式是：2x=3y,故正确；

D、变成等积式是：3k2y,故错误.

故选：C.

2.抛物线尸-2(x-3)2-4的顶点坐标()

A.(-3,4)B.(-3,-4)C.(3,-4)D.(3,4)

【分析】根据顶点式直接可得顶点坐标.

【解答】解：••♦尸-20-3)2-4是抛物线的顶点式，

二顶点坐标为(3,-4).

二则答案为C

故选：C.

3.如图，在Rt△被中，NC=90°,m=10,力。=8,则siM等于()

【分析】先根据勾股定理求得优、=6,再由正弦函数的定义求解可得.

【解答】解：在Rt△的7中，：四=10、AC=8,

A56^7AB2-AC2=7102-82=6,

sin/=^^=JL=3,

AB105

故选：A.

4.如图，已知点。在弧"上，ZJC®=110°,则N/CS的度数为（）

A.55°B.110°C.120°D.125°

【分析】在优弧褊上取一点D,连接4?、BD,根据圆周角定理求出N。，根据圆内接四

边形的性质得出N4班N4应=180°,代入求出即可.

D

【解答】解：如图，在优弧右上取一点〃连接加、BD,

"Z加110°,

AADB=L^/AOB=^,

〜、D、B、C四点共圆，

二46决42出=180°,

二/2阳=180°-55°=125°,

故选：D.

5.如图，将△腑■绕点B逆时针旋转a,得到△胸，若点力恰好在切的延长线上，则N

C切的度数为（）

A.90°-aB.aC.180°-aD.2a

【分析】根据旋转的性质和四边形的内角和是360。，可以求得的度数，本题得以

解决.

【解答】解：由题意可得，

Z6BZ?=a,/ACB=NEDB,

瓦用■乙〃省=180°,

...乙酶43180°,

*：NAD讣NDB仇ZBC肚ZCAD=360°,ACBD=a,

AZG4Z?=180°-a,

故选：C.

6.如图，。。是△屈7的内切圆，若N/=70°,则/傲X()

【分析】利用三角形内心性质得到/阪三工/板；NOCB=LNACB,则根据三角形内

22

角和得到/阪货工（180。-N4）,然后利用三角形内角和得到乙眦-90。+Az

22

A,再把N4=70°代入计算即可.

【解答】解：:。。是△上的内切圆，

：.OB平分NABC,OC平分乙ACB,

：.N0BC=L/ABC,ZOCB=L/ACB,

22

:.NOBC+NOCB=L（NABC+NACB）=A（180°-乙4）,

22

:.NBOC=18Q°-（2OB侪NOCB）=180°-工（180°-ZJ）=90°+工//=180°+A

222

X70°=125°.

故选：A.

7.如图，在。。中，丝是直径，半径3垂直于弦居于〃，连接典若AB=2枚,CD=1,

A.5B.6C.7D.8

【分析】根据垂径定理求出血，根据勾股定理列式求出如，根据三角形中位线定理计算

即可.

【解答】解：：半径比垂直于弦也，

AD=DB=^AB=曲，

2

在如中，加=（OC-CD2+Ad,即如2=（而-1）2+（V?）②，

解得，04=4

：.0D=0C-CD=3,

■:AgOE,AD=DB,

：.BE=2OD=6,

故选：B.

8.已知抛物线C的解析式为尸加+bKc,则下列说法中错误的是（）

A.a确定抛物线的开口方向与大小

B.若将抛物线C沿y轴平移，则a,6的值不变

C.若将抛物线C沿x轴平移，则a的值不变

D.若将抛物线。沿直线I：尸户2平移，则a、b、c的值全变

【分析】利用二次函数的性质对《进行判断；利用抛物线的性质和抛物线的平移规律对

B、C、。进行判断.

【解答】解：4、a确定抛物线的开口方向与大小，所以/选项的说法正确；

B、若将抛物线C沿y轴平移，则抛物线的对称轴不变，开口大小、开口方向不变，所以

a,6的值不变，所以8选项的说法正确；

C、若将抛物线C沿x轴平移，抛物线的开口大小、开口方向不变，即a的值不变，所以

C选项的说法正确；

D、若将抛物线C沿直线1:尸出2平移，则a不变，b、c的值改变，所以。选项的说

法不正确.

故选：D.

9.如图，平行于充的直线的把△胸分成面积相等的两部分，则地的值为（）

AD

A

C.V2-1D.V2+1

2

【分析】迎DE"BC个得出/\ADEsXABC,利用相似三角形的性质结合加板=S四班妙,

可得出坦=返，结合蚪四-也即可求出世的值，此题得解.

AB2AD

【解答】解：•.•庞1〃%

:.NADA2B,NAED=NC,

：./\ADE^l\ABC,

(AD)2=S△皿E

^^AABC

•,宓萩=S四边形BCED>

•坦=返

"ABV*_

•BD-AB-AD2-V2-F；_x

"ADADV2

故选：C.

10.如图所示，已知二次函数外=苏+加+，的图象与X轴交于Z,8两点，与y轴交于点G

对称轴为直线户1.直线尸-A+C与抛物线尸a/+Z?A+c交于G〃两点，〃点在x轴

下方且横坐标小于3,则下列结论中正确的是（）

B.2a+ZH-c<0

C.x(a^+Z?)>a+Z?D.a<-l

【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到00,利用对称轴方程得到b=-2a,则

2a+Mc=c>0,利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（-1,0）右

侧，则当k-1时，yVO,根据二次函数的性质得到x=l时，二次函数有最大值，则

49+如0/m■加c,由于直线y=-A+C与抛物线尸苏+如。交于C、〃两点，〃点在x

轴下方且横坐标小于3,利用函数图象得―3时,一次函数值比二次函数值大，即9K3加c

V-3+c,然后把6=-2a代入解a的不等式.

【解答】解：・・•抛物线与y轴的交点在x轴上方，

:.c>0,

•.•抛物线的对称轴为直线x=--L=l,

2a

:.b=-2a,

A2a+ZH-c=2a-2a+c=c>0,所以8错误；

•・•抛物线与x轴的一个交点在点（3,0）左侧，

而抛物线的对称轴为直线x=l,

・••抛物线与x轴的另一个交点在点（-1,0）右侧，

，当才=-1时，y<0,

.\a-ZH-c<0,所以《错误；

时，二次函数有最大值，

/.ax

^ax+bx^a^b,所以C错误；

二直线尸-广。与抛物线尸加+。交于C、〃两点，〃点在x轴下方且横坐标小于3,

，x=3时，一次函数值比二次函数值大，

即9a+3>eV-3+c,

而b=-2a,

A9a-6a<-3,解得aV-1,所以〃正确.

故选：D.

二.填空题（共4小题）

11.已知反比例函数尸X1L（A是常数，Ml）的图象有一支在第二象限，那么左的取值

X

范围是AV1.

【分析】由于反比例函数尸0的图象有一支在第二象限，可得A-1V0,求出A的取

X

值范围即可.

【解答】解：•.•反比例函数尸左L的图象有一支在第二象限，

：.k-l<0,

解得AVI.

故答案为：k<l.

12.如图，在nABCD中,AD=2,AB=4,ZA=3O°,以点力为圆心，4〃的长为半径画弧交

居于点区连接值则阴影部分的面积是3-工员（结果保留其）.

DC

/EB

【分析】过〃点作曲L出于点E可求口西龙和△及花的高，观察图形可知阴影部分的

面积=。的?的面积一扇形地应的面积-△阳1的面积，计算即可求解.

【解答】解：过〃点作m_L45于点尸.

'：AD=2,AB=4,4=30°,

二2¥^砂sin30°=1,EB=AB-AE=2,

二阴影部分的面积：

4X1~.?9X712.-.-2X14-2

360

=4--71-1

3

13.如图，四边形阳切是。。的内接正方形，若正方形的面积等于4,则。。的面积等于

【分析】根据正方形的面积公式求得半径，然后根据圆的面积公式求解.

【解答】解：正方形的边长四=2,

则半径是2义返=加,

2

则面积是（&）2n=2n.

故答案是：2Ji.

14.如图，点C为RtA4"与Rt△比21的公共点，ZACB=ZDCE=90a,连接相、BE,过

点C作成L助于点凡延长能交班'于点G.若船=纪=25,315,DC=2Q,则旦色的

I分析】过E作EHLG尸于H,过8作此L酎于只愀据AEHGsXBPG、可得典=里,

BGBP

再根据△例XACF^XCBP,即可得到被=旦依BP=CF,进而得出或=3.

4BG4

【解答】解：如图，适E作EH1GF千H,过B作BP工GF于P,则/题7=N罚&=90°,

又,：4EGH=/BGP,

,.△EHG^XBPG,

.EG_=EH

*BGBP*

：CFVAD,

•.NM=N"T=90°,

♦./DFC=/CHE,£AFC=Z.CPB,

又,：NACB=NDCE=90",

\2LCDF=/.ECH,AFAC=APCB,

'.△DCFsACEH,XACFsMCBP,

.•EH=CE=3,BP*-*~BC-ix,

CFDC4CFCA

*.EH=3CF,BP=CF,

4

-EH=3_

"BPT

•.•-E-G--_-3-,

BG4

故答案为：3.

4

三.解答题（共9小题）

15.计算：sin30°+cos30°*tan60".

【分析】分别把各特殊角的三角函数代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即

可.

【解答】解：原式=1+近义愿

22

—_1*.**3

22

=2.

16.已知二次函数y=9+2；f+c的图象经过点（1,-5）.

（1）求c的值；

（2）求函数图象与x轴的交点坐标.

【分析】①二次函数解析式只有一个待定系数c,把点（1,-5）代入解析式即可求c；

②已知二次函数解析式求函数图象与x轴的交点坐标，令尸0,解一元二次方程，可得

交点的横坐标.

【解答】解：（1）•••点（1,-5）在尸f+2广，的图象上，

一5=1+2+%

c=-8.

答：c的值为-8.

（2）由（1）得函数的解析式为尸J+2X-8,

令7=0,贝ij¥+2x-8=0,

解方程得：为=-4,X2=2.

故函数与轴的交点坐标为(-4,0),(2,0).

17.已知：△被7三个顶点的坐标分别为力(-2,-2),8(-5,-4),<7(-1,-5).

(1)画出△回关于x轴对称的△4AG；

(2)以点0为位似中心，将△胸放大为原来的2倍，得到△及员C,请在网格中画出

【分析】(1)利用关于y轴对称点的性质得出对应点得出即可；

(2)利用位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案.

【解答】解：(1)如图所示：△AM即为所求：

(2)如图所示：展G即为所求；氏(10,8)

18.如图，在△被7中，BC=12,tanZ=3,Z5=30"；求47和四的长.

4

【分析】如图作四于〃.在Rt△触求出或BH,在RtZUdR中求出被4C即可

解决问题；

【解答】解：如图作如L姐于朋

在Rt△瓦〃中，•.,80=12,Z5=30°,

22=

：.CH=^BC=6,BH=7BC-CH

在Rt△力纲中，tanZ=3=qi,

4AH

：.AH=8,

•••QjAH2KH2=13

:.AB=*BH=8+6M.

19.如图，四是。。的直径，AC.况是。。的弦，的平分线交O0于〃，连接物、BD,

已知仍=6,BC=2.

(1)求4C、AD、龙的长；

(2)求四边形/物的面积.

【分析】根据圆周角定理得到NZ3N4390°,根据勾股定理求出4G根据三角形

的面积公式计算即可.

【解答】解：(1)是。。的直径，

：.ZACB=ZACD=90°,

由勾股定理得，^^AB2_BC2=472.

YNZ券的平分线交。0于。,

二AD=BD.

:.AD=BD=叵XAB=3%

2

(2)四边形zca?的面积=/x4?x班/X/O=9+4、历.

20.某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价,

又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看

作一次函数尸M6的关系(如图所示)

(/)根据图象，求一次函数尸Mb的解析式，并写出自变量x的取值范围；

(II)该公司要想每天获得最大的利润，应把销售单价定为多少？最大利润值为多少？

【分析】(I)根据题意解方程组即可得到结论；

(H)根据二次函数的性质即可得到结论.

【解答】解：(I)由函数的图象得：［40=60x+b,

l30=70x+b

解得：尸1,

lb=100

二所以y=-Xi-100(50WM80)；

(II)设每天获得的利润为1元，

由(I)得：W=(x-50)y=(JT-50)(5100)=-x+150^-5000=-(x-75)

2+625,

；-l<0,

...当x=75时，〃最大=625即该公司要想第天获得最大利润，应把销售单价为75元/件,

最大利润为625元.

21.如图，形是。0的直径，点C为。。上一点，或为。。的切线，OMLAB于点、0,分别交

AC,CN于D、〃两点.

(1)求证：MD=MC-,

(2)若。。的半径为5,47=4遥，求如长;

(3)在(2)的基础上求团长.

【分析】(1)连接⑥利用切线的性质证明即可;

(2)根据相似三角形的判定和性质

(3)由勾股定理解答即可.

【解答】(1)证明：连接始如图所示：

为。。的切线，

：.OCLCM,/60+4*90°,

V0MA.AB,

：.ZOAaZODA=90°,

"：0A=0C,

：.Z0AC=Z0CA,

：.NACM=N0DA=NCDM,

:.MD=MC；

(2)解：由题意可知四=5X2=10,AC=4y[5,

•.•也是。。的直径，

：.ZACS=90°,

Bgy1102_(蛎)2=2后,

VZA0D=AACB,N4=4,

：./\A0D^/\ACB,

-0D=A0

,,而AC,

即卑=与，

2A/5W5

可得：㈤=2.5,

(3)解：设MC=MD=x,

在Rt△比"中，由勾股定理得：(K2.5)2=9+5',

解得：x=—,

4

即MC=^-.

22.如图，一小球从斜坡0点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数尸-J+4x刻画，斜

坡可以用一次函数尸匕刻画.

2

(1)请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；

(2)小球的落点是从求点/的坐标；

(3)连接抛物线的最高点尸与点0、/得△尸614,求△尸曲的面积；

(4)在曲上方的抛物线上存在一点乂〃与P不重合),加的面积等于△汽力的面积.请

【分析】(1)利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点

尸的坐标;

(2)联立两解析式，可求出交点Z的坐标;

(3)作/VLx轴于点0,JALx轴于点A根据&桃衫喇-心创，代入数值计

算即可求解；

(4)过尸作物的平行线，交抛物线于点〃，连结袱幽由于两平行线之间的距离相

等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得的面积等于的面积.设直线

掰的解析式为尸Ub,将尸(2,4)代入，求出直线掰的解析式为尸L+3.再与

22

'_1

y——x+3

抛物线的解析式联立，得到方程组2,解方程组即可求出点〃的坐标.

2

.y=-x+4x

【解答】解：(1)由题意得，y=~x+^x=-(x-2)2+4,

故二次函数图象的最高点尸的坐标为(2,4)；

2

y=-x+4x

(2)联立两解析式可得：，

了室1

解得：(x=0,或，

ly=o

故可得点力的坐标为(工，1